賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)填寫(xiě)）：

?

?

2015高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽

承??諾??書(shū)

我們仔細(xì)閱讀了《全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽章程》和《全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽參賽規(guī)則》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)為“競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽網(wǎng)站下載）。

我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話(huà)、電子郵件、網(wǎng)上咨詢(xún)等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。

我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。

我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。

我們授權(quán)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開(kāi)展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書(shū)籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。

我們參賽選擇的題號(hào)（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）：????????A????????????

我們的報(bào)名參賽隊(duì)號(hào)（12位數(shù)字全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)）：???201510052007?????????

參賽學(xué)校（完整的學(xué)校全稱(chēng)，不含院系名）：????南京師范大學(xué)???????????

參賽隊(duì)員?(打印并簽名)?：1.???葉鋮陽(yáng)????????????????????????????????

???????????????????????2.???周麗陽(yáng) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

???????????????????????3.???陳勇君????????????????????????????????????

指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人??(打印并簽名)：?????????????????????????????

??????????????????????????????????????????日期：?2015?年?9?月?13?日

?

太陽(yáng)影子定位問(wèn)題研究

摘要

本文主要研究影長(zhǎng)與日期、時(shí)間及地點(diǎn)的關(guān)系。通過(guò)其中某組數(shù)值，去刻畫(huà)出其他變量的大致范圍。

對(duì)于第一問(wèn)，由于日地距離隨公轉(zhuǎn)而改變，故我們需要尋找出一個(gè)合適的方程去描述不同日期下的日地距離，從而建立合理的空間坐標(biāo)系，確定當(dāng)下太陽(yáng)在坐標(biāo)系下的空間坐標(biāo)。又根據(jù)給定地點(diǎn)的經(jīng)緯度，我們可以建立影長(zhǎng)方程，從而用MATLAB繪畫(huà)出影長(zhǎng)圖像。

對(duì)于第二問(wèn)，所給數(shù)據(jù)的影長(zhǎng)變化，可以推測(cè)出測(cè)量地處于下半天（正午12時(shí)至凌晨0時(shí)），由此可以推算出不符合要求的地區(qū)，從而縮小數(shù)據(jù)量。利用第一問(wèn)所推導(dǎo)的影長(zhǎng)公式，使用MATLAB算出符合上述條件的各地區(qū)影長(zhǎng)，與所給數(shù)據(jù)的影長(zhǎng)作標(biāo)準(zhǔn)差，來(lái)看出不同地區(qū)的影長(zhǎng)數(shù)據(jù)的偏離程度。從而確定出更為合理的測(cè)量地。同時(shí)可以根據(jù)給定的影長(zhǎng)坐標(biāo)，繪畫(huà)出影長(zhǎng)變化曲線(xiàn)，并用二次函數(shù)進(jìn)行擬合，求出影長(zhǎng)最短的時(shí)刻，通過(guò)所給數(shù)據(jù)的時(shí)刻，來(lái)估測(cè)出測(cè)量地的時(shí)區(qū)或經(jīng)度，并與我們推理的測(cè)量地進(jìn)行比較。經(jīng)過(guò)推算，得知測(cè)量地位于東經(jīng)108.67°，北緯19.26°，也就是我國(guó)的海南省東方市附近。

對(duì)于第三問(wèn)，與第二問(wèn)比較起來(lái)缺少變量日期。與第二問(wèn)類(lèi)似，我們先推測(cè)出可行的經(jīng)緯度及日期范圍，再對(duì)此經(jīng)緯度、日期所對(duì)應(yīng)的影長(zhǎng)進(jìn)行求解，并與實(shí)際觀測(cè)數(shù)值進(jìn)行對(duì)比。由于相對(duì)多了一個(gè)自由量，所以相應(yīng)解的個(gè)數(shù)會(huì)增加，對(duì)所有可能解我們?cè)倮脠D像進(jìn)行進(jìn)一步檢驗(yàn)。根據(jù)模型構(gòu)建我們得到第一組數(shù)據(jù)測(cè)量地位于東經(jīng)79°，北緯39°，此地為新疆喀什附近，日期為5月12日或7月31日。對(duì)于第二組數(shù)據(jù)測(cè)量地位于東經(jīng)110°，北緯34°，此地為陜西省商洛市附近，日期為10月26日。

