1.題目

考慮如下的小游戲：玩家憑借一張地圖，利用初始資金購(gòu)買一定數(shù)量的水和食物（包括食品和其他日常用品），從起點(diǎn)出發(fā)，在沙漠中行走。途中會(huì)遇到不同的天氣，也可在礦山、村莊補(bǔ)充資金或資源，目標(biāo)是在規(guī)定時(shí)間內(nèi)到達(dá)終點(diǎn)，并保留盡可能多的資金。
游戲的基本規(guī)則如下：
（1）以天為基本時(shí)間單位，游戲的開(kāi)始時(shí)間為第0天，玩家位于起點(diǎn)。玩家必須在截止日期或之前到達(dá)終點(diǎn)，到達(dá)終點(diǎn)后該玩家的游戲結(jié)束。
（2）穿越沙漠需水和食物兩種資源，它們的最小計(jì)量單位均為箱。每天玩家擁有的水和食物質(zhì)量之和不能超過(guò)負(fù)重上限。若未到達(dá)終點(diǎn)而水或食物已耗盡，視為游戲失敗。
（3）每天的天氣為“晴朗”、“高溫”、“沙暴”三種狀況之一，沙漠中所有區(qū)域的天氣相同。
（4）每天玩家可從地圖中的某個(gè)區(qū)域到達(dá)與之相鄰的另一個(gè)區(qū)域，也可在原地停留。沙暴日必須在原地停留。
（5）玩家在原地停留一天消耗的資源數(shù)量稱為基礎(chǔ)消耗量，行走一天消耗的資源數(shù)量為基礎(chǔ)消耗量的倍。
（6）玩家第0天可在起點(diǎn)處用初始資金以基準(zhǔn)價(jià)格購(gòu)買水和食物。玩家可在起點(diǎn)停留或回到起點(diǎn)，但不能多次在起點(diǎn)購(gòu)買資源。玩家到達(dá)終點(diǎn)后可退回剩余的水和食物，每箱退回價(jià)格為基準(zhǔn)價(jià)格的一半。
（7）玩家在礦山停留時(shí)，可通過(guò)挖礦獲得資金，挖礦一天獲得的資金量稱為基礎(chǔ)收益。如果挖礦，消耗的資源數(shù)量為基礎(chǔ)消耗量的倍；如果不挖礦，消耗的資源數(shù)量為基礎(chǔ)消耗量。到達(dá)礦山當(dāng)天不能挖礦。沙暴日也可挖礦。
（8）玩家經(jīng)過(guò)或在村莊停留時(shí)可用剩余的初始資金或挖礦獲得的資金隨時(shí)購(gòu)買水和食物，每箱價(jià)格為基準(zhǔn)價(jià)格的2倍。
請(qǐng)根據(jù)游戲的不同設(shè)定，建立數(shù)學(xué)模型，解決以下問(wèn)題。

假設(shè)只有一名玩家，在整個(gè)游戲時(shí)段內(nèi)每天天氣狀況事先全部已知，試給出一般情況下玩家的最優(yōu)策略。求解附件中的“第一關(guān)”和“第二關(guān)”，并將相應(yīng)結(jié)果分別填入Result.xlsx。

假設(shè)只有一名玩家，玩家僅知道當(dāng)天的天氣狀況，可據(jù)此決定當(dāng)天的行動(dòng)方案，試給出一般情況下玩家的最佳策略，并對(duì)附件中的“第三關(guān)”和“第四關(guān)”進(jìn)行具體討論。

2.解題思路與第一關(guān)與第二關(guān)

有三大種思路
1.動(dòng)態(tài)規(guī)劃
2.簡(jiǎn)略地圖后使用Dijkstra算法來(lái)解決
3.分析題干然后建立模型利用groubi,lingo求解最優(yōu)解

2.1 動(dòng)態(tài)規(guī)劃情況

設(shè)狀態(tài)dp[k][j][w][f]代表第k天時(shí)在第j個(gè)點(diǎn)剩余水為w箱剩余食物為f箱的最大資金，則：

ans=MAXw,f,i dp[k][zd][w][f]

2.1.1 初始值設(shè)定

由于起始點(diǎn)可以在起點(diǎn)購(gòu)買物資，則有初始狀態(tài)
dp[0][qd][w][f]=10000?cost_water?w?cost_food?fw∈[0,400]f∈[0,600]
其中cost_water??，cost_food???? 為購(gòu)買水和食物消耗的錢。
這里假設(shè)起始為第0天，則第一天天氣影響的是從第0天到第1天。

2.1.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

當(dāng)?shù)趉天人在村莊j時(shí)：

第k天為沙暴天氣

dp[k+1][j][w+ww-xh_water[tq]][f+ff-xh_food[tq]]}=max(dp[k][j][w][f]-2*ww*cost_water-2*ff*cost_food

非沙暴天氣：

dp[k+1][jj][w+ww-xh_water[tq]][f+ff-xh_food[tq]]}=max(dp[k][j][w][f]-2*ww*cost_water-2*ff*cost_food

