簡單遞歸定義

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什么叫遞歸？（先定義一個比較簡單的說法，為了理解，不一定對）

遞歸：無限調(diào)用自身這個函數(shù)，每次調(diào)用總會改動一個關(guān)鍵變量，直到這個關(guān)鍵變量達(dá)到邊界的時候，不再調(diào)用。

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比如說我要你先求一個N!的結(jié)果

你說我會用循環(huán)啊（沒錯，但是現(xiàn)在是學(xué)遞歸）

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private int factorial(int x,int ans) { if(x==1) return ans; factorial(x-1,ans*x); }

怎么樣，對于Java基礎(chǔ)如果掌握的還行的話，這段代碼應(yīng)該很好理解。遞歸，顧名思義就是“遞”和“歸”。也就是說，寫每一個遞歸函數(shù)的時候，都應(yīng)該在寫之前考慮清楚，哪里體現(xiàn)了“遞”，哪里體現(xiàn)了“歸”。

但是常常遞歸函數(shù)會比較復(fù)雜， “遞”和“歸”看起來并不是那么明顯，這就需要我們進(jìn)一步來理解遞歸算法的思想。

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比如說我現(xiàn)在要你用輾轉(zhuǎn)相除法求出兩個數(shù)的最大公約數(shù)，遞歸函數(shù)如下：

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private int gcd(int a,int b) { return a%b==0?b:gcd(b,a%b); }

這是一段很常用的代碼，我們知道，在學(xué)習(xí)過程中不求甚解是最不應(yīng)該的。因此現(xiàn)在來仔細(xì)看一看。這里的“遞”和“歸”放在同一行。首先進(jìn)行判斷a==b?（我們可以想象成“歸”的內(nèi)容，如果這個條件符合的話）。當(dāng)然，如果不符合這個判斷，那就繼續(xù)“遞”，也就是繼續(xù)進(jìn)行g(shù)cd(b,a%b);

看到這里，你就會發(fā)現(xiàn)，遞歸不就是循環(huán)的另一種方式么？

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說對了一半，不過遞歸是一種思想，現(xiàn)在還暫時不能說透，需要大家先比較一下循環(huán)和遞歸的相同點和不同點（飯一口一口吃，別著急）

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遞歸與循環(huán)的區(qū)別與聯(lián)系

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相同點：

• 都是通過控制一個變量的邊界（或者多個），來改變多個變量為了得到所需要的值，而反復(fù)而執(zhí)行的；

• 都是按照預(yù)先設(shè)計好的推斷實現(xiàn)某一個值求取；（請注意，在這里循環(huán)要更注重過程，而遞歸偏結(jié)果一點）

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不同點：

遞歸通常是逆向思維居多，“遞”和“歸”不一定容易發(fā)現(xiàn)（比較難以理解）；而循環(huán)從開始條件到結(jié)束條件，包括中間循環(huán)變量，都需要表達(dá)出來（比較簡潔明了）。

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簡單的來說就是：用循環(huán)能實現(xiàn)的，遞歸一般可以實現(xiàn)，但是能用遞歸實現(xiàn)的，循環(huán)不一定能。因為有些題目①只注重循環(huán)的結(jié)束條件和循環(huán)過程，而往往這個結(jié)束條件不易表達(dá)（也就是說用循環(huán)并不好寫）；②只注重循環(huán)的次數(shù)而不注重循環(huán)的開始條件和結(jié)束條件（這個循環(huán)更加無從下手了）。

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遞歸的經(jīng)典應(yīng)用

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來看看“漢諾塔問題”

如圖，漢諾塔問題是指有三根桿子A,B,C。C桿上有若干碟子，把所有碟子從A桿上移到C桿上，每次只能移動一個碟子，大的碟子不能疊在小的碟子上面。求最少要移動多少次？

這是一個循環(huán)只注重循環(huán)次數(shù)的常見例子，我們知道，用循環(huán)有點無從下手（就目前作者水平來看），但是遞歸就很好寫了。

漢諾塔，什么鬼，我不會啊？

別急，慢慢來。

我們首先需要一點思維：解決n塊盤子從A移動到C，那么我只需要先把n-1塊盤子從A移到B，然后把最下面的第n塊盤子從A移到C，最后把n-1塊盤子從B移到C（這就完成了）。

