《數學物理方法（顧樵）》第13章學習筆記

第一節 幾個微分方程的引入

• 三維波動方程：
  $$\frac{{?}^{2}v}{?t^2}=a^2(\frac{{?}^{2}v}{?x^2}+\frac{{?}^{2}v}{?y^2}+\frac{{?}^{2}v}{?z^2})\equiv a^2{?}^{2}v$$
• 三維熱傳導方程：
  $$\frac{?v}{?t}=a^2(\frac{{?}^{2}v}{?x^2}+\frac{{?}^{2}v}{?y^2}+\frac{{?}^{2}v}{?z^2})\equiv a^2{?}^{2}v$$

對三維波動方程與三維熱傳導方程使用分離變量法，得到時間上的方程，以及空間上的名為亥姆霍茲方程的方程。

• 亥姆霍茲方程：
  $${?}^{2}u(r\text{r}r)+k^{2}u(r\text{r}r)=0$$

將亥姆霍茲方程變換到球坐標上，再次應用分離變量法，得到以半徑為自變量的球貝塞爾方程，以及以半徑與 $z$ 軸夾角為自變量再經變量代換得到的連帶勒讓德方程。
球貝塞爾方程中設定特殊值，可以得到歐拉方程。
連帶勒讓德方程中設定特殊值，可以得到勒讓德方程。

• 球貝塞爾方程：
  $$\frac{d}{dr}(r^2\frac{dR}{dr})+(k^2{r}^2?w^2)R=0$$
• 連帶勒讓德方程：
  $$\frac{d}{dr}[(1?x^2)\frac{dy}{dx}]+(w^2?\frac{m^2}{1?x^2})y=0$$
• 歐拉方程：
  $$\frac{d}{dr}(r^2\frac{dR}{dr})?w^{2}R=0$$
• 勒讓德方程：
  $$\frac{d}{dr}[(1?x^2)\frac{dy}{dx}]+w^{2}y=0$$

將亥姆霍茲方程變換到柱坐標上，再次應用分離變量法，得到以半徑為自變量的方程，進一步應用變量代換，得到貝塞爾方程。

• 貝塞爾方程：
  $$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2?m^2)y=0$$

這些方程也可以直接通過施圖姆-劉維爾型方程引入。
$$\frac{d}{dx}[k(x)\frac{dy}{dx}]?q(x)y+\lambda \rho (x)y=0$$

所以對于這些函數的本征函數集，可以通過施圖姆-劉維爾型方程的結論驗證正交性。

---

第二節 伽馬函數的基本知識

• 定義
  $$\Gamma (x)={\int }_0^{\infty }{e}^{?t}{t}^{x?1}dt(x>0)$$
• 基本性質

公式公式

$\Gamma (1)=1$	$\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$
$\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$	$\Gamma (n+1)=n!(n=0,1,2,...)$
$\Gamma (n+\frac{1}{2})=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!}\sqrt{\pi }$	$\Gamma (n+\frac{1}{2}+1)=\frac{(2n+1)!}{2^{2n+1}n!}\sqrt{\pi }$

當n比較大的時候，使用變量代換，可得到斯特林公式：
$$n!\approx \sqrt{2\pi n}{n}^n{e}^{?n}$$

---

第三節 求解貝塞爾方程

使用 Frobenius方法 得到級數形式的解的系數的方程，進而得到第一類貝塞爾函數。
貝塞爾方程的通解有兩種形式。
在討論貝塞爾方程通解的第二種形式的時候，利用第一類貝塞爾方程構造得到第二類$v$階貝塞爾函數（也稱 諾依曼函數 ）。

• $v$階第一類貝塞爾函數：
  $$J_v(x)=\sum _{m=0}^{\infty }\frac{(?1{)}^m}{m!\Gamma (m+v+1)}(\frac{x}{2}{)}^{2m+v}$$
• 諾依曼函數
  $$Y_v(x)=?\begin{array}{l}\frac{J_v(x)\cos v\pi ?J_{?v}(x)}{\sin v\pi }v\in /\mathbb{Z}\\ \\ \underset{\alpha \to v}{\lim }\frac{J_{\alpha }(x)\cos \alpha \pi ?J_{?\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }v\in \mathbb{Z}\end{array}$$