當(dāng)?shù)趉天人在礦山j(luò)時(shí)：
挖礦

dp[k+1][j][w-dig*xh_water[tq]][f-dig*xh_food[tq]]=max(dp[k][j][w][f]+1000)

第k天為沙暴天氣：

dp[k+1][j][w-xh_water[tq]][f-xh_food[tq]]=max(dp[k][j][w][f])

第k天為非沙暴天氣：

dp[k+1][jj][w-walk*xh_water[tq]][f-walk*xh_food[tq]]=max(dp[k][jj][w][f])

當(dāng)?shù)趉天人在其他地區(qū)時(shí)
第k天為沙暴天氣：

dp[k+1][j][w-xh_water[tq]][f-xh_food[tq]]=max(dp[k][j][w][f])

第k天為非沙暴天氣：

dp[k][jj][w-walk*xh_water[tq]][f-walk*xh_food[tq]]=max(dp[k][j][w][f])

2.1.3思考隱含條件約束模型

除了回村莊補(bǔ)充物資，不會(huì)走回頭路。
除了挖礦和沙塵暴不會(huì)在原地停留。
只會(huì)走關(guān)鍵點(diǎn)之間的最短路徑

2.1.4代碼

第一關(guān)

#include<bits/stdc++.h> #include<iostream> using namespace std;// 點(diǎn)數(shù) const int N=11,M=28,inf=0x3f3f3f,Day=30; int dp[32][N+1][405][605],zd,qd,FZ; int cost_water,cost_food,walk,dig,buy; int xh_water[3]={5,8,10},xh_food[3]={7,6,10}; bool cz[N+1],ks[N+1];struct node {short day; // i short from; // jj jint water,food;int money;bool operator!=(const node &x){return x.day!=day || x.from!=from || x.water!=water || x.food!=food ;}; }path[31][N+1][405][605],lastpath; vector <int> weather; vector <int> g[N]; map <int,int> mp; void push_back(int x,int y) {g[x].push_back(y);g[y].push_back(x); }void build_map() {push_back(1,2);push_back(2,3);push_back(2,5);push_back(5,6);push_back(3,4);push_back(4,7);push_back(6,7);push_back(7,8);push_back(8,9);push_back(9,10);push_back(10,11);mp[1]=1;mp[2]=25;mp[3]=26;mp[4]=27;mp[5]=24;mp[6]=23;mp[7]=21;mp[8]=9;mp[9]=15;mp[10]=14;mp[11]=12;for(int i=1;i<=N;i++){cz[i]=0;ks[i]=0;}cz[9]=1;ks[11]=1;zd=4;qd=1;return ; } void init() {memset(dp,-inf,sizeof(dp));FZ=1200;cost_water=5;cost_food=10;walk=2;buy=2;dig=3;for(int k=0;k<=405;k++){for(int l=0;l<=601;l++){if(k*3+l*2<=FZ){dp[0][qd][k][l]=10000-k*cost_water-l*cost_food;}}}printf("init %d\n",dp[0][1][178][333]);path[0][1][0][0]={0,0,0,0};return ; } int main() {weather={1,1,0,2,0,1,2,0,1,1,2,1,0,1,1,1,2,2,1,1,0,0,1,0,2,1,0,0,1,1,};build_map();init();for(int i=0;i<Day;i++){printf("第%d天\n",i);int tq=weather[i];for(int j=1;j<=N;j++){if(cz[j])// 村莊{for(int w=0;w<=405;w++){for(int f=0;w*3+f*2<=1200;f++){//購(gòu)買或不夠買物資(ww=0,ff=0就是不購(gòu)買) if(tq==2) //停留{int money=dp[i][j][w][f];for(int ww=0;ww<=money/cost_water;ww++){for(int ff=0;ff<=(FZ-(w+ww)*3)/2-f;ff++){if(w+ww-xh_water[tq]>=0&&f+ff-xh_food[tq]>=0&&dp[i][j][w][f]-2*ww*cost_water-2*ff*cost_food>=0){if(dp[i+1][j][w+ww-xh_water[tq]][f+ff-xh_food[tq]]<dp[i][j][w][f]-2*ww*cost_water-2*ff*cost_food){dp[i+1][j][w+ww-xh_water[tq]][f+ff-xh_food[tq]]=dp[i][j][w][f]-2*ww*cost_water-2*ff*cost_food;path[i+1][j][w+ww-xh_water[tq]][f+ff-xh_food[tq]]={i,j,w,f,dp[i][j][w][f]-2*ww*cost_water-2*ff*cost_food};}}}}}else //從j走到j(luò)j{for(auto jj:g[j]){int money=dp[i][j][w][f];for(int ww=0;ww<=money/cost_water;ww++){for(int