空間的基和坐標系：

繼續接著上一次線性代數學習之正交性，標準正交矩陣和投影往下學習，前面已經詳細的學習了什么是空間、什么是向量空間、什么是子空間，在此基礎上又知道了對于一個空間來說基是很重要的屬性，并且對于一個空間來說其實是有無數組基的，而我們比較感興趣的通常是正交基和標準正交基，當然這不是所有的情況，在不同的領域中會對不同的基感興趣，既然一個空間存在這么多種不同的基，就會涉及到空間中的一組基跟另外一組基是怎樣變換的，這也是此次所要研究的話題，具體就是要了解坐標轉換和線性變換兩個概念，而這里先來從坐標轉換相關的概念開始了解。

在之前線性代數的學習中，在理解空間的基的一個視角就是坐標系，其實坐標系跟空間的基是一一對應的關系的，當有了一組空間的基時就可以說有了空間的一個坐標系，反過來也成立，舉個之前舉過的二維空間的例子：

其中在這個坐標系上取一點（12，8），之所以這個點是（12，8）是建立在一個標準坐標上的，標準就包括水平向上和垂直向上的坐標軸以及定義了什么是一個單位，如下：

而紅色的兩個單位箭頭其實就是定義了二維平面的一組基，當然二維平面可以有無數組基，比如這樣：

如果定義好了這么一個基的話，可以以這兩個基的向量所對應的方向當作二維平面兩個軸的方向，而兩個向量的模當作是兩個方向上的一個單位是多少，這樣這組基又定義了這么一個坐標系：

此時這個點的坐標就變成了（2，2）了：

可見同樣一個點就對應了兩個表示法：

第一組基如果以列排列的話這個點表示的是：

而第二組基也是列排列的話這個點表示的是：

這就是空間的基和坐標系之間的關系，它們是一一對應的，而關于空間的基更嚴謹的有這么一個結論，之前https://www.cnblogs.com/webor2006/p/14306046.html已經證明過：

在n維空間，如果給定一組基，任何一個向量（或者是點）都可以表示成這組基的線性組合，且表示方法唯一！

下面再來對這兩種空間對應的坐標系的情況進行一個總結：

所以對于n維空間的一個點或者向量，我們定義為x，那么給定任何一組基都可以表示成這組基的線性組合，且表示方法唯一，所以：

前面的式子是在e1、e2這組基下，后面的式子是在u、v的這組基下，而相應的每一組基都對應著一個坐標系，如下：

發現規律木有，實際上我們說的坐標的值就是把這個向量x表示成這組基所對應的線性組合，相應的線性組合中每一個基向量前面的那個系數，所以就可以給下面的一個定義啦：

如果給定向量空間V中的一組基B，B定義為：

以及V中的一個向量x：則x一定可以被這組基線性表示。假設：

則稱x在這組基B下的坐標，為：

而由于不同的坐標對應的是同一個x點，所以為了區分起見，也可以記做：

也就是這一組坐標（c1,c2,...,cn）在大B這組基下相應的坐標，有點暈，回到具體的例子來看：

其中這個符號怎么讀的呀：

關于數學符號的讀法在網上搜了個表，可以參考一下：

大寫	小寫	英文注音	國際音標注音	中文注音
Α	α	alpha	alfa	阿耳法
Β	β	beta	beta	貝塔
Γ	γ	gamma	gamma	伽馬
Δ	δ	deta	delta	德耳塔
Ε	ε	epsilon	epsilon	艾普西隆
Ζ	ζ	zeta	zeta	截塔
Η	η	eta	eta	艾塔
Θ	θ	theta	θita	西塔
Ι	ι	iota	iota	約塔
Κ	κ	kappa	kappa	卡帕
∧	λ	lambda	lambda	蘭姆達
Μ	μ	mu	miu	繆
Ν	ν	nu	niu	紐
Ξ	ξ	xi	ksi	可塞
Ο	ο	omicron	omikron	奧密可戎
∏	π	pi	pai	派
Ρ	ρ	rho	rou	柔
∑	σ	sigma	sigma	西格馬
Τ	τ	tau	tau	套
Υ	υ	upsilon	jupsilon	衣普西隆
Φ	φ	phi	fai	斐
Χ	χ	chi	khai	喜
Ψ	ψ	psi	psai	普西
Ω	ω	omega	omiga	歐米伽