對(duì)于第四問(wèn)，視頻信息每間隔3min進(jìn)行截圖，根據(jù)圖片使用Digimizer軟件測(cè)量出影長(zhǎng)。與第二問(wèn)比較起來(lái)，增加了桿長(zhǎng)。也就是說(shuō)，可以求出不同時(shí)刻的太陽(yáng)入射角。根據(jù)第一問(wèn)的太陽(yáng)入射角與地點(diǎn)經(jīng)緯度的關(guān)系式，通過(guò)所測(cè)數(shù)據(jù)的非線(xiàn)性擬合，確定出測(cè)量地為東經(jīng)111°，北緯43°，在內(nèi)蒙古烏蘭察布市附近。

?

?

?

?

?

?

?

?

?

關(guān)鍵詞：?空間坐標(biāo)系?二次函數(shù)擬合?標(biāo)準(zhǔn)差?非線(xiàn)性擬合

1、問(wèn)題重述

如何確定視頻的拍攝地點(diǎn)和拍攝日期是視頻數(shù)據(jù)分析的重要方面，太陽(yáng)影子定位技術(shù)就是通過(guò)分析視頻中物體的太陽(yáng)影子變化，確定視頻拍攝的地點(diǎn)和日期的一種方法。

1.建立影子長(zhǎng)度變化的數(shù)學(xué)模型，分析影子長(zhǎng)度關(guān)于各個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律，并應(yīng)用你們建立的模型畫(huà)出2015年10月22日北京時(shí)間9:00-15:00之間天安門(mén)廣場(chǎng)（北緯39度54分26秒,東經(jīng)116度23分29秒）3米高的直桿的太陽(yáng)影子長(zhǎng)度的變化曲線(xiàn)。

2.根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽(yáng)影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點(diǎn)。將你們的模型應(yīng)用于附件1的影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，給出若干個(gè)可能的地點(diǎn)。

3.?根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽(yáng)影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點(diǎn)和日期。將你們的模型分別應(yīng)用于附件2和附件3的影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，給出若干個(gè)可能的地點(diǎn)與日期。

4．附件4為一根直桿在太陽(yáng)下的影子變化的視頻，并且已通過(guò)某種方式估計(jì)出直桿的高度為2米。請(qǐng)建立確定視頻拍攝地點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用你們的模型給出若干個(gè)可能的拍攝地點(diǎn)。

如果拍攝日期未知，你能否根據(jù)視頻確定出拍攝地點(diǎn)與日期？

?附件一：影長(zhǎng)數(shù)據(jù)（含3個(gè)表格）

?附件二：視頻

2、問(wèn)題假設(shè)

1、同一天中不考慮地球公轉(zhuǎn)所引起的太陽(yáng)直射點(diǎn)緯度變化

2、不考慮各地的海拔、高地等引起的高度變化

3、照射到地球表面的太陽(yáng)光線(xiàn)為平行光

4、題中所給的所有數(shù)據(jù)準(zhǔn)確無(wú)誤

5、視頻所截取的數(shù)據(jù)能夠具有代表性

3、符號(hào)說(shuō)明

符號(hào)	表示的意義
R	地球半徑
r	日地距離
	太陽(yáng)入射角
	桿長(zhǎng)
	影長(zhǎng)
	測(cè)量地
	太陽(yáng)
	時(shí)間

4、模型建立與求解

4.1模型一的建立與求解

??4.1.1?模型一的建立

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

?以地心為坐標(biāo)原點(diǎn)，指向赤道上東經(jīng)0°點(diǎn)方向?yàn)閤軸正方向，指向北極點(diǎn)方向?yàn)閦軸正方向，垂直于x軸、z軸的方向?yàn)閥軸正方向，構(gòu)建右手直角坐標(biāo)系。記測(cè)量地點(diǎn)的經(jīng)緯度為,地球半徑為R，那么測(cè)量地的位置坐標(biāo)為，那么直桿的方向向量可以取為，日地距離記為，