ff=0;ff<=(FZ-(w+ww)*3)/2-f;ff++){if(w+ww-walk*xh_water[tq]>=0&&f+ff-walk*xh_food[tq]>=0&&dp[i][j][w][f]-buy*ww*cost_water-buy*ff*cost_food>=0){if(dp[i+1][jj][w+ww-walk*xh_water[tq]][f+ff-walk*xh_food[tq]]<dp[i][j][w][f]-buy*ww*cost_water-buy*ff*cost_food){dp[i+1][jj][w+ww-walk*xh_water[tq]][f+ff-walk*xh_food[tq]]=dp[i][j][w][f]-buy*ww*cost_water-buy*ff*cost_food;path[i+1][jj][w+ww-walk*xh_water[tq]][f+ff-walk*xh_food[tq]]={i,j,w,f,dp[i][j][w][f]-buy*ww*cost_water-buy*ff*cost_food};}}}}}}}}}else if (ks[j])// 礦山{for(int w=0;w<=405;w++){for(int f=0;w*3+f*2<=1200;f++){// 已經(jīng)停留一天了，可以挖礦if(w-dig*xh_water[tq]>=0&&f-dig*xh_food[tq]>=0){if(dp[i+1][j][w-dig*xh_water[tq]][f-dig*xh_food[tq]]<dp[i][j][w][f]+1000&&dp[i][j][w][f]>=0){dp[i+1][j][w-dig*xh_water[tq]][f-dig*xh_food[tq]]=dp[i][j][w][f]+1000;path[i+1][j][w-dig*xh_water[tq]][f-dig*xh_food[tq]]={i,j,w,f,dp[i][j][w][f]+1000};}}// 在礦山不挖礦或 不允許挖礦if(tq==2) //停留但不挖礦{if(w-xh_water[tq]>=0&&f-xh_food[tq]>=0){if(dp[i+1][j][w-xh_water[tq]][f-xh_food[tq]]<dp[i][j][w][f]&&dp[i][j][w][f]>=0){dp[i+1][j][w-xh_water[tq]][f-xh_food[tq]]=dp[i][j][w][f];path[i+1][j][w-xh_water[tq]][f-xh_food[tq]]={i,j,w,f,dp[i][j][w][f]};}}}else{if(w-walk*xh_water[tq]>=0&&f-walk*xh_food[tq]>=0){for(auto jj:g[j]){if(dp[i+1][jj][w-walk*xh_water[tq]][f-walk*xh_food[tq]]<dp[i][j][w][f]&&dp[i][j][w][f]>=0){dp[i+1][jj][w-walk*xh_water[tq]][f-walk*xh_food[tq]]=dp[i][j][w][f];path[i+1][jj][w-walk*xh_water[tq]][f-walk*xh_food[tq]]={i,j,w,f,dp[i][j][w][f]};}}}}}}}else //普通區(qū){for(int w=0;w<=405;w++){for(int f=0;w*3+f*2<=1200;f++){if(tq==2) //在j點(diǎn)停留{if(w-xh_water[tq]>=0&&f-xh_food[tq]>=0&&dp[i][j][w][f]>=0){if(dp[i+1][j][w-xh_water[tq]][f-xh_food[tq]]<dp[i][j][w][f]){dp[i+1][j][w-xh_water[tq]][f-xh_food[tq]]=dp[i][j][w][f];path[i+1][j][w-xh_water[tq]][f-xh_food[tq]]={i,j,w,f,dp[i][j][w][f]};}}}else// 走到j(luò)j點(diǎn){for(auto jj:g[j]){if(w-walk*xh_water[tq]>=0&&f-walk*xh_food[tq]>=0&&dp[i][j][w][f]>=0){if(dp[i+1][jj][w-walk*xh_water[tq]][f-walk*xh_food[tq]]<dp[i][j][w][f]){dp[i+1][jj][w-walk*xh_water[tq]][f-walk*xh_food[tq]]=dp[i][j][w][f];path[i+1][jj][w-walk*xh_water[tq]][f-walk*xh_food[tq]]={i,j,w,f,dp[i][j][w][f]};}}}}}}}}}int ans=-inf;node lastpath;int last_water=0,last_food=0,last_day=Day;for(int i=0;i<=Day;i++){for(int w=0;w<=405;w++)for(int f=0;w*3+2*f<=1200;f++){if(dp[i][zd][w][f]>ans){ans=dp[i][zd][w][f];lastpath=path[i][zd][w][f];last_water=w;last_food=f;last_day=i;}}}stack<node> s;stack<int> my;printf("??day:%d weather:%d %d water:%d food:%d money:%d\n",last_day,weather[Day],zd,last_water,last_food,ans);s.push((node){last_day,zd,last_water,last_food,ans});while(lastpath!=path[0][1][0][0]){s.push(lastpath);printf("??day:%d weather:%d %d water:%d food:%d money:%d\n",lastpath.day,weather[lastpath.day],mp[lastpath.from],lastpath.water,lastpath.food,lastpath.money);my.push(lastpath.money);lastpath=path[lastpath.day][lastpath.from][lastpath.water][lastpath.food];}freopen("output.txt","w",stdout);my.push(my.top());while (!s.empty()){node t=s.top();int money=my.top();printf("Day:%d weather:%d point:%d water:%d food:%d money:%d\n",t.day,weather[t.day],mp[t.from],t.water,t.food,money);s.pop();my.pop();}printf("%d\n",ans);return 0; }

