文章目錄

• 1 算法基本概念
• 2 算法的MATLAB實現
• • 2.1 算法的基本程序
  • 2.2 適應度函數
  • • 示例
  • 2.3 免疫粒子群算法的MATLAB應用
• 3 粒子群算法的權重控制
• • 3.1 線性遞減法
  • 3.2 自適應法
  • • 3.2.1 根據全局最優點距離進行調整
    • 3.2.2 依據早熟收斂程度和適應值進行調整權重
• 4 混合粒子群算法
• 參考文獻

1 算法基本概念

粒子群優化算法屬于進化算法的一種，通過追隨當前搜索到的最優值來尋找全局最優。粒子群算法也稱粒子群優化算法（Particle Swarm Optimization，PSO），PSO有幾個關鍵概念：粒子、優化函數、適值（Fitness Value）、飛行方向、飛行距離。

粒子群優化算法實現容易、精度高、收斂快，在解決實際問題中展示了其優越性。粒子群算法通用性較好，適合處理多種類型的目標函數和約束，并且容易與傳統的優化方法結合，從而改進自身的局限性，更高效地解決問題。因此，將粒子群算法應用于解決多目標優化問題上具有很大的優勢。

2 算法的MATLAB實現

基本粒子群算法使用固定長度的二進制符號串來表示群體中的個體，其等位基因是由二值符號集 $\{0,1\}$ 所組成。初始群體中各個個體的基因值可用均勻分布的隨機數來生成。

2.1 算法的基本程序

基本粒子群（PSO）算法描述如下：

beginInitalize; %包括初始化粒子群數,粒子初始速度和位置[x,xd] = judge(x,pop_size); %調用judge函數,初始化第一次值fornum=2:最大迭代次數wk=wmax-num*(wmax-wmin)/max_gen; %計算慣性權重r1= ; r2= %隨機產生加速權重PSO算法迭代求vk,xk;While 判斷 vk 是否滿足條件再次重新生成加速權重系數r1;r2PSO算法再次迭代求vk,xk數值end調用[x,xd] = judge(x,pop_size); 重新計算出目標函數值判斷并重新生成pj數值;判斷并重新生成pjd數值if 迭代前數值 > 迭代后的數值累加迭代次數值end輸出隨機數種子、進度、最優迭代次數、每個函數的數值和目標函數的數值用ASCII保存粒子位移的數值用ASCII保存粒子速度的數值 end

在MATLAB中，編程實現的基本粒子群算法基本函數為PSO，其調用格式如下：

[xm, dv] = PSO(fitness, N, c1, c2, w, M, D)

其中，fitness為待優化的目標函數（適應度函數），N是粒子數目，c1是學習因子 $1$，c2是學習因子 $2$，w是慣性權重，M是最大迭代次數，D是自變量個數，xm是目標函數取最小值時自變量，fv是目標函數最小值。

使用MATLAB實現基本粒子群（PSO）算法代碼如下：

function[xm,fv]=PSO(fitness, N, c1, c2, w, M, D) %%%%%%%給定初始化條件%%%%%%% % c1 學習因子1 % c2 學習因子2 % w 慣性權重 % M 最大迭代次數 % D 搜索空間維數 % N 初始化群體個體數目 %%%%%%%初始化種群個體（限定位置和速度范圍）%%%%%%% format long; for i = 1: Nfor j = 1: Dx(i,j) = randn; % 隨機初始化位置v(i,j) = randn; % 隨機初始化速度end end %%%%%%%先計算各個粒子的適應度，并初始化Pi和Pg%%%%%%% for i = 1: Np(i) = fitness(x(i,:));y(i,:) = x(i,:); end pg = x(N,:); % pg為全局最優 for i = 1:(N-1)if fitness(x(i,:)) < fitness(pg)pg = x(i,:);end end %%%%%%%進入主循環，按照公式依次迭代，知道滿足精度要求%%%%%%% for t = 1:Mfor i = 1:N % 更新速度和位移v(i,:) = w * v(i,:) + c1 * rand * (y(i,:)-x(i,:)) + c2 * rand * (pg - x(i,:));x(i,:) = x(i,:) + v(i,:);if fitness(x(i,:)) < p(i)p(i) = fitness(x(i,:));y(i,:) = x(i,:);endif p(i) < fitness(pg)pg = y(i,:);endendPbest(t) = fitness(pg); end %%%%%%%最后給出計算結果%%%%%%% disp('***********************') disp('目標函數取最小值時自變量：') xm = pg' disp('目標函數最小值為：') fv = fitness(pg) disp('***********************')