直桿長(zhǎng)度為，影子長(zhǎng)度為，太陽(yáng)直射點(diǎn)的經(jīng)緯度為。

其中，??即

太陽(yáng)直射點(diǎn)：

經(jīng)度，是測(cè)量地點(diǎn)的時(shí)間，是地球的自轉(zhuǎn)角速度，。

緯度，是從春分日開(kāi)始經(jīng)過(guò)的天數(shù)，???????????????????????????????????????????????[1]

記日地平均距離為，又稱(chēng)為天文單位，其中1天文單位

可以精確至。

由于日地距離對(duì)于任何一年的任何一天都是精確已知的，所以這個(gè)距離可用一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式表述。為了避免日地距離用具體長(zhǎng)度計(jì)量單位表示過(guò)于冗長(zhǎng)，一般均以其與日地平均距離比值的平方表示，即。???????????????[2]

我們得到的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：???

式中稱(chēng)日角，即，這里又由兩部分組成，即，

其中為積日，所謂積日，就是日期在年內(nèi)的順序號(hào)，例如，1月1日其積日為1，平年12月31日的積日為365，閏年則為366，等等。

又有，

其中為數(shù)值向下取整為最接近的整數(shù)的函數(shù)。

因此我們可以得到了觀測(cè)點(diǎn)所在地的日地距離,.

記太陽(yáng)入射角，太陽(yáng)的坐標(biāo)為，其中

?

所以太陽(yáng)入射角為與的夾角的余角，即，此時(shí)，若則舍去。

故可以得到影子長(zhǎng)度:

。

??4.1.2?模型一的求解：

由于觀測(cè)點(diǎn)為天安門(mén)廣場(chǎng)，從而可以得到觀測(cè)點(diǎn)的經(jīng)度為東經(jīng)116度23分29秒，緯度為北緯39度54分26秒，即，

又根據(jù)地球半徑，從而可以得到北京天安門(mén)廣場(chǎng)坐標(biāo)為

根據(jù)觀測(cè)時(shí)間2015年10月22日北京時(shí)間9:00-15:00可以得到

，，

，

那么此時(shí)的日地距離。

也就是說(shuō)，在北京時(shí)間2015年10月22日太陽(yáng)直射點(diǎn)位于南緯

接著根據(jù)公式，我們可以得到不同時(shí)刻太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度，從而可以得出不同時(shí)刻太陽(yáng)的位置坐標(biāo)，（見(jiàn)下表）

?	?	?
9:00	165	-11.1154	-141284859.6	37857164.04	-27802137.27
9:18	160.5	-11.1154	-137879086.7	48825545.36	-27802137.27
9:36	156	-11.1154	-133623243.4	59492900.97	-27802137.27
9:54	151.5	-11.1154	-128543568.3	69793463.05	-27802137.27
10:12	147	-11.1154	-122671379.4	79663725.22	-27802137.27
10:30	142.5	-11.1154	-116042880.6	89042834.04	-27802137.27
10:48	138	-11.1154	-108698938.9	97872964.18	-27802137.27
11:06	133.5	-11.1154	-100684832.1	106099674.9	-27802137.27
11:24	129	-11.1154	-92049969.77	113672245.9	-27802137.27
11:42	124.5	-11.1154	-82847588.81	120543989.7	-27802137.27
12:00	120	-11.1154	-73134424.91	126672539.7	-27802137.27
12:18	115.5	-11.1154	-62970362.97	132020111.4	-27802137.27
12:36	111	-11.1154	-52418067.8	136553735.2	-27802137.27
12:54	106.5	-11.1154	-41542597.8	140245459.8	-27802137.27
13:12	102	-11.1154	-30411003.88	143072524.5	-27802137.27
13:30	97.5	-11.1154	-19091916.01	145017499.5	-27802137.27
13:48	93	-11.1154	-7655120.124	146068393.5	-27802137.27
14:06	88.5	-11.1154	3828872.121	146218727.1	-27802137.27
14:24	84	-11.1154	15289258.1	145467573.8	-27802137.27
14:42	79.5	-11.1154	26655380.71	143819564.4	-27802137.27
15:00	75	-11.1154	37857164.04	141284859.6	-27802137.27

?

由于已知桿長(zhǎng)，所以根據(jù)入射角公式及影長(zhǎng)公式可以得到不同時(shí)刻的太陽(yáng)入射角與影子長(zhǎng)度（見(jiàn)下表）。

?