兩個補充：
$$\begin{array}{rl}{Y}_n(x)=& \frac{2}{\pi }(\ln \frac{x}{2}+\gamma )J_n(x)\\ & ?\frac{1}{\pi }\sum _{k=0}^{n?1}\frac{(n?l?1)!}{k!}(\frac{x}{2}{)}^{2k?n}\\ & ?\frac{1}{\pi }\sum _{k=0}^{n?1}\frac{(?1{)}^k}{k!(n+k)!}[\Phi (k)+\Phi (n+k)](\frac{x}{2}{)}^{2k+n}\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}{Y}_n(x)=& \frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin (x\sin \theta ?n\theta )d\theta \\ & ?\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\infty }[e^{nt}+(?1{)}^n{e}^{?nt}]e^{?x\sinh t}dt\end{array}$$

其中：
$$\begin{array}{rl}\Phi (n)& =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n},\Phi (0)=0\\ \gamma & =\underset{n\to \infty }{\lim }(\Phi (n)?\ln n)=0.577\end{array}$$

第四節 貝塞爾函數的基本性質

• 生成函數：該函數的級數展開式的系數是貝塞爾函數。
  整數階貝塞爾函數 $J_n(x)$ 的生成函數：
  $$\exp [\frac{x}{2}(r?\frac{1}{r})]=\sum _{n=?\infty }^{\infty }{J}_n(x)r^n$$
• 性質

第一類貝塞爾函數第二類貝塞爾函數

$\frac{d}{dx}[x^v{J}_v(x)]=x^v{J}_{v?1}(x)$	$\frac{d}{dx}[x^v{Y}_v(x)]=x^v{Y}_{v?1}(x)$
$\frac{d}{dx}[x^{?v}{J}_v(x)]=?x^{?v}{J}_{v+1}(x)$	$\frac{d}{dx}[x^{?v}{Y}_v(x)]=?x^{?v}{Y}_{v+1}(x)$
$J_v^{\prime }(x)=\frac{1}{2}[J_{v?1}(x)?J_{v+1}(x)]$	$J_v^{\prime }(x)=\frac{1}{2}[J_{v?1}(x)?J_{v+1}(x)]$
$J_{v?1}(x)+J_{v+1}(x)=\frac{2v}{x}{J}_v(x)$	$Y_{v?1}(x)+Y_{v+1}(x)=\frac{2v}{x}{Y}_v(x)$
$x{J}_{v?1}(x)=v{J}_v(x)+x{J}_v^{\prime }(x)$	$x{Y}_{v?1}(x)=v{Y}_v(x)+x{Y}_v^{\prime }(x)$
$x{J}_{v+1}(x)=v{J}_v(x)?x{J}_v^{\prime }(x)$	$x{Y}_{v+1}(x)=v{Y}_v(x)?x{Y}_v^{\prime }(x)$

• 整數階貝塞爾函數積分形式
  有兩種方法得到其積分形式。
  一是根據生成函數在復數域上的解析函數，由其洛朗級數系數在特殊閉合回路上得到。
  二是由同樣的解析函數出發，在某個特殊閉合回路上將函數展開，通過比較等號左右兩邊的形式，結合三角函數的正交性，再通過三角函數公式得到積分形式。
  $$J_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\cos (x\sin \theta ?n\theta )d\theta (n=0,\pm 1,\pm 2,...)$$
• 整數階貝塞爾函數漸進公式
  使用穩定相方法獲取其漸進公式：
  $$J_n(x)\approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos (x?\frac{\pi }{4}?\frac{n\pi }{2})(n=0,1,2,...)$$

第五節 貝塞爾函數的正交完備性

類比 正弦函數集 $S_m(x)=\sin (m\pi x)$，構建正交的貝塞爾函數集。

結合參數形式的貝塞爾函數集 $J_v(\lambda x)$ 的性質，在區間 $[0,a]$ 上證明 正交性：
$${\int }_0^{a}x{J}_v({\lambda }_{vm}x)J_v({\lambda }_{vk}x)dx=0(m=k)$$
并計算模值：
$${\int }_0^{a}x{J}_v^2({\lambda }_{vm}x)dx=\frac{a^2}{2}{J}_{v+1}^2({\mu }_{vm})(m=1,2,...)$$

完備性：
$$f(x)=\sum _{m=1}^{\infty }{A}_m{J}_v({\lambda }_{vm}x)$$
$$A_m=\frac{2}{[a{J}_{v+1}({\mu }_{vm}){]}^2}{\int }_0^{a}x{J}_v({\lambda }_{vm}x)f(x)dx$$

貝塞爾級數在間斷點處的收斂性由狄利克雷定理確定。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的贝塞尔方程与贝塞尔函数学习笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。