第二關(guān)

#include<bits/stdc++.h> #include<iostream> using namespace std;const short N=27,inf=20000,Day=30; short dp[31][N+1][401][601],zd,qd,FZ; short cost_water,cost_food,walk,dig,buy; short xh_water[3]={5,8,10},xh_food[3]={7,6,10}; bool cz[N+1],ks[N+1];struct node {char day; // i char from; // jj jshort water,food;bool operator!=(const node &x){return (x.day-'0')!=(day-'0') || (x.from-'0'!=from-'0') || (x.water-'0')!=(water-'0') || (x.food-'0'!=food-'0') ;}; }path[31][N+1][401][601],lastpath; vector <short> weather; vector <short> g[N+1]; map <short,short> mp; void push_back(short x,short y) {g[x].push_back(y);g[y].push_back(x); }void build_map(short flag) {if(flag==2){push_back(1,2);push_back(2,3);push_back(3,4);push_back(4,5);push_back(5,6);push_back(6,7);push_back(7,8);push_back(8,9);push_back(9,10);push_back(10,11);push_back(11,12);push_back(7,13);push_back(13,14);push_back(14,15);push_back(15,16);push_back(15,10);push_back(15,11);push_back(16,12);push_back(3,17);push_back(17,18);push_back(18,19);push_back(19,20);push_back(20,21);push_back(21,22);push_back(22,23);push_back(15,23);push_back(23,16);mp[1]=1;mp[2]=2;mp[3]=3;mp[4]=4;mp[5]=12;mp[6]=21;mp[7]=29;mp[8]=30;mp[9]=39;mp[10]=47;mp[11]=56;mp[12]=64;mp[13]=38;mp[14]=46;mp[15]=55;mp[16]=63;mp[17]=11;mp[18]=20;mp[19]=28;mp[20]=37;mp[21]=45;mp[22]=54;mp[23]=62;for(short i=1;i<=N;i++){cz[i]=0;ks[i]=0;}cz[9]=cz[23]=1;ks[8]=ks[15]=1;qd=1;zd=12;}return ; }void init() {FZ=1200;cost_water=5;cost_food=10;walk=2;buy=2;dig=3;for(short i=0;i<=Day;i++){for(short j=1;j<=N;j++){for(short w=0;w<=400;w++){for(short f=0;f<=600;f++){if(w*3+f*2<=FZ){dp[i][j][w][f]=-inf;}}}}}for(short k=10;k<=405;k++){for(short l=0;k*3+l*2<=FZ;l++){dp[0][qd][k][l]=10000-k*cost_water-l*cost_food;}}path[0][1][0][0]={0,0,0,0};return ; }int main() {weather={1,1,0,2,0,1,2,0,1,1,2,1,0,1,1,1,2,2,1,1,0,0,1,0,2,1,0,0,1,1,};build_map(2);init();// dp [i][j][w][f]// 第i天 在j個(gè)點(diǎn) w 箱水 f 箱食物 時(shí)最大利潤(rùn)，// max_k_l (dp[30][27][k][l])// 第i天的天氣決定 i+1天能否移動(dòng)// 如：第0天天氣決定第1天能否移動(dòng)// 先不考慮非礦山停留自愿停留情況// for(short i=1;i<N;i++)// {// printf("第%d個(gè)點(diǎn)",i);// for(auto j:mp[i]) // {// printf("%d ",j);// }// printf("\n");// }// printf("???%d %d %d %d\n",xh_food[0],xh_food[2],xh_water[0],xh_water[1]);for(short i=0;i<Day;i++){printf("第%d天\n",i);short tq=weather[i];for(short j=1;j<=N;j++){if(cz[j])// 村莊{for(short w=0;w<=405;w++){for(short f=0;w*3+f*2<=1200;f++){//購(gòu)買或不夠買物資(ww=0,ff=0就是不購(gòu)買) if(tq==2) //停留{short money=dp[i][j][w][f];for(short ww=0;ww<=money/cost_water;ww++){for(short ff=0;ff<=(FZ-(w+ww)*3)/2-f;ff++){if(w+ww-xh_water[tq]>=0&&f+ff-xh_food[tq]>=0&&dp[i][j][w][f]-2*ww*cost_water-2*ff*cost_food>=0){if(dp[i+1][j][w+ww-xh_water[tq]][f+ff-xh_food[tq]]<dp[i][j][w][f]-2*ww*cost_water-2*ff*cost_food){dp[i+1][j][w+ww-xh_water[tq]][f+ff-xh_food[tq]]=dp[i][j][w][f]-2*ww*cost_water-2*ff*cost_food;// path[i+1][j][w+ww-xh_water[tq]][f+ff-xh_food[tq]]={i,j,w,f,dp[i][j][w][f]-2*ww*cost_water-2*ff*cost_food};path[i+1][j][w+ww-xh_water[tq]][f+ff-xh_food[tq]]={i,j,w,f};}}}}}else //從j走到j(luò)j{for(auto jj:g[j]){short money=dp[i][j][w][f];for(short ww=0;ww<=money/cost_water;ww++){for(short