? ?		影子長(zhǎng)度
9:00	0.388150215	7.336860881
9:18	0.434875968	6.458059249
9:36	0.478877147	5.778292791
9:54	0.51977913	5.242293654
10:12	0.557178011	4.815214138
10:30	0.590647639	4.47431276
10:48	0.619751521	4.204425012
11:06	0.64406016	3.995344707
11:24	0.663173545	3.84023309
11:42	0.676747218	3.734615318
12:00	0.684518846	3.675737661
12:18	0.686331109	3.66216913
12:36	0.682146543	3.693590593
12:54	0.672051204	3.770747168
13:12	0.656246327	3.895559021
13:30	0.635029826	4.071402227
13:48	0.6087714	4.303594647
14:06	0.577885716	4.600163083
14:24	0.542807464	4.973043649
14:42	0.503970805	5.440009713
15:00	0.461794213	6.02790441

?

為了繪制出影子長(zhǎng)度變化曲線(xiàn)，我們對(duì)函數(shù)中的21組數(shù)據(jù)進(jìn)行MATLAB制圖。

程序：

R=6371;

time=9:0.3:15;

a=116+23/60+29/3600;

b=39+54/60+26/3600;

c=120-15.*(time-12);

d=asin(0.39775*sind(180+(214-186)));

r=1.48887659888219*10^8;

A=[R*cosd(b)*cosd(a)?R*cosd(b)*sind(a)?R*sind(b)];

B=[r*cos(d).*cosd(c);?r*cos(d).*sind(c);r*sin(d).*ones(1,21)];

for?i=1:21

ci(i)=pi/2-acos(dot(A,B(:,i))/norm(A)/norm(B(:,i)));

end

yz=3./tan(ci);

plot(time,yz)

運(yùn)行結(jié)果：

????至此，我們得到了2015年10月22日北京時(shí)間9:00-15:00之間天安門(mén)廣場(chǎng)（北緯39度54分26秒,東經(jīng)116度23分29秒）3米高的直桿的太陽(yáng)影子長(zhǎng)度的變化曲線(xiàn)。

?

?

4.2模型二的建立與求解

??4.2.1?模型二的建立

根據(jù)所給定的21組不同時(shí)間的影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，繪畫(huà)出影子長(zhǎng)度隨時(shí)間的變化曲線(xiàn)。

此時(shí)我們可以使用二次函數(shù)擬合這組數(shù)據(jù)，并求出最低點(diǎn)的時(shí)間。

程序1：

a=[14.7?1.149625826;14.75?1.182198976;14.8?1.215296955;14.85?1.249051052;14.9?1.28319534;14.95?1.317993149;15?1.353364049;15.05?1.389387091;15.1?1.426152856;15.15?1.463399853;15.2?1.501481622;15.25?1.540231817;15.3?1.579853316;15.35?1.620144515;15.4?1.661270613;15.45?1.703290633;15.5?1.74620591;15.55?1.790050915;15.6?1.835014272;15.65?1.880875001;15.7?1.927918447];
A=polyfit(a(:,1),a(:,2),2);
low=-A(2)/2/A(1)
low?=

???12.5984

根據(jù)運(yùn)行結(jié)果，可以估算出北京時(shí)間12.5984小時(shí)，測(cè)量地為影子長(zhǎng)度最小時(shí)刻，也就是太陽(yáng)高度最高時(shí)刻，即當(dāng)?shù)貢r(shí)間的12時(shí)。

???????為測(cè)量地的經(jīng)度。

數(shù)據(jù)的時(shí)間是北京時(shí)間14.7時(shí)到15.7時(shí)。此時(shí)的影長(zhǎng)是遞增的，可以知道測(cè)量地此時(shí)處于下午時(shí)刻。

，代表測(cè)量地在北京時(shí)間15.7時(shí)才剛到下午。

，代表測(cè)量地在北京時(shí)間14.7時(shí)才剛到凌晨。

我們可以得知，從西經(jīng)到東經(jīng)處不可能是測(cè)量地。

太陽(yáng)直射點(diǎn)的經(jīng)緯度是，則記，代表北京時(shí)間4月18日，以此緯度為界限向南全天均為黑夜。

由，

則，??