其中咱們的這個就讀epsilon【艾普西隆】

?而通常我們說到的坐標系都是在這組基下：

所以稱之為“標準基（Standard Basis）” 而標準基所對應的坐標系就稱為“標準坐標系”。但是！！！這里說的“標準基（Standard Basis）”很容易跟之前所學的“標準正交基（Orthonormal Basis）”搞混，這里一定要分清楚！！！！

所以對于n維標準基（n維標準坐標系），就是：

其他坐標系與標準坐標系的轉換：

上面已經了解了空間的基與坐標系之間的關系，空間中有幾數組基，而每一組基都對應著一個坐標系，與此同時也知道了標準基的概念，相應的坐標系就叫標準坐標系，那對于標準坐標系與非標準的坐標系之間是如何轉換的呢？下面來探討這個它：

還是回到之前的那個二維平面坐標系的例子：

第一組基如果以列排列的話這個點表示的是：

而第二組基也是列排列的話這個點表示的是：

用符號來表示的話：

那這兩個坐標之間有啥聯系呢？其實這個問題在之前學習看待矩陣視角時有學過，這里再來整理一下：

也就是可以用矩陣的乘法來描述，可以用列視角來看就是：

而其中的(4，1)和(2，3)是在標準坐標系下來衡量的，所以可以總結一下【比較抽象】：

假設有一組基B：

設立矩陣，它里面的元素就是由n個向量逐列排開：

這個矩陣看似像1xn的矩陣，其實是nxn的，有了這個矩陣之后，在這組基下的一個向量：

就有：

這個有點抽象，得結合上面舉到的具體例子來理解，如下：

其中：

稱之為坐標轉換矩陣，

?那為啥會有這么個轉換關系呢，下面來證明一下：

其中B中的基的兩個向量可以表示為：

也就是這兩個向量都是基于標準基中來描述的，而：

然后將u、v代入式子：

而標紅的式子恰恰就是矩陣的乘法展開的樣子：

?所以就得證了。

?在上面我們已經從B這樣的坐標系轉換到了標準坐標系：

那怎么反過來轉換呢，也就是從標準坐標系轉換到B這樣的坐標系中，其實很簡單：

等式兩邊同時乘以Pb的逆，如下：

那為啥Pb這個矩陣是一定可逆的呢？因為它首先是一個方陣，另外它里面列向量一定是線性無關的，也是生成空間的，就可以根據方陣的那N多命題中推出它一定是可逆的，這里具體就不看了，因此，對于坐標轉換相互的式子總結就是：

這里千萬不要搞混Pb和Pb的逆的使用，Pb所乘的坐標一定是B這組基下所對應的坐標，而如果不是B這組基下所對應的坐標而是標準坐標系所對應的坐標，就應該用Pb的逆矩陣來乘。

任意坐標系轉換：

在上面已經對于任意坐標系與標準坐標系之間的轉換進行了闡述，那如果兩個坐標系都是任意坐標系它們之間該如何轉換呢？

假設有一組基：

另一組基：

在B這組基下的一個向量：

求C這組基下的一向量：

?其實求解方法以標準坐標系為橋梁既可，首先求出B這組基下的向量在標準基下所對應的坐標，根據上面的公式既可：

然后只要用C這組基構造成Pc矩陣，再用Pc的逆矩陣乘以在標準坐標基下所表示的坐標既為在C這組基下所表示的值，如下：

而將標準基下的坐標的值代入，可以合成一個式子為：

進一步還可以把它表示成：

那如果反過來呢？也就是在C這組基下的一個向量：

求在B這組基下的一個向量：

?此時就可以用它進行推導：

左右兩邊都乘以Pc，如下：

然后左右兩邊再乘以Pb的逆就有：

同樣的也可以表示為：

?而這兩矩陣其實是互為逆矩陣的：

證明方法也很簡單，如下：

這里再回到之前所學任意坐標系與標準坐標系之間的轉換：

其中標準坐標系也是一個坐標系，得到的結論應該跟咱們目前所學的兩個任意坐標系之間的轉換結果是一樣的才行，下面來以這次所學的視角理解一下，對于標準坐標系其實可以這樣表示：