ff=0;ff<=(FZ-(w+ww)*3)/2-f;ff++){if(w+ww-walk*xh_water[tq]>=0&&f+ff-walk*xh_food[tq]>=0&&dp[i][j][w][f]-buy*ww*cost_water-buy*ff*cost_food>=0){if(dp[i+1][jj][w+ww-walk*xh_water[tq]][f+ff-walk*xh_food[tq]]<dp[i][j][w][f]-buy*ww*cost_water-buy*ff*cost_food){dp[i+1][jj][w+ww-walk*xh_water[tq]][f+ff-walk*xh_food[tq]]=dp[i][j][w][f]-buy*ww*cost_water-buy*ff*cost_food;// path[i+1][jj][w+ww-walk*xh_water[tq]][f+ff-walk*xh_food[tq]]={i,j,w,f,(short)dp[i][j][w][f]-buy*ww*cost_water-buy*ff*cost_food};path[i+1][jj][w+ww-walk*xh_water[tq]][f+ff-walk*xh_food[tq]]={i,j,w,f};}}}}}}}}}else if (ks[j])// 礦山{for(short w=0;w<=405;w++){for(short f=0;w*3+f*2<=1200;f++){// 已經(jīng)停留一天了，可以挖礦if(w-dig*xh_water[tq]>=0&&f-dig*xh_food[tq]>=0){if(dp[i+1][j][w-dig*xh_water[tq]][f-dig*xh_food[tq]]<dp[i][j][w][f]+1000&&dp[i][j][w][f]>=0){dp[i+1][j][w-dig*xh_water[tq]][f-dig*xh_food[tq]]=dp[i][j][w][f]+1000; // path[i+1][j][w-dig*xh_water[tq]][f-dig*xh_food[tq]]={i,j,w,f,(short)dp[i][j][w][f]+1000};path[i+1][j][w-dig*xh_water[tq]][f-dig*xh_food[tq]]={i,j,w,f};}}// 在礦山不挖礦或 不允許挖礦if(tq==2) //停留但不挖礦{if(w-xh_water[tq]>=0&&f-xh_food[tq]>=0){if(dp[i+1][j][w-xh_water[tq]][f-xh_food[tq]]<dp[i][j][w][f]&&dp[i][j][w][f]>=0){dp[i+1][j][w-xh_water[tq]][f-xh_food[tq]]=dp[i][j][w][f];// path[i+1][j][w-xh_water[tq]][f-xh_food[tq]]={i,j,w,f,dp[i][j][w][f]};path[i+1][j][w-xh_water[tq]][f-xh_food[tq]]={i,j,w,f};}}}else{if(w-walk*xh_water[tq]>=0&&f-walk*xh_food[tq]>=0){for(auto jj:g[j]){if(dp[i+1][jj][w-walk*xh_water[tq]][f-walk*xh_food[tq]]<dp[i][j][w][f]&&dp[i][j][w][f]>=0){dp[i+1][jj][w-walk*xh_water[tq]][f-walk*xh_food[tq]]=dp[i][j][w][f];// path[i+1][jj][w-walk*xh_water[tq]][f-walk*xh_food[tq]]={i,j,w,f,dp[i][j][w][f]};path[i+1][jj][w-walk*xh_water[tq]][f-walk*xh_food[tq]]={i,j,w,f};}}}}}}}else //普通區(qū){for(short w=0;w<=405;w++){for(short f=0;w*3+f*2<=1200;f++){if(tq==2) //在j點(diǎn)停留{if(w-xh_water[tq]>=0&&f-xh_food[tq]>=0&&dp[i][j][w][f]>=0){if(dp[i+1][j][w-xh_water[tq]][f-xh_food[tq]]<dp[i][j][w][f]){dp[i+1][j][w-xh_water[tq]][f-xh_food[tq]]=dp[i][j][w][f];// path[i+1][j][w-xh_water[tq]][f-xh_food[tq]]={i,j,w,f,dp[i][j][w][f]};path[i+1][j][w-xh_water[tq]][f-xh_food[tq]]={i,j,w,f};}}}else// 走到j(luò)j點(diǎn){for(auto jj:g[j]){if(w-walk*xh_water[tq]>=0&&f-walk*xh_food[tq]>=0&&dp[i][j][w][f]>=0){if(dp[i+1][jj][w-walk*xh_water[tq]][f-walk*xh_food[tq]]<dp[i][j][w][f]){dp[i+1][jj][w-walk*xh_water[tq]][f-walk*xh_food[tq]]=dp[i][j][w][f];// path[i+1][jj][w-walk*xh_water[tq]][f-walk*xh_food[tq]]={i,j,w,f,dp[i][j][w][f]};path[i+1][jj][w-walk*xh_water[tq]][f-walk*xh_food[tq]]={i,j,w,f};}}}}}}}}}short ans=-inf;node lastpath;short last_water=0,last_food=0,last_day=Day;for(short i=0;i<=Day;i++){for(short w=0;w<=405;w++)for(short f=0;w*3+2*f<=1200;f++){if(dp[i][zd][w][f]>ans){ans=dp[i][zd][w][f];lastpath=path[i][zd][w][f];last_water=w;last_food=f;last_day=char(i);}}}stack<node> s; // freopen("outputQ2.txt","w",stdout);printf("ans:%d\n",ans);printf("day:%d weather:%d point:%d water:%d food:%d\n",last_day,weather[Day],zd,last_water,last_food);node temppath=(node){last_day,zd,last_water,last_food};s.push(temppath);while(lastpath!=path[0][1][0][0]){s.push(lastpath);printf("day:%d weather:%d point %d water:%d food:%d\n",lastpath.day,(int)weather[lastpath.day],(int)mp[lastpath.from],lastpath.water,lastpath.food);temppath=lastpath;lastpath=path[lastpath.day][lastpath.from][lastpath.water][lastpath.food];} }