那么南緯到在北京時(shí)間4月18日一直處于黑夜。

???接著根據(jù)公式，我們可以得到不同時(shí)刻太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度，從而可以得出不同時(shí)刻太陽(yáng)的位置坐標(biāo)，（見(jiàn)下表）

?
14:42	79.5	10.4381	26683609.49	143971873.3	26974431.66
14:45	78.75	10.4381	28565857.03	143610261.2	26974431.66
14:48	78	10.4381	30443209.96	143224042.2	26974431.66
14:51	77.25	10.4381	32315346.61	142813282.6	26974431.66
14:54	76.5	10.4381	34181946.19	142378052.6	26974431.66
14:57	75.75	10.4381	36042688.86	141918426.9	26974431.66
15:00	75	10.4381	37897255.81	141434484.1	26974431.66
15:03	74.25	10.4381	39745329.26	140926307.4	26974431.66
15:06	73.5	10.4381	41586592.55	140393983.6	26974431.66
15:09	72.75	10.4381	43420730.19	139837604	26974431.66
15:12	72	10.4381	45247427.91	139257264	26974431.66
15:15	71.25	10.4381	47066372.72	138653062.9	26974431.66
15:18	70.5	10.4381	48877252.95	138025104.4	26974431.66
15:21	69.75	10.4381	50679758.31	137373496	26974431.66
15:24	69	10.4381	52473579.96	136698349.3	26974431.66
15:27	68.25	10.4381	54258410.53	135999780.1	26974431.66
15:30	67.5	10.4381	56033944.2	135277908	26974431.66
15:33	66.75	10.4381	57799876.74	134532856.8	26974431.66
15:36	66	10.4381	59555905.57	133764754	26974431.66
15:39	65.25	10.4381	61301729.8	132973731.3	26974431.66
15:42	64.5	10.4381	63037050.3	132159924.3	26974431.66

由于影長(zhǎng)，這里分別代表第一小問(wèn)的桿長(zhǎng)和太陽(yáng)入射角。

又有，對(duì)于每一固定的地點(diǎn)是確定的，所以桿長(zhǎng)不確定的情況下，我們帶入桿長(zhǎng)時(shí)，與實(shí)際測(cè)量值相差倍。計(jì)算各地的影長(zhǎng)與測(cè)量值之間的標(biāo)準(zhǔn)差，使得標(biāo)準(zhǔn)差最小的的地點(diǎn)，也就是每組數(shù)據(jù)與測(cè)量值相差的倍數(shù)越靠近同一個(gè)值得地點(diǎn)，為測(cè)量地的可能性就越大。

??4.2.2?模型二的求解

利用MATLAB編寫(xiě)程序可以得到各地的影長(zhǎng)與測(cè)量值之間的標(biāo)準(zhǔn)差。

?

程序：

z=zeros(19700,17000);

for?i=64:0.01:260

for?j=-80:0.01:89

for?k=1:21

c(k)=120-15*(a(k,1)-12);

dt=asin(0.39775*sin(pi*(28+(a(k,1)-6.75)/24)/186));

l=[cosd(j)*cosd(i),cosd(j)*sind(i),sind(j)];

m=[cos(dt)*cosd(c(k)),cos(dt)*sind(c(k)),sin(dt)];

ac=acos(dot(l,m));

if(ac>pi/2)

z((i-64)*100+1,(j+80)*100+1)=1;

end

t(k)=1/(a(k,2)*tan(pi/2-ac));

end

if(z((i-64)*100+1,(j+80)*100+1))==0)

st((i-64)*100+1,(j+80)*100+1)=std(t);

else

st((i-64)*100+1,(j+80)*100+1)=1000;

end

end

end

?

運(yùn)行結(jié)果：

?

由于運(yùn)行結(jié)果過(guò)于龐大，我們截取了部分結(jié)果，同時(shí)利用EXCEL求出了標(biāo)準(zhǔn)差的最小值以及相應(yīng)的點(diǎn)。

?

?

?

