2020 數學建模 A 題 爐溫曲線

• • 感受體會
• 題目介紹
• • 原題
  • 題目分析
  • • 整體熱傳到模型分析
    • 問題一
    • 問題二
    • 問題三
    • 問題四
  • 核心：一維熱傳導模型
  • • • 模型參數設定
      • 溫度間隙的溫度分布
      • ） 回流區過渡到 冷卻區 之后 的溫度
      • 電路板中心 區域 溫度 變化的 機理
    • 模型的求解
    • 問題一結論
  • 結語

感受體會

經歷了三天的緊鑼密鼓的建模過程。每天睡眠時間不到6小時，最后一天通宵，也算是鍛煉了自己短時間內解決復雜問題的能力，從查文獻，到抽象模型，再到細節上的處理，將模型離散求解，編代碼，寫論文。一刻都不得歇息。最后拿了國二，雖然沒達到預期，但整個過程還是收獲滿滿。這里簡單的記錄下對A題的理解。

題目介紹

原題

在集成電路板等電子產品生產中，需要將安裝有各種電子元件的印刷電路板放置在回焊爐中，通過加熱，將電子元件自動焊接到電路板上。在這個生產過程中，讓回焊爐的各部分保持工藝要求的溫度，對產品質量至關重要。目前，這方面的許多工作是通過實驗測試來進行控制和調整的。本題旨在通過機理模型來進行分析研究。
回焊爐內部設置若干個小溫區，它們從功能上可分成4個大溫區：預熱區、恒溫區、回流區、冷卻區（如圖1所示）。電路板兩側搭在傳送帶上勻速進入爐內進行加熱焊接。

圖1 回焊爐截面示意圖

某回焊爐內有11個小溫區及爐前區域和爐后區域（如圖1），每個小溫區長度為30.5 cm，相鄰小溫區之間有5 cm的間隙，爐前區域和爐后區域長度均為25 cm。
回焊爐啟動后，爐內空氣溫度會在短時間內達到穩定，此后，回焊爐方可進行焊接工作。爐前區域、爐后區域以及小溫區之間的間隙不做特殊的溫度控制，其溫度與相鄰溫區的溫度有關，各溫區邊界附近的溫度也可能受到相鄰溫區溫度的影響。另外，生產車間的溫度保持在25oC。
在設定各溫區的溫度和傳送帶的過爐速度后，可以通過溫度傳感器測試某些位置上焊接區域中心的溫度，稱之為爐溫曲線（即焊接區域中心溫度曲線）。附件是某次實驗中爐溫曲線的數據，各溫區設定的溫度分別為175oC（小溫區1_{5）、195oC（小溫區6）、235oC（小溫區7）、255oC（小溫區8}9）及25oC（小溫區10~11）；傳送帶的過爐速度為70 cm/min；焊接區域的厚度為0.15 mm。溫度傳感器在焊接區域中心的溫度達到30oC時開始工作，電路板進入回焊爐開始計時。
實際生產時可以通過調節各溫區的設定溫度和傳送帶的過爐速度來控制產品質量。在上述實驗設定溫度的基礎上，各小溫區設定溫度可以進行oC范圍內的調整。調整時要求小溫區1_{5中的溫度保持一致，小溫區8}9中的溫度保持一致，小溫區10_{11中的溫度保持25oC。傳送帶的過爐速度調節范圍為65}100 cm/min。
在回焊爐電路板焊接生產中，爐溫曲線應滿足一定的要求，稱為制程界限（見表1）。

表1 制程界限

請你們團隊回答下列問題：

問題1 請對焊接區域的溫度變化規律建立數學模型。假設傳送帶過爐速度為78 cm/min，各溫區溫度的設定值分別為173oC（小溫區1_{5）、198oC（小溫區6）、230oC（小溫區7）和257oC（小溫區8}9），請給出焊接區域中心的溫度變化情況，列出小溫區3、6、7中點及小溫區8結束處焊接區域中心的溫度，畫出相應的爐溫曲線，并將每隔0.5 s焊接區域中心的溫度存放在提供的result.csv中。

問題2 假設各溫區溫度的設定值分別為182oC（小溫區1_{5）、203oC（小溫區6）、237oC（小溫區7）、254oC（小溫區8}9），請確定允許的最大傳送帶過爐速度。

問題3 在焊接過程中，焊接區域中心的溫度超過217oC的時間不宜過長，峰值溫度也不宜過高。理想的爐溫曲線應使超過217oC到峰值溫度所覆蓋的面積（圖2中陰影部分）最小。請確定在此要求下的最優爐溫曲線，以及各溫區的設定溫度和傳送帶的過爐速度，并給出相應的面積。

