最近閑暇時間很多，正好也可以收集整理一些之前學習的資料，還有自己的一些經驗供大家參考。這一次我將使用簡單的語言，使用實例的方式展示對數正態分布在數學建模比賽中的應用。

正態分布物理意義

我們先從正態分布的物理意義說起，雖然大家可能都知其公式，但是對其物理意義并沒非常深刻的理解。簡而言之，正態分布的物理意義是——“正態分布是由大量的、由種種原因產生的元誤差疊加而成的”。其中常常在書中拿來被舉例的就是著名的高爾頓板：

對于每一個下落的小球來說，每一次撞到釘子，都有0.5的概率去左邊，0.5的概率去右邊。而在下落時有會撞到很多釘子；釘子與釘子之間也沒有任何關系。所以最后的下落的整體趨勢呈現出正態分布。

對數正態分布

但是現實往往是復雜的，這體現在許多事情都有蛛絲馬跡的聯系。以國家的GDP為例，各個國家的GDP種類與許多因素（元誤差）相關，比如人口數量、科技水平、平均受教育程度、擁有資源（自然資源與人文資源）、所處的地理位置等等因素。

但是這些造成GDP差異的因素之間存在千絲萬縷的關系。譬如說科技水平高的地區，相對更重視教育，所以平均人口素質較高；平均人口素質高了之后又可能會提升資源利用率，也可以創作出新的資源（這里只如文學作品，電影等等，可以參考文明6電影工廠加繁榮加旅游業績）；有了更多的資源又能進一步提升平均素質。總的來說這些因素間呈現相互促進的關系。

而一旦這些元誤差（因素）相互促進，那么最后的結果就會呈現對數正態分布，而且吊車尾越長說明元誤差間的相互作用更大，下面以世界銀行統計的各個國家2018年的GDP（這一年統計的相對比較全面）為例具體說明：

可以看到有統計數據的244個國家與地區中，GDP較小的后220個國家幾乎一直貼地，并看不出來符合何種統計分布。

對GDP取對數后看，已經很符合正態分布了

后面吊車尾太長了，畫不下QRZ

可以看出有正態分布的味了

當然各個國家GDP的分布波動很厲害，這也是社會學統計的正常現象，如果用理想實驗來說明最后的擬合效果會好很多。

對數正態分布試用范圍

對數正態分布比較常見在社會學分析之中。判斷應該使用正態分布還是對數正態分布只需把握最關鍵的一個標準，即：如果導致這個數據產生差異的元誤差是相互獨立或者近似獨立的，那么使用正態分布；如果元誤差之間是相互作用的，則使用對數正態分布。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的高级数学建模模型——对数正态分布的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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