因此得到了最小的標(biāo)準(zhǔn)差為1.34012E-05，又由于在該點(diǎn)附近的標(biāo)準(zhǔn)差與最小值相差甚小，故可推測(cè)出直桿所處的地點(diǎn)為東經(jīng)108.67°，北緯19.26°。也就是我國(guó)的海南省東方市附近。

??4.2.3?模型二的檢驗(yàn)

計(jì)算值與測(cè)量值的影長(zhǎng)曲線(xiàn)圖，如下：

?

?

時(shí)間	測(cè)量值	估計(jì)值	誤差
14.7	1.149625826	1.190490641	-0.040864814
14.75	1.182198976	1.218049998	-0.035851021
14.8	1.215296955	1.246234754	-0.030937798
14.85	1.249051052	1.275059812	-0.02600876
14.9	1.28319534	1.304541586	-0.021346246
14.95	1.317993149	1.334698039	-0.016704891
15	1.353364049	1.365548738	-0.012184689
15.05	1.389387091	1.397114906	-0.007727815
15.1	1.426152856	1.429419494	-0.003266637
15.15	1.463399853	1.462487251	0.000912602
15.2	1.501481622	1.496344813	0.005136809
15.25	1.540231817	1.531020797	0.00921102
15.3	1.579853316	1.566545907	0.013307409
15.35	1.620144515	1.602953056	0.01719146
15.4	1.661270613	1.640277494	0.020993119
15.45	1.703290633	1.678556961	0.024733672
15.5	1.74620591	1.717831842	0.028374068
15.55	1.790050915	1.758145355	0.03190556
15.6	1.835014272	1.799543745	0.035470527
15.65	1.880875001	1.842076506	0.038798495
15.7	1.927918447	1.885796626	0.042121822

?

根據(jù)上表的數(shù)據(jù)繪制誤差變化圖，如下：

?

4.3模型三的建立與求解

4.3.1?模型三的建立

對(duì)于這兩組數(shù)據(jù)，以第一組數(shù)據(jù)為例。

影子長(zhǎng)度由四個(gè)變量所控制：日期，時(shí)間，地點(diǎn)(經(jīng)度、緯度)。

我們使用相同的符號(hào)：觀測(cè)點(diǎn)經(jīng)緯度,太陽(yáng)坐標(biāo)(方向)。利用蔣洪力論文的結(jié)論，根據(jù)太陽(yáng)運(yùn)行進(jìn)度來(lái)求太陽(yáng)坐標(biāo)的緯度.得到：

?

其中為每年的積日。

,

利用之前得到的公式，得到太陽(yáng)入射角與觀測(cè)點(diǎn)，時(shí)間的函數(shù)關(guān)系：

其中

.

因此影長(zhǎng).

因此應(yīng)為常值.(為測(cè)量值)

我們?cè)俅卫玫难h(huán)變量，即對(duì)經(jīng)度、緯度、日期作為三軸，建立三維網(wǎng)格，我們對(duì)網(wǎng)格所有格點(diǎn)進(jìn)行一次遍歷，并選擇出最優(yōu)解(即的波動(dòng)范圍較小者，即方差較小者).

在循環(huán)中，我們利用二次擬合，求出測(cè)量地的大致精度范圍.

?

4.3.2?模型的求解

對(duì)于第一個(gè)測(cè)量地，我們利用二次擬合得到曲線(xiàn)

所以觀測(cè)地的大致范圍在

?

對(duì)于第二個(gè)測(cè)量地，我們利用二次擬合得到曲線(xiàn)

所以觀測(cè)地的大致范圍在

?

程序：

?

(1)

for?i=61:120

for?j=-90:89

for?k=1:365

yz=pnt(i,j,k,a(:,1));

t=yz'./a(:,2);

st((i-60)+(k-1)*60,j+91)=std(t);

end

end

end

?

(2)

for?i=78:137

for?j=-90:89

for?k=1:365

yz=pnt(i,j,k,a(:,1));

t=yz'./a(:,2);

st((i-77)+(k-1)*60,j+91)=std(t);

end

end

end

?

對(duì)于第一個(gè)測(cè)量地，得到如下的運(yùn)行結(jié)果：

?

相對(duì)應(yīng)的結(jié)果為11月25日?東經(jīng)80°?南緯39°.