2.2 適應度函數

適應度表示個體 $x$ 對環境的適應程度，分為針對被優化目標函數優化行適應度和 針對約束函數的約束型適應度。粒子群算法使用的適應度函數多樣， $GW$ 函數和 $RA$ 函數是兩類經典的適應度函數。

• 優化型適應度
  $$F_{obj}(X)=f(x)$$
• 約束型適應度
  $$F_i(X)=?\begin{array}{c}0,g_i(X)\le 0\\ \\ g_i(X),g_i(X)\ge 0\end{array}$$

示例

利用基本粒子群算法求解函數 $f(x)={\sum }_{i=1}^{10}(x_i^2+2x_i?3)$ 最小值。

解析

利用PSO求解最小值，需要確認迭代次數對結果的影響。設定題中函數最小點均為 $0$，粒子群規模為 $40$，慣性權重為 $0.6$，學習因子1為 $1.2$，學習因子2為 $2.2$，迭代次數為 $100$ 和 $300$。

基本粒子群PSO算法代碼見上。

目標函數代碼如下：

function F = fitness(x) F = 0; for i = 1: 10F = F + x(i)^2 + 2 * x(i) - 3; end

求解函數最小值代碼如下：

• 迭代次數為100

clear all clc x = zeros(1,10); [xm,fv] = PSO(@fitness,40,1.2,2.2,0.6,100,10); % 迭代次數為100 % 取自變量 xm; % 取函數最小值 fv;

結果如下：

*********************** 目標函數取最小值時自變量：xm =-0.991104610834485-0.997666388064225-0.993499168365228-0.995209292046358-0.997319510025391-0.997398011693752-0.997812988297172-1.003889705997851-0.999468835940385-1.006062399124978目標函數最小值為：fv =-39.999779311591290***********************

• 迭代次數為300

clear all clc x = zeros(1,10); [xm,fv] = PSO(@fitness,40,1.2,2.2,0.6,300,10); % 迭代次數為300 % 取自變量 xm; % 取函數最小值 fv;

結果如下：

*********************** 目標函數取最小值時自變量：xm =-1.005827335897396-1.003735840310715-1.001088656877167-1.001724852313095-1.003933895880758-1.002330669862129-1.001909424295409-0.996959460575888-0.993648871189404-1.001008751197640目標函數最小值為：fv =-39.999872772608128***********************

PSO算法是一種隨機算法，同樣的參數也會算出不同結果，且迭代次數越大，獲得解的精度不一定越高。在粒子群算法中，要想獲得精度高的解，關鍵各個參數之間的合理搭配。

2.3 免疫粒子群算法的MATLAB應用

使用基于模擬退火的混合粒子群算法求解 $f(x)=\frac{cos\sqrt{x_1^2?x_2^2}?3}{[2+(x_1^2+x_2^2){]}^2}+0.8$ 最小值，其中 $?10\le x_i\le 10$ ，粒子數為 $60$，學習因子均為 $1.2$，退火常數為 $0.8$，迭代次數為 $800$。

