我們知道平面上二次曲線的一般方程是：
$$a_{11}{x}^2+2a_{12}xy+a_{22}{y}^2+2a_{1}x+2a_{2}y+a_0=0，（1）$$
其中$$a_{11},a_{12},a_{22}$$不全為零。
我們常用的一個方法是先利用轉軸變換，坐標旋轉角則可用以下公式得到：
$$cot(2\theta )=\frac{a_{11}?a_{22}}{a_{12}}，（2）$$
但是之后的過程略顯復雜，故本文采用不變量的方法來對二次曲線方程進行化簡，并將結合MATLAB進行實現。

1.數學原理

二次曲線的不變量和半不變量為：
$$I_1=a_{11}+a_{22}，（3）$$
$$I_2=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right|，（4）$$
$$I_3=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_1\\ a_{12}& a_{22}& a_2\\ a_1& a_2& a_0\end{array}\right|，（5）$$
$$K_1=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_1\\ a_1& a_0\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_2\\ a_2& a_0\end{array}\right|，（6）$$
可以由不變量和半不變量就能完全確定二次曲線的類型和形狀，即為二次曲線的化簡式，如下表【1】所示：

型別類別識別標記化簡后方程

橢圓型 $$I_2>0$$	(1) 橢圓; (2) 虛橢圓; (3) 一個點	$$I_3與I_1異號$$$$I_3與I_1同號$$$$I_3=0$$	$${\lambda }_1{x}^{{?}^2}+{\lambda }_2{y}^{{?}^2}+\frac{I_3}{I_1}=0$$$$其中{\lambda }_1，{\lambda }_2是多項式$$$${\lambda }^2?I_1\lambda +I_2的兩個實根$$
雙曲型 $$I_2<0$$	(4) 雙曲線； (5) 一對相交直線	$$I_3?=0$$$$I_3=0$$	同上
拋物型 $$I_2=0$$	(6) 拋物線	$$I_3?=0$$	$$I_1{y}^{{?}^2}\pm 2\sqrt{\frac{?I_3}{I_1}}{x}^{?}=0$$
同上	(7) 一對平行直線; (8) 一對虛平行直線； (9) 一對重合直線	$$I_3=0,K_1<0$$$$I_3=0,K_1>0$$$$I_3=0,K_1=0$$	$$I_1{y}^{{?}^2}+\frac{K_1}{I_1}=0$$

【表1】 二次曲線的不變量與曲線的類型和形狀的關系

2.代碼實現

MATLAB 中可以提取方程左端展開后的多項式的系數，在由系數計算不變量和半不變量，對比【表1】得到二次曲線方程的化簡后方程，代碼如下：

在運行時輸入二次曲線方程 f(x,y) = 0 的左端，運行結果示例如下圖所示：

代碼文件可以在下面鏈接中下載：
https://download.csdn.net/download/m0_43484109/10861992

總結

以上是生活随笔為你收集整理的利用MATLAB进行二次曲线方程的正交变换化简的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。