其中Pc就是單位矩陣：

此時看一下B到C之間的轉換，以任意兩個坐標系的視角來看待就有：

同樣的反過來：

跟之前所述的任意坐標系與標準坐標系之間的轉換是剛好吻合的，其實它是兩個任意坐標系之間的轉換的一個特例。

其實對于標準坐標系還可以看成這樣：

這樣再來看兩個任意坐標系之間的轉換：

而如果我們知道了B這組基向量在C坐標系下的表示：

此時就可以直接拿到坐標系之間轉換的結果：

所以就有：

說實話這個說得有點抽象，下面以具體的例子再來理解一下這個結論：

首先求這個矩陣：

也就是向量按列排列成矩陣：

此時要求x在C坐標系下的坐標就可以用這個公式：

如下：

也就是如果知道了一組基到另一個坐標系下的表示的話，就可以不以單位矩陣做為橋梁來進行坐標轉換的計算了，其證明為：

而b1向量和b2向量為：

將其代入進來就有：

而它其實就是：

反之，如果已知C坐標系下的坐標，求B坐標系下的坐標，如下：

最后總結一下：

對于這些還是比較容易暈的，需要好好挼挼。

線性變換：

在上面一直探討的是關于坐標系的轉換，其實在線性代數領域關于變換這個話題會關注一個更加宏觀更加龐大的定義，稱為線性變換，而對于之前學習的坐標系轉換其實是線性變換其中的一種。

什么是變換？

先來了解什么是變換，通常在數學的世界中一說變換就意味著是一個函數， 而在線性代數領域只對線性變換感興趣，對于非線性變換是不感興趣的【就像之前學習空間一樣，在線性代數中只對向量空間感覺興趣，對非向量空間不感興趣】，先來看一下變換的定義：

一個變換T(x)稱為線性變化，必須滿足以下兩個性質：

性質一：

兩個向量之和的變換就等于兩個向量分別做變換。

性質二：

其中c屬于實數集，它說明給向量u進行常數c相乘之后再做變換就等于先對向量進行一個變換然后再乘以常數c。

以上性質再一次說明了當時在學習向量時的兩個基本運算：向量的加法和數量乘法，這兩個運算是貫穿整個線性代數從始至終的，

?線性變換：

上面對于變換有了基本了解之后，那啥是線性變換呢，回憶一下之前學習矩陣時我們可以所矩陣看做是向量的函數：

所以矩陣所表示的變換，均為線性變換。那為啥它是屬于線性變換呢？當然得要從它需要滿足的兩條性質來證明嘍：

下面來證明第一條性質：

木問題，接下來再來看第二條性質，也比較簡單：

是不是就證明矩陣表示的變換均為線性變換了？有了這樣的一個視角，回到矩陣上來，它既可以看成空間，也可以看做是變換，這兩個視角其實是一致的，還是用之前舉的例子：

它可以看作是空間，比如：

它是一組基構成的空間，但是！！根據上面學習的坐標系轉換的知識，它又可以看成是從B這個坐標系轉換成ξ標準坐標系的坐標變換矩陣【其中看到變換一詞木有，也就是矩陣也可以看成變換】！所以這兩個視角是等價的，也就是空間既變換，變換既空間。不同的空間對應著不同的基，對應著不同的坐標系，所以對于這個矩陣的乘法就可以看作是不同的基的變換或是不同的坐標系之間的變換，反過來一個變換也就對應著不同的基和不同的坐標系，下面來看一下這個反過來的情況，其實也是之前學習矩陣變換時接觸過的，比如讓每個點關于x軸翻轉：

那從空間的基的角度來想這個問題：

這個變換矩陣其實就是表示（1，0），（0，-1）這樣一組基，這個變換就會將這組基下的（x,y）看它在標準基下就是（x，-y）,這樣就完成了x軸的翻轉。所以可以看出對于這個變換矩陣T本質就是對應另外一組基另外一個坐標系，同理再看一個關于y軸翻轉的例子：