解析

免疫粒子群算法代碼如下：

function [x,y,Result]=PSO_immu(func,N,c1,c2,w,MaxDT,D,eps,DS,replaceP,minD,Psum) format long; %%%%%%給定初始化條件%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% c1=1.2; %學習因子1 c2=1.2; %學習因子2 w=0.8; %慣性權重 MaxDT=800; %最大迭代次數 D=2; %搜索空間維數（未知數個數） N=60; %初始化群體個體數目 eps=10^(-10); %設置精度(在已知最小值時候用) DS=8; %每隔DS次循環就檢查最優個體是否變優 replaceP=0.5; %粒子的概率大于replaceP將被免疫替換 minD=1e-10; %粒子間的最小距離 Psum=0; %個體最佳的和 range=100; count = 0; %%%%%%初始化種群的個體%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% for i=1:Nfor j=1:Dx(i,j)=-range+2*range*rand; %隨機初始化位置v(i,j)=randn; %隨機初始化速度end end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%先計算各個粒子的適應度，并初始化Pi和Pg%%%%%%%%%%%%%%%%%%% for i=1:N p(i)=feval(func,x(i,:));y(i,:)=x(i,:); end pg=x(1,:); %Pg為全局最優 for i=2:Nif feval(func,x(i,:))<feval(func,pg) pg=x(i,:);end end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%主循環，按照公式依次迭代，直到滿足精度要求%%%%%%% for t=1:MaxDTfor i=1:Nv(i,:)=w*v(i,:)+c1*rand*(y(i,:)-x(i,:))+c2*rand*(pg-x(i,:));x(i,:)=x(i,:)+v(i,:);if feval(func,x(i,:))<p(i) p(i)=feval(func,x(i,:)); y(i,:)=x(i,:);endif p(i)<feval(func,pg) pg=y(i,:);subplot(1,2,1); bar(pg,0.25); axis([0 3 -40 40 ]) ;title (['Iteration ', num2str(t)]); pause (0.1);subplot(1,2,2); plot(pg(1,1),pg(1,2),'rs','MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8)hold on;plot(x(:,1),x(:,2),'k.');set(gca,'Color','g')hold off;grid on;axis([-100 100 -100 100 ]) ;title(['Global Min = ',num2str(p(i))]);xlabel(['Min_x= ',num2str(pg(1,1)),' Min_y= ',num2str(pg(1,2))]);endendPbest(t)=feval(func,pg) ; % if Foxhole(pg,D)<eps %如果結果滿足精度要求則跳出循環 % break; % end %%%%%開始進行免疫%%%%%%%%%%%%%%%%%if t>DSif mod(t,DS)==0 && (Pbest(t-DS+1)-Pbest(t))<1e-020 %如果連續DS代數，群體中的最優沒有明顯變優，則進行免疫.%在函數測試的過程中發現，經過一定代數的更新，個體最優不完全相等，但變化非常非常小，for i=1:N %先計算出個體最優的和Psum=Psum+p(i);endfor i=1:N %免疫程序 for j=1:N %計算每個個體與個體i的距離distance(j)=abs(p(j)-p(i));endnum=0; for j=1:N %計算與第i個個體距離小于minD的個數if distance(j)<minDnum=num+1;endendPF(i)=p(N-i+1)/Psum; %計算適應度概率PD(i)=num/N; %計算個體濃度a=rand; %隨機生成計算替換概率的因子PR(i)=a*PF(i)+(1-a)*PD(i); %計算替換概率endfor i=1:Nif PR(i)>replacePx(i,:)=-range+2*range*rand(1,D);count=count+1;endendendend end%%%%%%%最后給出計算結果%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% x=pg(1,1); y=pg(1,2); Result=feval(func,pg); %%%%%%%%%%算法結束%%%%%%%%%%%%%%%%%% function probabolity(N,i) PF=p(N-i)/Psum;%適應度概率 disp(PF); for jj=1:Ndistance(jj)=abs(P(jj)-P(i)); end num=0; for ii=1:Nif distance(ii)<minDnum=num+1;end end PD=num/N; %個體濃度 PR=a*PF+(1-a)*PD; %替換概率

目標函數代碼如下：

function y = imF(x)y = (cos(x(1)^2-x(2)^2)-3)/((2+(x(1)^2+x(2)^2))^2)+0.8; end

目標函數最小值計算代碼如下：

clear all clc x=zeros(1,10); [x1,x2,f] = PSO_im(@imF,60,2,2,0.8,800,5,0.0000001,10,0.6,0.0000000000000000001,0); % 得到出計算結果 disp('*************************************************'); disp('目標函數取最小值時的自變量：'); x1 x2 disp('目標函數的最小值為：') f disp('**************************************************');

結果如下所示：

************************************************* 目標函數取最小值時的自變量：x1 =-9.576147568073508e-09x2 =4.596695783685527e-09目標函數的最小值為：f =0.300000000000000**************************************************

3 粒子群算法的權重控制

慣性權重控制前一變化量對當前變化量的影響。$w$ 較大，全局搜索能力較強；$w$ 較小，局部搜索能力較強。常見的PSO算法有自適應權重法、隨機權重法、線性遞減權重法等。

