題目鏈接

思路

對(duì)于答案，我們考慮對(duì)于每個(gè)可行的$c$會(huì)和多少$d$產(chǎn)生合法序偶。首先證明$c$和$b$必然互質(zhì)。

假設(shè)$c$和$b$不互質(zhì)，那么設(shè)$t_{1}=gcd(c, b),(t_{1} > 1)$對(duì)于

$(c*d)\%b=a$

等價(jià)于

$(k_{1}*t_{1})\%b=a,(k_1\in Z)$

$(k_{1}*t_{1})\%(k_{2}*t_{1})=a,(k_1,k_2\in Z)$

$k_{1}*t_{1}-k_{3}*t_{1}=a,(k_1,k_3\in Z)$

$t_{1}*(k_{1}-k_{3})=a,(k_1,k_3\in Z)$

由于$a\neq 0$，所以$t_{1}$是$a$的因子。因?yàn)?t_{1}$是$b$的因子，所以假設(shè)不成立，所以$c$與$b$互質(zhì)。

接下來(lái)考慮每個(gè)$c$對(duì)答案的貢獻(xiàn)。考慮$exgcd$的一般形式

$ax+by = c$

將$a,b,c$分別換成本題中的$c,b,a$，$x,y$換成$d, k$，得到

$cd+bk = a$

顯然存在$d_{0},k_{0}$使得等式成立，那么得到$d,k$的答案的通項(xiàng)為

$d = \frac{a}{gcd(c,b)}d_{0}+\frac{t_{4}}{gcd(c, b)}b=ad_{0}+t_{4}b$

$k = \frac{a}{gcd(c,b)}k_{0}-\frac{t_{4}}{gcd(c, b)}c=ak_{0}-t_{4}c$

顯然有且僅有一個(gè)$t_{4}$使得$1\leq d\leq b -1?$。

既然每個(gè)合法的$c$對(duì)答案的貢獻(xiàn)有且只有$1$，那么答案就轉(zhuǎn)化為$1$到$b-1$中與$b$互素的數(shù)的個(gè)數(shù)，就是歐拉函數(shù)了。

代碼

#include <bits/stdc++.h> #define DBG(x) cerr << #x << " = " << x << endlusing namespace std; typedef long long LL;int t, a, b;LL Euler(LL n) {LL ans = n;for(int i = 2; i * i <= n; i++) {if(!(n % i)) {ans = ans / i * (i - 1);while(n % i == 0) n/=i;}}return (n > 1 ? (ans / n * (n - 1)) : ans); }int main() {scanf("%d", &t);while(t--) {scanf("%d%d", &a, &b);printf("%lld\n", Euler(b));} return 0; }

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轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/DuskOB/p/10703019.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的第十三届东北师范大学程序设计竞赛热身赛 C(exgcd+欧拉函数)的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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