2.2簡(jiǎn)化地圖+Dijkstra

2.2.1模型簡(jiǎn)化與分析

游戲原地圖較為復(fù)雜，但事實(shí)上有意義的結(jié)點(diǎn)只有起點(diǎn)、終點(diǎn)、村莊和礦山，因此求解時(shí)考慮使用Dijkstra，求出這四類結(jié)點(diǎn)的最短路徑，將原地圖壓縮到僅包含著四類結(jié)點(diǎn)。
下面對(duì)各個(gè)問(wèn)題進(jìn)行討論與分析
對(duì)于只有一名玩家并且每天天氣全部已知的情況：第一關(guān)和第二關(guān)必然有確定的最優(yōu)解，而地圖結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜，因此可以直接通過(guò)窮舉、蒙特卡羅等搜索策略求解。

2.2.2模型假設(shè)

1.每天的天氣情況相互獨(dú)立。
2.玩家每天早上確定策略，晚上完成狀態(tài)轉(zhuǎn)移及資源、資金結(jié)算。
3.多人游戲中，各個(gè)玩家絕對(duì)自私、完全理性。

2.2.3 符號(hào)說(shuō)明

2.2.4 模型建立與求解

maxQ30+12pwW30+12pfF30

其中Qt,Wt,Ft分別表示第t天時(shí)玩家所剩下的資金、水和食物量。如果玩家在第30天前到達(dá)終點(diǎn)，則其各個(gè)屬性將會(huì)在未來(lái)幾天視作不變，所以我們以第三十天為統(tǒng)一結(jié)束時(shí)間。該目標(biāo)函數(shù)有如下約束：Qt=Qt?1+QMineMinet?Shopt[2pfShopFt+2pwShopWt]
食物方面
每天結(jié)束時(shí)的資金等于前一天的資金加上當(dāng)天挖礦獲得的1000元（如果挖礦的話），再減去在村莊購(gòu)買食物和水花費(fèi)的錢（如果購(gòu)買的話）。其中ShopFt和ShopWt分別表示玩家在第t天購(gòu)買的食物量和水量（如果購(gòu)買的話）。

Ft=F(t?1)?2Movet △Ft? 3Mine tMovet △Ft?(1?Movet?Minet)△Ft+Shopt ShopFt

水方面

Wt=Wt?1?2Movet△Wt?3Minet△Wt?(1?Movet?Minet)△Wt+ShoptShopWt

2.2.5 地圖簡(jiǎn)化

我們首先引入Dijkstra算法，這是一種在有向賦權(quán)圖中求兩點(diǎn)之間最短路徑的高效算法。選取圖中起點(diǎn)、終點(diǎn)、村莊和礦山作為特殊點(diǎn)，利用Dijkstra算法計(jì)算出每?jī)蓚€(gè)特殊點(diǎn)之間的最短路徑（即不考慮沙暴天氣的影響下，所需最少的天數(shù)） 。然后根據(jù)簡(jiǎn)化后的情況來(lái)完成一幅新的地圖。