圖2 爐溫曲線示意圖

問題4 在焊接過程中，除滿足制程界限外，還希望以峰值溫度為中心線的兩側超過217oC的爐溫曲線應盡量對稱（參見圖2）。請結合問題3，進一步給出最優爐溫曲線，以及各溫區設定的溫度及傳送帶過爐速度，并給出相應的指標值。

題目分析

整體熱傳到模型分析

圖 1 回焊爐加熱區

如圖 1 所示，回焊爐內部設置若干溫區，不同溫區共同作用，將各類元件焊接到線
路板上。由題已知，整個運動過程中，加熱爐靜止，加熱板以 70 cm/min 的速度于傳送
帶上移動，傳送帶將其傳送至不同區域進行加熱。根據相對運動，我們不妨改變觀測對
象：認為電路板相對靜止，回焊爐相對運動。電路板所受溫度隨傳送帶傳送區域的影響，
轉變為物體在不同時間下，受到的不同溫度影響。我們再對電路板側面做出絕熱假設，
即探究一端受熱，一端絕熱的一維熱傳導問題，圖２所示：

圖 2 模型轉化

問題一

由于小溫區長度與間隙距離一定，且小溫區加熱區域上下對稱，因此本
問題模型可以進行簡化：將電路板上半部分作為研究對象，其上邊界為外界設定爐
溫，下邊界為絕熱邊界。這里，兩面熱量累計帶來的影響，后面可以通過在擬合傳熱
系數 a 時作出對應調整。模型簡化示意圖，如圖 3 所示：

圖 3 模型簡化

在該問題模型中，需要對溫區之間間隙、爐前區域、冷區區域和爐后區域的溫度變
化進行分析。

問題二

該問要求在上述條件下找出傳送帶最大傳送速度，可以在問題一的基礎
上，將題目給出的各小溫區溫度等變量代入前面所建立的機理模型，得到僅受傳送帶
速度影響的爐溫曲線函數。然后以傳送帶速度最大作為目標函數，將制程界限等作為
約束條件，采用離散化方法對該優化模型進行求解，即可獲得在當前溫度設定下，滿
足制程條件約束的速度范圍及傳送帶速度最大值為

問題三

該問題根據建立的一維熱傳導模型，由于每個小溫區的溫度在正負 10℃
范圍內變化，速度在 65~100 之間變化，改變每個溫區的溫度和電路板的速度來控制電
路板的中心的溫度會得到不同的爐溫曲線，對爐溫曲線大于 217℃的陰影部分進行積
分，以陰影部分面積最小值為目標函數建立優化模型，此時該模型是一個泛函極值問
題，因此將問題離散化后使用模擬退火算法或遺傳算法進行求解。

問題四

如圖所示，爐溫曲線超過 217℃水平線的部分近似一個開口向下的拋物
線。

圖 4 爐溫曲線高于 217oC 的部分

因此，考慮用爐溫曲線與 217℃水平線兩側交點相對于與峰值點距離的差值：
來作為衡量爐溫曲線高于 217℃部分的對稱性的數量指標。將其絕對值最小作為目標函
數，添加到問題三的優化模型的中建立多目標優化模型，然后利用遺傳算法（Matlab
中的 gamultiobj 函數）進行求解。

核心：一維熱傳導模型

模型參數設定

溫度間隙的溫度分布

） 回流區過渡到 冷卻區 之后 的溫度

圖 5 小溫區 9~10 的熱量擴散示意圖（左為熱量流向箭頭圖/右為溫度等高線圖）

電路板中心 區域 溫度 變化的 機理

模型的求解

問題一結論

圖 7 通過線性下降解出來的最佳擬合爐溫曲線圖

圖 8 通過對流降溫求解出來的最佳擬合爐溫曲線圖

結語

后面的三個問，這里就不討論了，根據前面的思路搜索最優解就完事了。A題主題是物理模型選擇恰當，然后擬合參數，如果得到的曲線和實際曲線比較吻合的話，基本上就一條路走通了。問題核心就是物理模型，我們組當時是差不多用了30個小時才解決核心模型。后面幾個小問主要是代碼編寫。這里建議建模組隊的話至少要有一個人具備熟練將算法實現為代碼的能力，不然只能看著模型干瞪眼出不了結果。A題這種工程物理問題，本來就是有標準答案的。所以對結果的準確性要求很高，做不出來瞎猜猜中的概率很小。

這里說說其他題目。B題感覺是一個在復雜限制條件下圖論結合策略選擇的動態規劃模型，一二問有標準答案，三四問需要找到一個遞推的策略，對運籌學的知識要求較高。

C題是一個數據分析的題目，有機器學習或者統計分析背景的可以嘗試下，C題誰都能寫出一篇符合自己邏輯的論文，主要還是創新，上手簡單，做好很難，相反的A題，上手難，但是核心問題解決后就很容易了。

選擇題目也是一個技術活。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2020 数学建模 A题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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