普通篩法時間界 O(nlnlnn) 的證明

定義

樸素素數(shù)篩法即是利用每一個素數(shù)篩出所有他的倍數(shù)。

證明

對于待篩選的最大數(shù)n，由于素數(shù)分布定理，其中的素數(shù)個數(shù)約等于 nlnn，第i個素數(shù)約為 ilni。則算法總的運行次數(shù)為：

∑i=1nlnnnilni=n∑i=1nlnn1ilni…(1)

(為了方便，計 ln1=1 )
考慮對

∑i=1nlnn1ilni…(2)

用積分估值。有：

∑i=1nlnn1ilni=O(∫nlnn21ilni?di)…(3)

由微積分基本定理：

(3)=O(F(nlnn))…(4)F(x)=∫1ilni?di=lnlni

因而：

(2)=(4)=O(lnlnnlnn)=O(lnlnn?lnlnlnn)=O(lnlnn)

所以：

(1)=O(nlnlnn)

證畢。

轉載于:https://www.cnblogs.com/ljt12138/p/6684356.html

總結

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