算法圖解第四章筆記與習題（快速排序）

文章目錄

• 算法圖解第四章筆記與習題（快速排序）
• • 4.1 分而治之
  • 4.2 快速排序
  • 4.3 大$O$表示法的平均情況和最糟情況
  • 4.4 小結
  • 練習
  • • • 習題4.1
      • 習題4.2
      • 習題4.3
      • 習題4.4
    • 使用大O表示法時，下面各種操作都需要多長時間？
    • • 習題4.5
      • 習題4.6
      • 習題4.7
      • 習題4.8

4.1 分而治之

分而治之（divide and conquer）D&G是一種著名的遞歸式問題解決方法。——分而治之是遞歸的。

分而治之的算法是遞歸的。使用分而治之算法解決問題的過程包括兩個步驟。

（1）找出基線條件，這種條件必須盡可能接單。

（2）不斷地將問題分解（或者說縮小規模），直到使其符合基線條件。

例如，對于數組類問題的基線條件，則常常是數組為空，或數組內僅有一個元素。分解方式則通常是將其分為兩個盡可能等大小的數組。

4.2 快速排序

def quicksort(array):if len(array) < 2: # 基線條件：為空或只包含一個元素的數組是“有序”的return arrayelse: # 遞歸條件pivot = array[0] # 選定數組中的第一個值為基準值less = [i for i in array[1:] if i <= pivot] # 得到比基準值小的數字組成的數組greater = [i for i in array[1:] if i > pivot] # 得到比基準值大的數字組成的數組return quicksort(less) + [pivot] + quicksort(greater) # 將子數組進行快速排序，再與基準值一同組成有序數組。print(quicksort([10, 5, 2, 3]))

4.3 大$O$表示法的平均情況和最糟情況

• 最糟情況指的是算法運行時可能遇到的最壞的情況。

• 平均情況指的是算法遇到時的最佳情況。（最佳情況也是平均情況）

快速排序的平均情況為$O(n\log n)$，最糟情況為$O(n^2)$。這取決于基準值選取的好壞。

當每次基準值選取的均為最差情況時，則需要對包含$n$個元素的數組進行$n$次基準值的選取。當每次基準這選取的均為最佳情況時，則僅需要$\log n$次選取。（二分）

而當每一次選取基準值后，數組的每個元素均需要和基準值進行對比，因此，每次選取基準值之后需要進行$n$次比較。

因此，快速排序的最糟情況為$O(n?n)=O(n^2)$，平均情況為$O(n\log n)$。

4.4 小結

• 分而治之算法將問題逐步分解。使用分而治之算法處理列表時，基線條件很可能是空數組或只包含一個元素的數組。
• 實現快速排序時，請隨機地選擇用作基準值的元素。快速排序的平均運行時間為$O(n\log n)$。
• 大$O$表示法中的常量有時候事關重大，這就是快速排序比合并排序快的原因所在。
• 比較簡單查找和二分查找時，常量幾乎無關緊要，因為列表很長時，$O(\log n)$的速度比$O(n)$快得多。

練習

習題4.1

• 請編寫前述sum函數的代碼。（遞歸求和，基線條件為數組空）

def sum(arr):if arr == []: # 基線條件：數組為空return 0 # elif len(arr) == 1: # 基線條件：數組內只有一個元素(可省略) # return arr[0]else:return arr[0] + sum(arr[1:]) # 遞歸條件：計算數組中第一個元素外元素的和，并與第一個元素再相加

習題4.2

• 編寫一個遞歸函數來計算列表包含的元素數。

def count(arr):if arr == []: # 基線條件：數組為空return 0 # elif len(arr) == 1: # 基線條件：數組內只有一個元素(可省略) # return 1else:return 1 + count(arr[1:]) # 遞歸條件：計算數組中第一個元素外剩余元素個數，再加一

上面兩題中，數組內只有一個元素的情況均可省略。因為數組只有一個元素——即剩余數組為空的情況，已經被基線條件包含了，因此可以省略。

習題4.3

• 找出列表中最大的數字。

def max(arr):if arr == []: # 基線條件：數組為空return Noneelif len(arr) == 1: # 基線條件：數組內只有一個元素return arr[0]elif len(arr) == 2: # 基線條件：數組內有兩個元素，返回最大值（可用內置的max()代替）if arr[0] > arr[1]:return arr[0]else:return arr[1]else:return max([arr[0], max(arr[1:])]) # 遞歸條件：比較第一個元素與數組中剩余元素的最大值。

習題4.4

• 還記得第1章介紹的二分查找嗎？它也是一種分而治之算法。你能 找出二分查找算法的基線條件和遞歸條件嗎？

基線條件：數組中僅剩一個元素（是否為查找元素為另外的判斷，不屬于基線條件之內）

遞歸條件：將數組分為兩部分，如果查找值比第一部分的最大值小，則對第一部分繼續二分查找，否則對剩余部分進行二分查找。

使用大O表示法時，下面各種操作都需要多長時間？

習題4.5

• 打印數組中每個元素的值。

每個元素進行一次打印操作。$O(n) $。

習題4.6

• 將數組中每個元素的值都乘以2。

n個元素進行一次乘法操作。故為$O(n)$ 。

習題4.7

• 只將數組中第一個元素的值乘以2。

$O(1)$。

習題4.8

• 根據數組包含的元素創建一個乘法表，即如果數組為[2, 3, 7, 8, 10]，首先將每個元素 都乘以2，再將每個元素都乘以3，然后將每個元素都乘以7，以此類推。

n個元素做n次乘法操作。故為$O(n^2)$ 。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法图解第四章笔记与习题（快速排序）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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