《數(shù)學(xué)物理方法（顧樵）》第13章學(xué)習(xí)筆記

第一節(jié) 幾個(gè)微分方程的引入

• 三維波動(dòng)方程：
  $$\frac{{?}^{2}v}{?t^2}=a^2(\frac{{?}^{2}v}{?x^2}+\frac{{?}^{2}v}{?y^2}+\frac{{?}^{2}v}{?z^2})\equiv a^2{?}^{2}v$$
• 三維熱傳導(dǎo)方程：
  $$\frac{?v}{?t}=a^2(\frac{{?}^{2}v}{?x^2}+\frac{{?}^{2}v}{?y^2}+\frac{{?}^{2}v}{?z^2})\equiv a^2{?}^{2}v$$

對三維波動(dòng)方程與三維熱傳導(dǎo)方程使用分離變量法，得到時(shí)間上的方程，以及空間上的名為亥姆霍茲方程的方程。

• 亥姆霍茲方程：
  $${?}^{2}u(r\text{r}r)+k^{2}u(r\text{r}r)=0$$

將亥姆霍茲方程變換到球坐標(biāo)上，再次應(yīng)用分離變量法，得到以半徑為自變量的球貝塞爾方程，以及以半徑與 $z$ 軸夾角為自變量再經(jīng)變量代換得到的連帶勒讓德方程。
球貝塞爾方程中設(shè)定特殊值，可以得到歐拉方程。
連帶勒讓德方程中設(shè)定特殊值，可以得到勒讓德方程。

• 球貝塞爾方程：
  $$\frac{d}{dr}(r^2\frac{dR}{dr})+(k^2{r}^2?w^2)R=0$$
• 連帶勒讓德方程：
  $$\frac{d}{dr}[(1?x^2)\frac{dy}{dx}]+(w^2?\frac{m^2}{1?x^2})y=0$$
• 歐拉方程：
  $$\frac{d}{dr}(r^2\frac{dR}{dr})?w^{2}R=0$$
• 勒讓德方程：
  $$\frac{d}{dr}[(1?x^2)\frac{dy}{dx}]+w^{2}y=0$$

將亥姆霍茲方程變換到柱坐標(biāo)上，再次應(yīng)用分離變量法，得到以半徑為自變量的方程，進(jìn)一步應(yīng)用變量代換，得到貝塞爾方程。

• 貝塞爾方程：
  $$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2?m^2)y=0$$

這些方程也可以直接通過施圖姆-劉維爾型方程引入。
$$\frac{d}{dx}[k(x)\frac{dy}{dx}]?q(x)y+\lambda \rho (x)y=0$$

所以對于這些函數(shù)的本征函數(shù)集，可以通過施圖姆-劉維爾型方程的結(jié)論驗(yàn)證正交性。

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第二節(jié) 伽馬函數(shù)的基本知識

• 定義
  $$\Gamma (x)={\int }_0^{\infty }{e}^{?t}{t}^{x?1}dt(x>0)$$
• 基本性質(zhì)

公式公式

$\Gamma (1)=1$	$\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$
$\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$	$\Gamma (n+1)=n!(n=0,1,2,...)$
$\Gamma (n+\frac{1}{2})=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!}\sqrt{\pi }$	$\Gamma (n+\frac{1}{2}+1)=\frac{(2n+1)!}{2^{2n+1}n!}\sqrt{\pi }$

當(dāng)n比較大的時(shí)候，使用變量代換，可得到斯特林公式：
$$n!\approx \sqrt{2\pi n}{n}^n{e}^{?n}$$

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第三節(jié) 求解貝塞爾方程

使用 Frobenius方法 得到級數(shù)形式的解的系數(shù)的方程，進(jìn)而得到第一類貝塞爾函數(shù)。
貝塞爾方程的通解有兩種形式。
在討論貝塞爾方程通解的第二種形式的時(shí)候，利用第一類貝塞爾方程構(gòu)造得到第二類$v$階貝塞爾函數(shù)（也稱 諾依曼函數(shù) ）。

• $v$階第一類貝塞爾函數(shù)：
  $$J_v(x)=\sum _{m=0}^{\infty }\frac{(?1{)}^m}{m!\Gamma (m+v+1)}(\frac{x}{2}{)}^{2m+v}$$
• 諾依曼函數(shù)
  $$Y_v(x)=?\begin{array}{l}\frac{J_v(x)\cos v\pi ?J_{?v}(x)}{\sin v\pi }v\in /\mathbb{Z}\\ \\ \underset{\alpha \to v}{\lim }\frac{J_{\alpha }(x)\cos \alpha \pi ?J_{?\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }v\in \mathbb{Z}\end{array}$$