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等等，那么如何把n-1塊盤子從A移到B？

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很好，這說明你已經(jīng)開始遞歸入門了。

同樣這樣去想：解決n-1塊盤子從A移動到B，那么我只需要先把n-2塊盤子從A移動到C，然后把倒數(shù)第二塊盤子從A移到B，最后把n-2塊盤子從C移到B（這就完成了）。

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這就是遞歸的“遞”！

那么“歸”呢？n==1的時候？

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實際上這里面已經(jīng)使用到了一點點棧的思想（即最上面的最先考慮變化），但其實遞歸有的時候就是真的可以理解為棧！

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到了這一步，相信大家應(yīng)該已經(jīng)有所明白。循環(huán)其實就是一個控制變量從開始條件走到結(jié)束條件的過程（在循環(huán)的過程順帶把其他變量也改變一下），因此需要控制變量，開始條件，結(jié)束條件（缺一不可）。但是遞歸只要告訴你“歸”是什么，如何去“遞”，不管過程如何，只要計算結(jié)果即可。

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遞歸可以是多個“遞”，也可以是多個“歸”；而循環(huán)由始至終都只由一個變量控制（就算有幾個變量同時控制）

也只有一個出口，每次循環(huán)也只是一個“遞”。

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再看一個例子

用二分思想建立二叉樹（通常的是遞歸實現(xiàn)），比如說線段樹

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//root 節(jié)點序號 //left 節(jié)點維護(hù)的左邊界 //right 節(jié)點維護(hù)的右邊界 private void build(int root,int left,int right) { if(left==right) return ; int mid=(left+right)/2; build(root*2，left,mid); build(root*2+1,mid+1,right); }

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如果你是新手看不太懂也沒關(guān)系，現(xiàn)在最主要的是明白：在這個程序里面只有一個“歸”，但是有兩個“遞”。那么如果學(xué)過一點但是對這一塊還不明白的怎么辦呢？別急，聽我來解釋：

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實際上，這兩個 “遞”是按照先后分別進(jìn)行的，等到第一個“遞”執(zhí)行完（也就是到了“歸”的條件之后），才開始執(zhí)行第二個“遞”。也就是說，通常在建樹的時候，都不是一層一層同時建的，而是先建一棵子樹，等到這棵子樹全部建完之后，才開始建立另外一棵子樹。

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那就會有人問了，一棵子樹建完了之后root值不會變么，root值變了之后還怎么建另外一棵子樹呢？

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root值不會變！大家請注意，這里root*2是寫在遞歸函數(shù)里面的，實際上并沒有賦值？為什么要這樣寫？因為如果不這樣寫，你直接寫在外邊的話，一棵子節(jié)點到達(dá)葉子節(jié)點之后，需要一層一層往上回溯（在這里提到了回溯的思想），而回溯就會無故產(chǎn)生很多不必要的時間復(fù)雜度，降低了遞歸效率（實際上遞歸的時間效率本來就有一點偏低）。

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所以到目前為止，我只是介紹一些很常見的簡單的遞歸，但是在接下來，我就需要說一些比較深層一點的知識了。

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首先要理解一下什么是回溯

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回溯：在遞歸的過程中由于改變的量需要倒退到某一個位置而執(zhí)行的步驟。

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先來看一個簡單的素數(shù)環(huán)問題：

給出1到n的n個連續(xù)的正整數(shù)（這里n暫時等于6），并且把這n個數(shù)填寫在如下圖的n個圓圈里面（當(dāng)然是不重復(fù)不遺漏了）。要求是每一個位置上面的數(shù)跟他相鄰的數(shù)之和都為一個素數(shù)，打印并輸出最后滿足條件的情況。