在世界地圖上尋找對(duì)應(yīng)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)為海上，所以此值應(yīng)當(dāng)舍去，選取次優(yōu)解。

次優(yōu)解有兩個(gè)：5月12日?東經(jīng)79°?北緯39°。

7月31日?東經(jīng)79°?北緯39°，此地為新疆喀什附近。

?

?

對(duì)于第二個(gè)測(cè)量地，得到如下的運(yùn)行結(jié)果。

????

???相應(yīng)的結(jié)果為10月26日?東經(jīng)110°?北緯34°，此地為陜西省商洛市附近。

?

4.4模型四的建立與求解

??4.4.1模型四的建立

坐標(biāo)系與各變量的表示均與問(wèn)題一中相同。

根據(jù)附件4中直桿在太陽(yáng)下的影子變化的視頻，以3分鐘為一節(jié)點(diǎn)截取視頻中的圖像，利用Digimizer測(cè)量軟件測(cè)量出影子長(zhǎng)度，共測(cè)得14組數(shù)據(jù)（如下表）。

?

時(shí)間	影子長(zhǎng)度/m
8:54	2.410633
8:57	2.363567
9:00	2.324
9:03	2.286367
9:06	2.245267
9:09	2.1975
9:12	2.157067
9:15	2.1198
9:18	2.091633
9:21	2.043833
9:24	2.001667
9:27	1.953233
9:30	1.918767
9:33	1.8776

記觀測(cè)地A的經(jīng)緯度為（a,b）,那么直桿的方向向量可表示為.

接下來(lái)考慮太陽(yáng)直射點(diǎn)的經(jīng)緯度：

????經(jīng)度，是測(cè)量地點(diǎn)的時(shí)間，是地球的自轉(zhuǎn)角速度，。

緯度，是從春分日開(kāi)始經(jīng)過(guò)的天數(shù)，。

根據(jù)視頻我們可以得到測(cè)量地點(diǎn)的日期和時(shí)間，從而和可知，即不同時(shí)刻太陽(yáng)直射點(diǎn)的經(jīng)緯度可知。

從而太陽(yáng)位置可表示為。

所以太陽(yáng)入射角，影子長(zhǎng)度。

即

也就是，

??4.4.2?模型四的求解

首先根據(jù)上述模型，得到不同時(shí)刻太陽(yáng)直射點(diǎn)的經(jīng)緯度，并且求出太陽(yáng)的坐標(biāo)。

?	?	?
8:54	166.5	14.6001	-137202961.4	32939516.71	56723036.13
8:57	165.75	14.6001	-136760041.9	34732625.97	56723036.13
9:00	165	14.6001	-136293689.3	36519783.99	56723036.13
9:03	164.25	14.6001	-135803983.5	38300684.52	56723036.13
9:06	163.5	14.6001	-135291008.4	40075022.43	56723036.13
9:09	162.75	14.6001	-134754851.8	41842493.69	56723036.13
9:12	162	14.6001	-134195605.7	43602795.45	56723036.13
9:15	161.25	14.6001	-133613365.9	45355626.1	56723036.13
9:18	160.5	14.6001	-133008232.1	47100685.3	56723036.13
9:21	159.75	14.6001	-132380308.1	48837674.03	56723036.13
9:24	159	14.6001	-131729701.3	50566294.68	56723036.13
9:27	158.25	14.6001	-131056523.4	52286251.06	56723036.13
9:30	157.5	14.6001	-130360889.6	53997248.46	56723036.13
9:33	156.75	14.6001	-129642919.1	55698993.71	56723036.13

程序：

a=[8.9 2.4097;8.95 2.3645;9 2.3195;9.05 2.2757;9.1 2.2416;9.15 2.1917;9.2 2.1555;9.25 2.1062;9.3 2.0759;9.35 2.0315;9.4 1.9947;9.45 1.9525;9.5 1.9191;9.55 1.8792];

for?i=78:137

for?j=-90:89

yz=pnt(i,j,194,a(:,1));%pnt為求影子長(zhǎng)度的函數(shù)，見(jiàn)附錄。

t=yz'./a(:,2);

st(i-77,j+91)=std(t);

end

end

end?

