今天直接把張強書上的第6章大部分內容完成掉. 主要講對流方程數值格式的相容性、穩定性以及數值振蕩的分析方法。

參考書：
(1) J.W. Thomas - Numerical Partial Differential Equations_ Finite Difference Methods (1995, Springer)
(2) 張強《偏微分方程的有限差分方法》科學出版社，2019年1月版。
(3) K. W. Morton, D. F. Mayers - Numerical solution of partial differential equations (2005, Cambridge University Press)

今天內容：

1 五種差分格式的數值表現

考慮初值函數

同時具有光滑部分與間斷部分, 比較迎風格式與LW格式的數值表現. （圖來自張強書的插圖）

• 在真解光滑的區域, 兩個格式的數值表現都比較理想, LW格式相容階更高, 誤差更小.
• 在間斷界面附近, 迎風格式的間斷界面(也叫數值過渡區域)是平滑的; 但LW格式出現了數值振蕩與上下溢出. 即使加密網格也不會得到明顯改善. (網格加密后, 數值震蕩明顯可見的時間僅僅是被推遲了, 不可能消除)
• 這個例子表明雙曲方程的數值困難, 即高階精度與數值振蕩是無法調和的兩個對立面.迎風格式與LW格式各有優缺點, 我們希望構造盡可能保持高階精度且保持間斷面的形態.

下面用Lax格式與迎風格式進行對比. 空間步長

網比

• 根據數值結果, 兩個格式捕捉間斷界面位置都比較精確. 但是在間斷界面附近, Lax格式的數值過渡區域更寬, 峰值下降程度更厲害, 即Lax格式比迎風格式有更強的數值耗散機制.

下面繪制蛙跳格式在不同時刻的數值解. 空間步長

網比第一層初值采用LW格式設置(迎風格式類似).

• 可以發現: 數值振蕩出現在波后, 污染區域(振蕩區域)隨時間發展而變寬.

下面觀察盒子格式的效果, 初值改為

空間步長

網比

可以發現, 數值振蕩出現在波前, 污染區域隨著時間發展而逐漸變寬.

2 線性常系數差分格式

考慮如下的線性常系數差分格式:

其中

是差分系數, 同格點位置與網格函數無關.

2.1 相容性

定理 差分方程 與對流方程 相容的充要條件是
若相容, 則局部截斷誤差至少為一階.

證明：差分方程的局部截斷誤差是

由Taylor展開到二階項即可證明結論. QED

由于對流方程有行波解結構, 差分方程

的相容階有簡便的判別方法: 若

均滿足差分方程, 則局部截斷誤差至少達到k階. 所以這個定理也可以改寫為

函數1與 均精確滿足差分方程, 則差分方程相容.例 給出差分方程 達到k階相容的充要條件.

由Taylor展開到k項,

由局部截斷誤差的定義,

如果要讓格式是k階相容的, 只需

化簡得

2.2 單調格式與數值振蕩

一個差分格式是單調保持格式指: 若數值初值單調, 則由這個差分格式得到的數值解也保持一定的單調性. (否則, 單調性刻畫出現錯誤, 數值振蕩隨之產生. 所以單調保持性質是數值格式避免數值振蕩的前提條件. )

單調格式指差分系數

非負.

注：由前面的相容性定理, 如果一個單調格式是相容格式, 則它具有凸組合的系數結構. 所以相容的單調格式滿足離散最大模原理, 具有最大模穩定性! 也可以證明相容的單調格式有

$模穩定性, 后面將會介紹.定理 單調格式也是單調保持格式, 反之亦然.

證明：用歸納法證明即可. 逆命題可以考慮用下面的反例證明: 如果數值格式有負系數, 不妨設

考慮初值

代入差分方程可得

數值解不再保持單增性質, 出現虛假數值振蕩. QED

定理 [Godunov]單調格式至多具有一階局部截斷誤差.