# encoding: utf-8 # init_water=180 # init_food=330 init_water=184 init_food=324 money=10000-init_food*10-init_water*5weather=["高溫","高溫","晴朗","沙暴","晴朗","高溫","沙暴","晴朗","高溫","高溫","沙暴","高溫","晴朗","高溫","高溫","高溫","沙暴","沙暴","高溫","高溫","晴朗","晴朗","高溫","晴朗","沙暴","高溫","晴朗","晴朗","高溫","高溫"]base_consume_water=[5,8,10] base_consume_food=[7,6,10]def get_weather(i):if i=="高溫":return 1if i=="晴朗":return 0else:return 2def go(hhday,road):already_go=0consume_water=0consume_food=0while already_go<road:if hhday>30:return -1,-1,-1if get_weather(weather[hhday-1])!=2:#print(hhday,"Day go",weather[hhday])consume_food+=base_consume_food[get_weather(weather[hhday-1])]*2consume_water+=base_consume_water[get_weather(weather[hhday-1])]*2hhday+=1already_go+=1else:#print(hhday, "Day dont go")consume_food += base_consume_food[get_weather(weather[hhday-1])]consume_water += base_consume_water[get_weather(weather[hhday-1])]hhday += 1return consume_water,consume_food,hhdaybase_water_price=5 base_water_weight=3 base_food_price=10 base_food_weight=2def possess_c(cur_water,cur_food,cur_money,cur_day,log):can_take=1200-cur_water*3-cur_food*2#print(can_take)#print(cur_money)log=log+"At Day "+str(cur_day)+": "+"Reach c water and food "+str(cur_water)+" "+str(cur_food)+"\n"i=0if cur_day>18:# 準(zhǔn)備返程 盡可能只攜帶足以到達(dá)終點(diǎn)的物資temp_water=max(36,cur_water)temp_food=max(40,cur_food)i=temp_water-cur_waterj=temp_food-cur_foodtemp_money = cur_money - i* base_water_price * 2-j*base_food_price*2else:# 由于起始點(diǎn)傾向于購(gòu)買性價(jià)比更好的食物，所以這里傾向于購(gòu)買水已裝滿背包i=int(can_take/base_water_weight)j=0temp_water=cur_water+itemp_food=cur_foodtemp_money=cur_money-i*base_water_price*2newlog=log+"At Day "+str(cur_day)+": "+"Buy water and food "+str(i)+" "+"\n"q,w,e=go(cur_day,3)temp_water1=temp_water-qtemp_food1=temp_food-wnewlog+="At Day "+str(e)+": "+"Move End water and food "+str(temp_water1)+" "+str(temp_food1)+"\n"possess_z(temp_water1,temp_food1,temp_money,e,newlog)newlog = log+"At Day "+str(cur_day)+": "+"Buy water and food "+str(i)+ "\n"q, w, e = go(cur_day, 2)temp_water2 = temp_water - qtemp_food2 = temp_food - wnewlog += "At Day " + str(e) + ": " + "Move Mine water and food " + str(temp_water2) + " " + str(temp_food2) + "\n"posseess_k(temp_water2, temp_food2, temp_money, e,newlog)log_list={} def possess_z(cur_water,cur_food,cur_money,cur_day,log):#print("END ",cur_water*5/2+cur_food*10/2+cur_money,cur_day)log+="End "+str(cur_day)+" "+str(cur_water*5/2+cur_food*10/2+cur_money)if cur_water<0 or cur_food<0:return -1log_list[log]=cur_water*5/2+cur_food*10/2+cur_moneyreturn cur_water*5/2+cur_food*10/2+cur_moneydef posseess_k(cur_water,cur_food,cur_money,cur_day,log):log = log + "At Day " + str(cur_day) + ": " + "Reach M water and food " + str(cur_water) + " " + str(cur_food) + "\n"water_limit=cur_water/(base_consume_water[get_weather("晴朗")]*3)food_limit=cur_food/(base_consume_food[get_weather("晴朗")]*3)total_limit=int(min(water_limit,food_limit))total_limit=min(total_limit,30-cur_day)for i in range(1,total_limit+1):temp_food=cur_foodtemp_water=cur_watertemp_day=cur_daynewlog=logtemp_money=cur_moneyfor j in range(1,i+1):temp_water=temp_water-base_consume_water[get_weather(weather[cur_day+j-2])]*3temp_food=temp_food-base_consume_food[get_weather(weather[cur_day+j-2])]*3temp_day+=1temp_money+=1000newlog+="At Day " + str(temp_day) + ": " + "Dig " + str(j)+" Days "+str(temp_water) + " " + str(temp_food) +" " + str(temp_money)+ "\n"q, w, e = go(temp_day, 2)if q < 0:continuetemp_water2 = temp_water - qtemp_food2 = temp_food - wif temp_food2 < 0 or temp_water2 < 0:continuenewlog += "At Day " + str(e) + ": " + "Go Village water and food " + str(temp_water2) + " " + str(temp_food2) + "\n"possess_c(temp_water2, temp_food2, temp_money, e, newlog)q,w,e=go(temp_day,5)if q<0:continuetemp_water1=temp_water-qtemp_food1=temp_food-wif temp_food1<0 or temp_water1<0:continuenewlog += "At Day " + str(e) + ": " + "Go end water and food " + str(temp_water1) + " " + str(temp_food1) + "\n"possess_z(temp_water1,temp_food1,temp_money,e,newlog)def check(i,j):if 3*i+2*j>1200 or 5*i+10*j>10000:return Falseelse:return Truedef train():i=0for init_water in range(150,200):for init_food in range(300,360):i+=1if check(init_water, init_food):q,w,e=go(1,6)log=""possess_c(init_water-q,init_food-w,money,e,log)print(i) train() max=-1 max_index=0 for i in log_list:if log_list[i]>max:max=log_list[i]max_index=i print(max_index)

3.第三關(guān)與第四關(guān)

第三關(guān)與第四關(guān)相比較于前兩關(guān)，僅僅知道當(dāng)天的天氣，據(jù)此決定當(dāng)天的行動(dòng)方案，給出最佳策略。

3.1 前兩關(guān)總結(jié)

