RSA 算法图解+数学证明
目錄
1. RSA交互流程
2. RSA的加密
3.?RSA的解密
4. RSA求解E、D、N流程
5.?RSA數學證明
1. RSA交互流程
我下面以使用最為廣泛的RSA算法(三位發明者名字的縮寫)為例來介紹公鑰密碼的原理，并通過數學公式做一個簡要的證明。當然這個需要的數學定理和公式有點多，我也不太擅長高等數學┭┮﹏┭┮，哦，高等數學中也沒有講mod運算呀，它是數論的概念，也是數論里的最重要的工具。
2. RSA的加密
RSA的加密過程可以通過一個公式來表示：
加密過程中用到了兩個數：E, N。他們是什么呢？
從上面的加密公式可以看出，加密報文只需要知道E,N便可以完成，因此只需要知道這兩個數字，任何人都可以完成加密操作，因此我們將（E，N）稱之為加密密鑰。
不同于對稱加密中的復雜操作，將數據加、減、乘、除、異或，拆來拆去，挪來挪去，揉來揉去等等，復雜的簡直不要不要滴。而RSA只是將明文做了E個乘方運算，然后再取余，簡潔而不失優美。
3.?RSA的解密
RSA解密流程同加密流程一樣簡潔，可以使用下面的公式表達：
也就是說我們求出密文的D次方，然后對N求余便可以實現報文的解密。而這里的（D,N）就是解密密鑰。
從上面可以看出:
RSA加解密的數學形式完全相同：
- 加密是“求E次方，然后mod N”；
- 解密是“求D次方，然后mod N”；
可以說是相當的美妙。
這里的D,E在數學上必須滿足一定關系才行，否則無法對報文進行解密。 那么應該滿足D,E什么關系呢？
這里先拋開mod運算，但就指數運算做一個類似說明，后面在詳細的進行證明：
因此需要滿足D·E=1。即D, E互為倒數。
如果加上mod運算，原理差不多，只不過條件是：D·E mod N = 1。 即D,E 模N互為倒數
4. RSA求解E、D、N流程
通過上文已經知道：RSA加密是求“E次方的mod N”, 解密則是求“D次方的mod N”。這里用到了三個數：E,D,N, 他們是如何得到的呢？
RSA密鑰對的生成步驟如下：
（1）求N
（2）求Φ（Φ僅僅密鑰對的生成過程中使用）
（3）求E
（4）求D
下面對每一個步驟做一個詳細的講解說明：
（1）求N
首先準備兩個很大的質數p,q。
p, q 太小的話，容易被暴力破解，太大的話計算量也會相應的增大，一般p,q選取512比特，N是1024比特。p，q一般都是借助于偽隨機數生成器，然后判斷生成的數是否為質數，如果不是則重新使用偽隨機數生成器生成另外一個測試，如此往復，直到找到質數為止。（注：這里判斷一個數是否為質數，不是將其進行因式分解，數學上有較為簡單的判斷方法）。
將準備好的兩個大質數相乘，其結果就是N。即：
（2）求Φ
Φ在RSA加解密的過程中都不會用到，它只出現在生成密鑰對的過程中。
在數論中Φ(v)用來表示變量v的歐拉函數，它表示[1, v-1]范圍內那些與v互質（最大公約數為1）的正整數的個數。
下面說兩個定理：
| 定理① | |
| 定理② |
只解釋下定理①：如果一個數n為質數，那么說明n在[1,n]范圍內，除了1和它本身沒有另外的公約數，也就是說在[1,n-1]范圍內，所有的數與n的最大公約數為1，即互質，因此歐拉函數的值(互質的個數)就是n-1,即：
（3）求E
E是一個介于（1，Φ(N)）之間的正整數。此外E，N互質，即E與Φ(N)的最大公約數（greatest common divisor）為1。
用公式表示就是：
要找出一個滿足gcd?(E,?ΦN=1) 的數，依然需要借助隨機數生成器。我們可以利用輾轉相除法來計算兩個數的最大公約數。
為了保證在解密報文時，一定存在一個與E對應的D。(數論中的一個定理)
（4）求D
D要求與E具有一一對應關系，那么具體D,E,Φ之間有什么關系呢？
只要D, E, ΦN滿足上述條件，那么通過（E,N）加密的報文，一定可以通過（D,N）來解密。
D×E?modΦN=1? 存在的關鍵在于，EN互質。這便是在（3）中求解E時，要求兩者互質的原因。
至此，D,E,N已經全部計算得出，重新整理下他們之間的關系：
| （1）求N | 隨機數生成兩個大質數p,q，則N=p?×q |
| （2)??Φ(N) | N的歐拉函數：Φ(N)=(p?1)(q?1) |
| （3）求E | |
| （4）求D |
圖解RSA如下：
5.?RSA數學證明
符號約定：明文m; 密文c。
已知條件：
其中：
涉及到的數學定理：
定理一：Euler定理
?
定理二：乘法逆元存在定理（定理專業名字忘了，且表達式做了等價轉換）
?
有了以上的基礎，便可以證明RSA加解密流程了：
?
下面分情況討論：
（一般情況下，明文m是遠遠小于 N的，如果明文m大于N,解密時會出錯）
那么，明文m應該為p或者q的倍數，但不能同時是p,q的倍數，因為m<N。
不妨假設m=tp，則m與q應該互質，則有：
等式兩邊同時取kΦ(p)的冪次方，則等式依然成立，即：
所以有：
將m=t?𝑝同時乘以等式兩邊，則有
然后等式兩邊對N取模
?證明完畢。
總結
以上是生活随笔為你收集整理的RSA 算法图解+数学证明的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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