三、常見曲線的參數(shù)方程

第二章 軌跡與方程

§1 平面曲線的方程

§3　母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程

§4 空間曲線的方程

§2　曲面的方程

§1 平面曲線的方程

一、曲線的方程

二、曲線的參數(shù)方程

三、常見曲線的參數(shù)方程

一、曲線的方程

定義1

當(dāng)平面上取定了坐標(biāo)系之后，如果一個(gè)方程與一條曲線之

間有著關(guān)系：

①滿足方程的 必是曲線上某一點(diǎn)的坐標(biāo)；

②曲線上任何一點(diǎn)的坐標(biāo) 滿足這個(gè)方程，

那么這個(gè)方程就叫做這條曲線的方程，這條曲線叫做這個(gè)

方程的圖形。

概括而言，曲線上的點(diǎn)與方程之間有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系

例1 求圓心在原點(diǎn)，半徑為R 的圓的方程

例2 已知兩點(diǎn) 和 ，求滿足條件

的動(dòng)點(diǎn)M 的軌跡方程

二、曲線參數(shù)的方程

定義2

若取 的一切可能取值

①由 表示的向徑 的終點(diǎn)總在一條曲線上

②在這條曲線上的任意點(diǎn)，總對(duì)應(yīng)著以它為終點(diǎn)的向徑，而這向徑可由

的某一值 通過 完全決定

那么就把 叫做曲線的向量式參數(shù)方程，

其中 為參數(shù)。

其坐標(biāo)式參數(shù)方程為

例3 一個(gè)圓在一直線上無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，求圓周上一定點(diǎn)的軌跡

該定點(diǎn)的軌跡為旋輪線或擺線(cycloid)

三、常見曲線的參數(shù)方程

(1) 一個(gè)半徑為r 的小圓在半徑為R 的大圓內(nèi)無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，小圓周上一

定點(diǎn)P 的運(yùn)動(dòng)軌跡稱為內(nèi)擺線(hypocycloid)

例4 已知大圓半徑為a ，小圓半徑為b，設(shè)大圓不動(dòng)，而小圓在大圓內(nèi)無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，求動(dòng)圓周上某一定點(diǎn)P 的軌跡方程

(a＝4b)四尖點(diǎn)星形線(astroid)

圓的內(nèi)擺線

(2)一個(gè)半徑為r的小圓在半徑為R的大圓外無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，小圓周上一個(gè)定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡稱為外擺線(epicycloid)

其參數(shù)方程為

特別當(dāng)R＝r時(shí)可以得到心臟線(cardioid)

其參數(shù)方程為

(3)把線繞在一個(gè)固定的圓周上，將線頭拉緊后向反方向旋轉(zhuǎn)，以把線從圓周上解放出來(lái)，使放出來(lái)的部分成為圓的切線，則線頭的軌跡所形成的曲線叫做圓的漸伸線或切展線(involute)

其坐標(biāo)式參數(shù)方程為

(4)橢圓的參數(shù)方程

設(shè)橢圓的方程為

第一種參數(shù)方程以角度 為參數(shù)：

第二種參數(shù)方程以斜率 為參數(shù)：

作業(yè)

P77 2 , 3

§2 曲面的方程

一、曲面的方程

二、曲面的參數(shù)方程

三、球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系

一、曲面的方程

例1 求聯(lián)結(jié)兩點(diǎn)A(1,2,3)和B(2,-1,4)的線段的垂直平分面的方程.

例2 求兩坐標(biāo)面xOz 和yOz 所成二面角的平分面方程.

例3 求坐標(biāo)平面yOz 的方程.

例4 一平面平行于坐標(biāo)平面xOz，且在y 軸的正向一側(cè)與平面xOz 相隔距離為k ，求它的方程.

例5 設(shè)球面的中心是點(diǎn)C(a,b,c)，而且半徑等于r ，求它的方程.

求曲線方程一般需要下面的5個(gè)步驟：

1)選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(如題中已給定，這一步可省)；

2)在曲線上任取一點(diǎn)，也就是軌跡上的流動(dòng)點(diǎn)；

3)根據(jù)曲線上的點(diǎn)所滿足的幾何條件寫出等式；

4)用點(diǎn)的坐標(biāo)x,y,z的關(guān)系來(lái)表示這個(gè)等式，并化簡(jiǎn)得方程；

5)證明所得的方程就是曲線的方程，也就是證明它符合定義.

二、曲面的參數(shù)方程

例6 求球心在原點(diǎn)，半徑為r 的球面的參數(shù)方程.

例7 求以z 軸為對(duì)稱軸，半徑為R 的圓柱面的參數(shù)方程.

結(jié)論 求空間曲面或曲線的參數(shù)方程時(shí)，經(jīng)常是作向徑 的坐標(biāo)折線，將分解 為平行于坐標(biāo)軸的三個(gè)向量之和，這樣便于找出 x,y,z 與參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系.

注意 空間曲面的參數(shù)方程的表達(dá)式不是惟一的.

一般按下列三個(gè)步驟進(jìn)行：

三、球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系

1.球坐標(biāo)系

2.柱坐標(biāo)系

作業(yè)

P87～88

2(4) ， 3(3)，4(3)

§3 母線平行于坐標(biāo)軸

的柱面方程

拋物柱面

平面

拋物柱面方程：

平面方程：

從柱面方程看柱面的特征：

(其他類推)

實(shí) 例

橢圓柱面，

雙曲柱面 ，

拋物柱面，

母線//

總結(jié)

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