兩個(gè)補(bǔ)充：
$$\begin{array}{rl}{Y}_n(x)=& \frac{2}{\pi }(\ln \frac{x}{2}+\gamma )J_n(x)\\ & ?\frac{1}{\pi }\sum _{k=0}^{n?1}\frac{(n?l?1)!}{k!}(\frac{x}{2}{)}^{2k?n}\\ & ?\frac{1}{\pi }\sum _{k=0}^{n?1}\frac{(?1{)}^k}{k!(n+k)!}[\Phi (k)+\Phi (n+k)](\frac{x}{2}{)}^{2k+n}\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}{Y}_n(x)=& \frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin (x\sin \theta ?n\theta )d\theta \\ & ?\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\infty }[e^{nt}+(?1{)}^n{e}^{?nt}]e^{?x\sinh t}dt\end{array}$$

其中：
$$\begin{array}{rl}\Phi (n)& =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n},\Phi (0)=0\\ \gamma & =\underset{n\to \infty }{\lim }(\Phi (n)?\ln n)=0.577\end{array}$$

第四節(jié) 貝塞爾函數(shù)的基本性質(zhì)

• 生成函數(shù)：該函數(shù)的級數(shù)展開式的系數(shù)是貝塞爾函數(shù)。
  整數(shù)階貝塞爾函數(shù) $J_n(x)$ 的生成函數(shù)：
  $$\exp [\frac{x}{2}(r?\frac{1}{r})]=\sum _{n=?\infty }^{\infty }{J}_n(x)r^n$$
• 性質(zhì)

第一類貝塞爾函數(shù)第二類貝塞爾函數(shù)

$\frac{d}{dx}[x^v{J}_v(x)]=x^v{J}_{v?1}(x)$	$\frac{d}{dx}[x^v{Y}_v(x)]=x^v{Y}_{v?1}(x)$
$\frac{d}{dx}[x^{?v}{J}_v(x)]=?x^{?v}{J}_{v+1}(x)$	$\frac{d}{dx}[x^{?v}{Y}_v(x)]=?x^{?v}{Y}_{v+1}(x)$
$J_v^{\prime }(x)=\frac{1}{2}[J_{v?1}(x)?J_{v+1}(x)]$	$J_v^{\prime }(x)=\frac{1}{2}[J_{v?1}(x)?J_{v+1}(x)]$
$J_{v?1}(x)+J_{v+1}(x)=\frac{2v}{x}{J}_v(x)$	$Y_{v?1}(x)+Y_{v+1}(x)=\frac{2v}{x}{Y}_v(x)$
$x{J}_{v?1}(x)=v{J}_v(x)+x{J}_v^{\prime }(x)$	$x{Y}_{v?1}(x)=v{Y}_v(x)+x{Y}_v^{\prime }(x)$
$x{J}_{v+1}(x)=v{J}_v(x)?x{J}_v^{\prime }(x)$	$x{Y}_{v+1}(x)=v{Y}_v(x)?x{Y}_v^{\prime }(x)$

• 整數(shù)階貝塞爾函數(shù)積分形式
  有兩種方法得到其積分形式。
  一是根據(jù)生成函數(shù)在復(fù)數(shù)域上的解析函數(shù)，由其洛朗級數(shù)系數(shù)在特殊閉合回路上得到。
  二是由同樣的解析函數(shù)出發(fā)，在某個(gè)特殊閉合回路上將函數(shù)展開，通過比較等號左右兩邊的形式，結(jié)合三角函數(shù)的正交性，再通過三角函數(shù)公式得到積分形式。
  $$J_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\cos (x\sin \theta ?n\theta )d\theta (n=0,\pm 1,\pm 2,...)$$
• 整數(shù)階貝塞爾函數(shù)漸進(jìn)公式
  使用穩(wěn)定相方法獲取其漸進(jìn)公式：
  $$J_n(x)\approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos (x?\frac{\pi }{4}?\frac{n\pi }{2})(n=0,1,2,...)$$

第五節(jié) 貝塞爾函數(shù)的正交完備性

類比 正弦函數(shù)集 $S_m(x)=\sin (m\pi x)$，構(gòu)建正交的貝塞爾函數(shù)集。

結(jié)合參數(shù)形式的貝塞爾函數(shù)集 $J_v(\lambda x)$ 的性質(zhì)，在區(qū)間 $[0,a]$ 上證明 正交性：
$${\int }_0^{a}x{J}_v({\lambda }_{vm}x)J_v({\lambda }_{vk}x)dx=0(m=k)$$
并計(jì)算模值：
$${\int }_0^{a}x{J}_v^2({\lambda }_{vm}x)dx=\frac{a^2}{2}{J}_{v+1}^2({\mu }_{vm})(m=1,2,...)$$

完備性：
$$f(x)=\sum _{m=1}^{\infty }{A}_m{J}_v({\lambda }_{vm}x)$$
$$A_m=\frac{2}{[a{J}_{v+1}({\mu }_{vm}){]}^2}{\int }_0^{a}x{J}_v({\lambda }_{vm}x)f(x)dx$$

貝塞爾級數(shù)在間斷點(diǎn)處的收斂性由狄利克雷定理確定。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的贝塞尔方程与贝塞尔函数学习笔记的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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