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首先明白，開始條件是 1，把1填寫在第一個位置，然后在剩下的n-1個數(shù)字里找到一個滿足與1的和是一個素數(shù)的數(shù)（當(dāng)然如果有多個，先靠前的先考慮）。接下來再繼續(xù)從剩下n-2個數(shù)字里找到一個與這個數(shù)的和又是一個素數(shù)的數(shù)（當(dāng)然如果有多個，同上。）。。。最后的一個數(shù)只要滿足與最開始的數(shù)1之和是一個素數(shù)的話，這個情況就滿足了（就可以打印輸出這樣一個例子了）

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但事情并沒有想象的那么簡單。。。（告訴我如果在中途尋找的過程中從剩下的數(shù)里找不到與當(dāng)前數(shù)的的和是一個素數(shù)的情況出現(xiàn)怎么辦？在線等）

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這就表明這樣一條路終歸是一條思路，你要往回走了！這就很符合我們給回溯的定義了，此時這個改變的量需要倒退的前面一步從另外一個方向?qū)ふ伊恕?#xff08;還是舉栗子吧）

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比如說：

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1->2->3->4 突然發(fā)現(xiàn)5和6都不滿足要求了

那么就倒退，準(zhǔn)備找另外滿足要求的數(shù)

1->2->3 又發(fā)現(xiàn)除了4以外3跟5或者3跟6也不滿足要求

那就繼續(xù)倒退，繼續(xù)準(zhǔn)備找另外滿足要求的數(shù)

1->2->5->6 接下來發(fā)現(xiàn)6跟3或者6跟4不滿足要求

…(還想繼續(xù)下去？乖，別這樣，我也累啊，看一兩個就行了，啊！) 最后發(fā)現(xiàn)滿足條件的一個是1->4->3->2->5->6

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大家應(yīng)該已經(jīng)懂了，上面的倒退，實際上就是回溯。（暫時這樣簡單的理解吧，錯了也不能怪你們）

實際上，遞歸+回溯就已經(jīng)是dfs(深度優(yōu)先搜索)的內(nèi)容范疇了。

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private void dfs(int x) { if(x==n+1&&prime(a[x-1]+a[1])) //如果滿足條件就可以打印輸出數(shù)據(jù)了，這里就是“歸” { for(int i=1;i<n;i++) cout<<a[i]<<" "; cout<<a[n]<<endl; } else //否則就繼續(xù)“遞” { for(int i=2;i<=n;i++) { if(!vis[i]&&prime(i+a[x-1])) { vis[i]=1; //vis[]是一個標(biāo)記數(shù)組，表示當(dāng)前的數(shù)字已經(jīng)被使用過了 a[x]=i; dfs(x+1); //“遞”的入口 vis[i]=0; //請注意，回溯點在這里 } } } }

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大家可能前面都看懂了，比如說“遞”和“歸”，vis[]標(biāo)記數(shù)組什么的。但是最后一個vis=0是啥意思？難道不多余么？

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不多余！前面我已經(jīng)拿建樹給大家講過遞歸的“工作原理”，它是先無限遞歸，然后到達(dá)某個條件之后，回溯到上面一個位置，繼續(xù)向其他方向遞歸。而這個vis=0就是清楚當(dāng)前數(shù)字的標(biāo)記，表示從當(dāng)前節(jié)點開始，之后遞歸過的內(nèi)容統(tǒng)統(tǒng)清空（也就是回溯）。然后根據(jù)循環(huán)，進(jìn)行下面一個方向的繼續(xù)遞歸。

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總結(jié)

（1）把遞歸當(dāng)成復(fù)雜的循環(huán)來寫，如果不明白過程，多模擬幾遍數(shù)據(jù)；

（2）把遞歸逆向?qū)懙臅r候當(dāng)做一個棧來實現(xiàn)（即符合先進(jìn)先出的思想）；

（3）當(dāng)遞歸和回溯結(jié)合在一起的時候需要明白遞歸次數(shù)和統(tǒng)計次數(shù)之間的練習(xí)和區(qū)別；

（4）但遞歸有多個“遞”和“歸”的時候，選擇一個重點的“遞”和“歸”作為匹配，即時題目即時分析，注意隨機(jī)應(yīng)變即可。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Java递归算法经典实例的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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