分析第一關(guān)和第二關(guān)：可得出以下的基本的策略設(shè)計(jì)原則
(1)到達(dá)終點(diǎn)處的資源恰好耗盡。為了使到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)候資金盡可能的多，萬(wàn)向節(jié)沒(méi)有理由買多余生存需要的水和食物，玩家在七點(diǎn)和村莊購(gòu)買資源的價(jià)格高于終點(diǎn)返還的資金，因此在天氣情況已知的情況下，玩家知道維持自己生存所需要的最少資源，所以有能力在到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)候控制資源恰好耗盡。此策略僅僅適用于全局天氣已知的情況。第三四關(guān)不可以了。
(2)起點(diǎn)處保證生存的情況下多買食物
因?yàn)榇迩f的資源貴，所以盡可能的起點(diǎn)買食物，并且因?yàn)楸嘲猩舷?#xff0c;所以玩家傾向于在起點(diǎn)購(gòu)買價(jià)格較貴且質(zhì)量較小的資源。會(huì)盡可能的多買食物。

3.2 三關(guān)

第三關(guān)和第四關(guān)由于存在隨機(jī)性，不能夠給出一個(gè)確定性的最優(yōu)策略，所以在設(shè)計(jì)方案之后需要對(duì)方案的結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)
沿用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思想的情況下處理第三關(guān)
第三關(guān)天氣是隨機(jī)的。但是地圖比較小且只有10天，所有天氣一供1024中情況，可以利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃給出每一種情況的最優(yōu)解，用統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)觀察規(guī)律。
通過(guò)觀察最優(yōu)解策略，發(fā)現(xiàn)即使在全部晴天狀態(tài)下也沒(méi)有全部去挖礦，可以猜想這一關(guān)不能挖礦。
事實(shí)上，由于第三關(guān)沒(méi)有村莊，又因?yàn)楦邷靥鞖庀母?#xff0c;且挖礦收益更小，即使在晴朗的天氣挖礦，收益僅為200-165=35，挖礦五天的收益175還不能彌補(bǔ)繞路造成的資源損耗。所以直接去終點(diǎn)是比較正確的選擇。

3.3四關(guān)

分析第四關(guān)之于以前的關(guān)卡引入一個(gè)新的概念決策點(diǎn)。這個(gè)決策點(diǎn)13距離起點(diǎn)只有4天的路程，而且是玩家在沙漠中的必經(jīng)點(diǎn)，這和第三關(guān)的情況非常相似。同時(shí)決策點(diǎn)距離村莊和礦山都只有一天的行程，在決策點(diǎn)的裝屯點(diǎn)直接影響了玩家的決策，因此是玩家做決策的關(guān)鍵點(diǎn)。
分析一般情況下最有策略
地圖中沒(méi)有礦山和村莊的情況

當(dāng)玩家距離下一個(gè)目的地較近的時(shí)候，玩家不應(yīng)該等待，應(yīng)該盡可能的到達(dá)目的地，因?yàn)楦L(zhǎng)時(shí)間的停留會(huì)大大的增加資源的消耗，甚至?xí)〉娘L(fēng)險(xiǎn)，即使等待最終能夠到達(dá)終點(diǎn)，最后的資金和快速通過(guò)的方案也相差無(wú)幾，通過(guò)避開(kāi)高溫行走而節(jié)省的金錢并不多。
地圖中有村莊和礦山的情況
出發(fā)點(diǎn)的策略是攜帶效率高的資源，在村莊大量補(bǔ)充攜帶資源效率低的資源
行動(dòng)策略為在接近村莊和礦山的點(diǎn)進(jìn)行決策，若資源較少則先去補(bǔ)充資源，若資源較多就去挖礦，當(dāng)挖礦挖到資源剩余按最壞的打算僅夠前往下一個(gè)功能點(diǎn)的時(shí)候。

3.4 如何處理天氣

處理天氣的思路一種情況是上面提到到按照一定分布隨機(jī)生成，然后統(tǒng)計(jì)每一種情況分析出最有的策略。
還有一種是利用馬爾可夫鏈，建立了天氣預(yù)測(cè)而模型。根據(jù)第一關(guān)天氣轉(zhuǎn)換情況預(yù)測(cè)其余關(guān)卡的天氣情況，在根據(jù)問(wèn)題一的模型得出在不同天氣情況下玩家的最佳策略，利用對(duì)應(yīng)的天氣情況概率和最佳策略下的最大資金，可以得出最終收益的數(shù)學(xué)期望，選擇數(shù)學(xué)期望最大的一種策略

4.使用軟件與編程語(yǔ)言

按照解決問(wèn)題的不同思路使用不同的工具；
如果是使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃作為主要求解的方法，那么C++,MATLAB都可以作為求解的辦法。
如果側(cè)重于仿真與模擬，通過(guò)蒙特卡洛這種方法來(lái)求解。可以使用Python來(lái)完成。
如果是使用groubi等求解器，可以配合MATLAB和編程語(yǔ)言一起使用。

本文第二部分動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決第一二關(guān)的代碼來(lái)源于

https://www.cnblogs.com/cherrypill/p/15158527.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数学建模2020B题穿越沙漠的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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