證明：設格式是相容的, 由Taylor展開, 局部截斷誤差為

$$

由Cauchy-Schwarz不等式與相容性條件,

等號成立的條件是

只有一個非零系數, 但這樣的差分方程沒有實際價值, 無需考慮.因此單調格式的局部截斷誤差至多一階. QED

注：高階相容的線性格式必定存在負系數, 數值振蕩現象不可避免. 若要建立高階無振蕩格式, 需要跳出單調格式框架, 后面還會介紹TVD格式.

例1 LW格式、蛙跳格式、盒子格式都是高階相容的, 不是單調格式, 由Godunov定理, 數值解會有數值振蕩現象.例2 迎風格式與Lax格式都是一階相容, 在CFL條件下, 它們都是單調格式, 不會出現數值振蕩.

2.3 數值耗散與數值色散

首先回顧一下Fourier方法. 對流方程

的真解是 (模態解),其中 這個模態解的振幅(amplitude)是不衰減的(undamped)(即能量保持不變), 而一步時間推進以后, 相位(phase)增加了

對流方程的數值解形如

其中 是 的函數. 一步時間推進以后, 模態解會乘上振幅系數 它是復的. 的模長表示了這個格式是否穩定(數值耗散性質).

• 如果 此時數值格式的振幅會膨脹, 出現反數值耗散性質, 則格式不穩定;
• 如果 則模態解是衰減的(damped), 出現數值耗散現象.
• 如果 則簡諧波振幅保持不變, 此時格式是無耗散的.

把上面的

稱為相位函數, k為波數,

為相位速度, 為波速. 若 則簡諧波從左到右傳播; 若 , 則簡諧波從右到左傳播.

把不同波數k的模態解(簡諧波)疊加起來得到的整體波形就是原PDE的真解:

這里

是與 有關的常數: 它叫色散關系(頻散關系).

• 如果 是線性函數, 則各個簡諧波的波速 相同, 所以整體的波形不變.
• 如果 不是線性函數, 則不同波數 的簡諧波有不同的波速 , 此時整體波形會發生變化, 這樣的物理現象叫色散(頻散), dispersion.

沿著波的傳播方向, 位于波面(整體波形的波峰或者波谷或者間斷界面)前面的位置叫波前, 位于波面后面的位置叫波后.

前面指出了, 增長因子的模

決定了數值格式的耗散性質(穩定性). 而增長因子的幅角 決定了數值色散性質.

數值解的相位與真解的相位的比為

其中

• 若 則數值簡諧波超前于真實簡諧波;
• 若 則數值簡諧波滯后于真實簡諧波.

通常數值相位速度

是非線性的, 不同波數 的數值簡諧波有不同的波速 , 從而有數值色散現象.

注：數值色散現象會導致整體波形出現明顯變化, 進而產生虛假的數值振蕩現象, 如果

則數值振蕩現象出現在波前; 如果 則數值振蕩現象出現在波后.

注： 數值耗散與數值色散是導致數值誤差的兩個根本原因, 上述分析方法也適用于其他PDE的各種格式.

例1 LW格式的數值振蕩出現在波后.

答: 設

足夠小, 由Taylor展開,

所以數值解的相位與真解相位的比為

由于

足夠小, 當 時, 數字1后面的誤差項非正, 所以數值速度低于真實速度, 數值振蕩出現在波后.

注：數值色散是數值振蕩的根本原因, 數值耗散與數值色散的平衡關系決定數值振蕩的具體表現.

例2 LW格式的增長因子滿足
當 時, LW格式是有耗散的. 但是數值耗散的速度 比數值色散的速度 慢.

我們可以把前面涉及到的五種格式的

與 都寫出來, 作一個總結:

• 迎風格式與Lax格式都有較強的數值耗散(耗散速度為 ), 而LW格式有弱數值耗散( ). 蛙跳格式與盒子格式無數值耗散.
• 迎風格式和Lax格式是單調格式, 所以不會出現數值振蕩現象. LW格式、蛙跳格式、盒子格式的階數為2, 根據Godunov定理, 它們不是單調格式, 必定有數值振蕩.
• 當 時, LW格式、蛙跳格式的數值振蕩出現在波后, 而盒子格式的數值振蕩出現在波前. (當 時相反)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的一阶电路误差分析_PDE有限差分方法(12)——对流方程数值格式的分析方法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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