運(yùn)行結(jié)果：

利用EXCEL查找出了標(biāo)準(zhǔn)差的最小值，所以可以得知測(cè)量地為東經(jīng)111°，北緯43°，在內(nèi)蒙古烏蘭察布市附近。

??4.4.3?模型四的檢驗(yàn)

a=[8.9 2.4097;8.95 2.3645;9 2.3195;9.05 2.2757;9.1 2.2416;9.15 2.1917;9.2 2.1555;9.25 2.1062;9.3 2.0759;9.35 2.0315;9.4 1.9947;9.45 1.9525;9.5 1.9191;9.55 1.8792];

st=zeros(60,180);

for?i=78:137

for?j=-90:89

yz=pnt(i,j,194,a(:,1));

t=2.*yz'./a(:,2);

for?k=1:14

st(i-77,j+91)=st(i-77,j+91)+abs(t(k)-1);

end

end

End

容易得到：影長(zhǎng)的誤差和為???，

其中為東經(jīng)111°，北緯43°在對(duì)應(yīng)時(shí)間下的影長(zhǎng)；為對(duì)應(yīng)時(shí)間下的測(cè)量值。

則，

即

?

?4.4.4?模型四的檢驗(yàn)模型四的推廣問(wèn)題

在拍攝日期未知的情形下，那么這個(gè)問(wèn)題就類(lèi)似于問(wèn)題三。我們可以通過(guò)同樣的方法，估算出一些可能的地點(diǎn)，但是問(wèn)題三利用的是公式算得的影長(zhǎng)與測(cè)量值之間存在一個(gè)桿長(zhǎng)倍數(shù)的關(guān)系，然后利用計(jì)算的數(shù)值，比較其標(biāo)準(zhǔn)差，考察每個(gè)數(shù)據(jù)與真實(shí)值比值的離散程度。但是問(wèn)題四已經(jīng)給出了一個(gè)桿長(zhǎng)，所以我們可以繼續(xù)進(jìn)行檢驗(yàn)，觀察在這些可能的地點(diǎn)中這個(gè)比值是否在桿長(zhǎng)附近波動(dòng)。波動(dòng)程度越小，那么地點(diǎn)是測(cè)量地的可能性就越高。這樣也就可以估測(cè)出大致的拍攝地點(diǎn)及日期。

5、模型的評(píng)價(jià)

??6.1?模型的優(yōu)點(diǎn)

??（1）數(shù)學(xué)推導(dǎo)，具有較強(qiáng)的理論依據(jù)，邏輯的推理增強(qiáng)了數(shù)據(jù)間的連貫性，方便觀察出其中明顯的失誤。

??（2）使用擬合數(shù)據(jù)，進(jìn)行測(cè)量地的位置估算，可以對(duì)結(jié)果起到引導(dǎo)性作用，更容易做出精確的結(jié)果。

??6.2?模型的缺點(diǎn)

??（1）由于地理因素復(fù)雜，無(wú)妨用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型完美刻畫(huà)，得到的結(jié)果也只能是在不考慮眾多地理復(fù)雜因素下的估計(jì)值。

??（2）由于不同的擬合方式可以得到不同的精確度，所以引導(dǎo)性的精確程度也是可以不斷優(yōu)化的，然而我們選擇的擬合方式并不一定是最好的。

6、參考文獻(xiàn)

[1]??[0583-1458]?蔣洪力，太陽(yáng)直射點(diǎn)緯度的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和分析，數(shù)學(xué)通報(bào)，第9期:P39-40，2007。

[2]??[TK511;P182.1]?王炳忠，太陽(yáng)輻射計(jì)算講座?第一講?太陽(yáng)能中天文參數(shù)的計(jì)算，太陽(yáng)能，第2期:P8-10，1999。

[3]??[978-7-5643-2992-1]?龔濤，攝影測(cè)量學(xué)，成都：西南交通大學(xué)出版社,2014.04。

[4]??[9787040196382]?姜啟源，謝金星，數(shù)學(xué)建模案例選集，北京：高等教育出版社，2006。

[5]??[9787302265535]?李學(xué)文，數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀論文精選與點(diǎn)評(píng)，北京：清華大學(xué)出版社，2011。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的2015高教杯全国大学生数学建模竞赛论文的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。