它對應的變換矩陣為：

這樣對于T中的（-1，0）、（0，1）這樣坐標系的x，y就成為了所看到的（-x，y）。這樣的視角可以再來看一下變換：讓每個點關于原點翻轉（x軸，y軸均翻轉）

它對應的變換矩陣為：

基中T就是另外一組基，我們做這個坐標系的轉換就達到圖中的變換效果。再回憶一下沿x方向錯切效果：

其中變換矩陣中是另外一組基，在這樣的一個坐標系下（x，y）在標準坐標系下就是（x+ay，y）。

再看沿y方向錯切：

其實就是看（x,y）這個點的坐標在（1，b）、（0，1）這樣的坐標系下對應在標準坐標系的位置為（x，bx + y）。

最后再看一下旋轉的效果：

它對應的變換矩陣為：

也同樣可以將T看成一組坐標系，然后看（x，y）在這組坐標系下對應標準坐標系下的位置。

而之前學習矩陣表示空間和矩陣表示變換聯系起來舉了這么個例子：

也就是要想讓正F向左倒的效果，它對應的變換矩陣就可以從空間的基或坐標系的視角來想這個問題，其實深色的F的x軸就是原來坐標系的y軸，而它的y軸就是原來坐標系的x反向方，所以把這兩個坐標軸按列排列起來就形成了一個坐標轉換矩陣就為：

最后關于線性變換總結一下：

所有的矩陣都可以用來表示一個線性變換；

用矩陣表示空間的視角和用矩陣表示變換的視角是等價的；

更多和坐標轉換和線性變換相關的話題：

對于這次的學習首先是介紹了坐標轉換，在此基礎之上又了解了線性變換，而不管是坐標轉換還是線性變換都可以看成是理解矩陣的一個視角，這也就是之前所說的可以把矩陣看作是一個空間，也可以看成是一種變換。而這次所舉的所有的例子其實都是在同等維度的空間中進行轉換的：

都是在二維平面中從一點轉換到另一點，其實這樣的變換有很多實際的應用，下面來舉例說明一下：

1、最典型的是二維動畫、三維動畫，比如：

這種都是同維度空間的轉換例子.

2、不同維度之間的轉換：

實際當然也有不同維度空間的轉換，比如看3D動畫的靜態圖像，就需要用到3D空間轉到了2D空間的過程，比如：

由于屏幕是一個二維空間，所以對于三維空間的物品要展現在屏幕中就需要從3維轉換到2維，這是從高維空間向低維空間的轉換的例子，反過來也有從低維向高維空間進行轉換的應用，最典型的就是計算機視覺，其實就是通過機器可以看到我們的世界從而提取出一些信息，而機器是通過攝像頭來看到的信息，而攝像頭拍下來的圖片是一個二維的，但是二維的照片中蘊含著三維的信息，所以計算機世界就需要通過這個二維的照片恢復在三維世界中的信息，從而理解一些問題，比如看下圖：

照片是二維的，但是哪個更高，更個離白球更近就涉及到三維的信息，此時就需要從二維轉換成三維坐標系了。

3、同維度空間轉換的應用：

最典型的就是壓縮，這里以二維坐標為例，比如：

有五個數據點，每個數據點都需要2個數據來表示，但是！！！如果坐標軸長這樣呢？

此時這兩個紅色的基來說，這些點所對應的y軸的值都非常小，而所有信息都集中的紅色的x軸上了，是不是就可以做壓縮處理了，假如計算出了這么一組基，只需要記x軸的信息，y軸的可以扔掉，這樣對于這些點的數據表示瞬間就可以壓縮一倍，這其實就是坐標系之間的一個轉換的應用，很多壓縮算法的本質，就是找一組基！！！像JEPG就是典型的這種壓縮算法的應用，像傅里葉變換、小波變換其實就是找一組基。

總而言之，上面舉的這些例子就了解下既可，重點是知道在線性代數中的空間變換有很多實際的使用場景，所以好好學習它們的基礎是有利無害的。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数学习之坐标转换和线性变换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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