題目鏈接

思路

對于答案，我們考慮對于每個可行的$c$會和多少$d$產生合法序偶。首先證明$c$和$b$必然互質。

假設$c$和$b$不互質，那么設$t_{1}=gcd(c, b),(t_{1} > 1)$對于

$(c*d)\%b=a$

等價于

$(k_{1}*t_{1})\%b=a,(k_1\in Z)$

$(k_{1}*t_{1})\%(k_{2}*t_{1})=a,(k_1,k_2\in Z)$

$k_{1}*t_{1}-k_{3}*t_{1}=a,(k_1,k_3\in Z)$

$t_{1}*(k_{1}-k_{3})=a,(k_1,k_3\in Z)$

由于$a\neq 0$，所以$t_{1}$是$a$的因子。因為$t_{1}$是$b$的因子，所以假設不成立，所以$c$與$b$互質。

接下來考慮每個$c$對答案的貢獻。考慮$exgcd$的一般形式

$ax+by = c$

將$a,b,c$分別換成本題中的$c,b,a$，$x,y$換成$d, k$，得到

$cd+bk = a$

顯然存在$d_{0},k_{0}$使得等式成立，那么得到$d,k$的答案的通項為

$d = \frac{a}{gcd(c,b)}d_{0}+\frac{t_{4}}{gcd(c, b)}b=ad_{0}+t_{4}b$

$k = \frac{a}{gcd(c,b)}k_{0}-\frac{t_{4}}{gcd(c, b)}c=ak_{0}-t_{4}c$

顯然有且僅有一個$t_{4}$使得$1\leq d\leq b -1?$。

既然每個合法的$c$對答案的貢獻有且只有$1$，那么答案就轉化為$1$到$b-1$中與$b$互素的數的個數，就是歐拉函數了。

代碼

#include <bits/stdc++.h> #define DBG(x) cerr << #x << " = " << x << endlusing namespace std; typedef long long LL;int t, a, b;LL Euler(LL n) {LL ans = n;for(int i = 2; i * i <= n; i++) {if(!(n % i)) {ans = ans / i * (i - 1);while(n % i == 0) n/=i;}}return (n > 1 ? (ans / n * (n - 1)) : ans); }int main() {scanf("%d", &t);while(t--) {scanf("%d%d", &a, &b);printf("%lld\n", Euler(b));} return 0; }

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轉載于:https://www.cnblogs.com/DuskOB/p/10703019.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的第十三届东北师范大学程序设计竞赛热身赛 C(exgcd+欧拉函数)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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