3.1 線性遞減法

針對PSO算法容易早熟及后期容易在全局最優解附近產生振蕩的現象，提出了線性遞減權重法。即慣性權重依照線性從大到小遞減，其變化公式為
$$w=w_{max}?\frac{t?(w_{max}?w_{min})}{t_{max}}$$
其中，$w_{max}$ 表示慣性權重最大值，$w_{min}$ 表示慣性權重最小值，$t$ 表示當前迭代步數。

3.2 自適應法

3.2.1 根據全局最優點距離進行調整

目前大多采用非線性動態慣性權重系數公式，如下：
$$w=?\begin{array}{c}{w}_{min}?\frac{(w_{max}?w_{min})?(f?f_{min})}{f_{avg}?f_{min}},f\le f_{avg}\\ \\ w_{max},f>f_{avg}\end{array}$$
其中，$f$ 表示粒子實時的目標函數值，$f_{avg}$ 和 $f_{min}$ 分別表示當前所有粒子的平均值和最小目標值。

從上面公式可以看出,慣性權重隨著粒子目標函數值的改變而改變。當粒子目標值分散時，減小慣性權重；粒子目標值一致時，增加慣性權重。

3.2.2 依據早熟收斂程度和適應值進行調整權重

根據群里的早熟收斂程度和個體適應值，可以確定慣性權重的變化。

設定粒子 $p_i$ 的適應值為 $f_i$，最優粒子適應度為 $f_{min}$，則粒子群的平均適應值是 $f_{avg}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{f}_i$，將優于平均適應值的粒子適應值求平均（記為 $f_{avg}^{{}^{\prime }}$），定義 $\Delta =|f_m?f_{avg}^{{}^{\prime }}|$。

依據 $f_i$、$f_m$、$f_{avg}$ 將群體分為 $3$ 個子群，分別進行不同的自適應操作。其慣性權重的調整如下：

（1）如果 $f_i$ 優于 $f_{avg}^{{}^{\prime }}$，那么 $w=w?(w?w_{min})?|\frac{f_i?f_{avg}^{{}^{\prime }}}{f_m?f_{avg}^{{}^{\prime }}}|$

（2）如果 $f_i$ 優于 $f_{avg}^{{}^{\prime }}$，且次于 $f_m$，則慣性權重不變。

（3）如果 $f_i$ 次于 $f_{avg}^{{}^{\prime }}$，那么 $w=1.5?\frac{1}{1+k_1?exp(?k_2?\Delta )}$。

其中，$k_1$、$k_2$ 為控制參數，$k_1$ 用來控制 $w$ 的上限，$k_2$ 主要用來控制 $w=1.5?\frac{1}{1+k_1?exp(?k_2?\Delta )}$ 的調節能力。

當算法停止時，如果粒子的分布分散，則 $\Delta$ 比較大，$w$ 變小，此時算法局部搜索能力加強，從而使得群體趨于收斂；若粒子的分布聚集，則 $\Delta$ 比較小，$w$ 變大，使粒子具有較強的探查能力，從而有效地跳出局部最優。

4 混合粒子群算法

混合策略PSO就是將其他進化算法或傳統優化算法或其他技術應用到PSO中，用于提高局部開發能力、增強收斂速度與精度，或者提高粒子多樣性、增強粒子地全局探索能力。包括基于模擬退火的混合粒子群算法、基于雜交的混合粒子群算法等。下面以基于的混合粒子群算法為例。

基于的混合粒子群算法是借鑒遺傳算法中雜交的概念，在每次迭代中，根據雜交率選取指定數量的粒子放入雜交池內，池內的粒子隨機兩兩雜交，產生同樣數目的子代粒子($n$)，并用子代粒子替代父代粒子($m$)。子代位置由父代位置進行交叉得到
$$nx=i?mx(1)+(1?i)?mx(2)$$
其中，$mx$ 表示父代粒子的位置，$nx$ 表示子代粒子的位置，$i$ 是 $0$ 到 $1$ 之間的隨機數。子代的速度由下式計算：
$$nv=\frac{mv(1)+mv(2)}{|mv(1)+mv(2)|}|mv|$$
其中，$mv$ 表示父代粒子的速度，$nv$ 表示子代粒子的速度。

參考文獻

[1] MATLAB優化算法/科學與工程計算技術叢書

總結

以上是生活随笔為你收集整理的粒子群优化算法的实现的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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