數學物理方法（顧樵）》第14章學習筆記

第一節 勒讓德方程的引入

將直角坐標的三維拉普拉斯方程 轉換為極坐標形式，通過分離變量法、變量代換及設置特殊值的方法，得到勒讓德方程：
$$(1?x^2)y^{\prime \prime }?2x{y}^{\prime }+l(l+1)y=0$$

另一種形式：
$$\frac{1}{\sin \theta }\frac{d}{d\theta }(\sin \theta \frac{d\Theta }{d\theta })=?l(l+1)\Theta$$

第二節 勒讓德多項式

由配方法得到勒讓德方程在 0 處的冪級數解：
$$y(x)=C_0{y}_0(x)+C_1{y}_1(x)$$

其中：
$$\begin{array}{rl}{y}_0(x)=& 1?\frac{l(l+1)}{2!}{x}^2+\frac{(l?2)l(l+1)(l+3)}{4!}{x}^4\\ & ?\frac{(l?4)(l?2)l(l+1)(l+3)(l+5)}{6!}{x}^6\\ & +\frac{(l?6)(l?4)(l?2)l(l+1)(l+3)(l+5)(l+7)}{8!}{x}^8\\ & ????\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}{y}_1=& x?\frac{(l?1)(l+2)}{3!}{x}^3+\frac{(l?3)(l?1)(l+2)(l+4)}{5!}{x}^5\\ & ?\frac{(l?5)(l?3)(l?1)(l+2)(l+4)(l+6)}{7!}{x}^7\\ & +???\end{array}$$

由達朗貝爾判別法知，$y_0(x)$ 與 $y_1(x)$ 的收斂半徑為：1。
$l$ 特殊值下的解
$$y_0(x)=C_0+C_2{x}^2+C_4{x}^4+???+C_l{x}^l(l為偶數)$$
$$y_1=C_{1}x+C_3{x}^3+C_5{x}^5+???+C_l{x}^l(l為奇數)$$
設
$$C_l=\frac{(2l)!}{2^l(l!{)}^2}$$
則對 $y_0$ 與 $y_1$ 有一個統一的形式：
$$P_l(x)=\frac{1}{2^l}\sum _{m=0}^M(?1{)}^m\frac{(2l?2m)!}{m!(l?m)!(l?2m)!}{x}^{l?2m}$$

其中
$$M=?\begin{array}{l}\frac{l}{2}(l=0,2,4,...)\\ \\ \frac{l?1}{2}(l=1,3,5,...)\end{array}$$

勒讓德方程的通解 可寫為：
$$y(x)=A{P}_l(x)+B{Q}_l(x)$$

其中 $Q_l(x)$ 是無窮級數，稱為 第二類勒讓德函數。

第三節 勒讓德多項式的基本性質

性質表達式

微分性質	$P_l(x)=\frac{1}{2^{l}l!}\frac{d^l}{d{x}^l}(x^2?1{)}^l$
積分性質	$P_l(x)=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }(x+\sqrt{x^2?1}\cos ?{)}^{l}d?$
生成函數	$\frac{1}{\sqrt{1?2rx+r^2}}={\sum }_{l=0}^{\infty }{P}_l(x)r^l(|x|\le 1,|r|<1)$

遞推公式

n=1,2,3,…

$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)x{P}_n(x)?n{P}_{n?1}(x)$

$P_n(x)=P_{n+1}^{\prime }(x)?2x{P}_n^{\prime }(x)+P_{n?1}^{\prime }(x)$

$x{P}_n^{\prime }(x)?P_{n?1}^{\prime }(x)=n{P}_n(x)$

$P_{n+1}^{\prime }(x)?P_{n?1}^{\prime }(x)=(2n+1)P_n(x)$

$n{P}_{n+1}^{\prime }(x)+(n+1)P_{n?1}^{\prime }(x)=(2n+1)x{P}_n^{\prime }(x)$

n=0,1,2,…

$P_{n+1}^{\prime }(x)=(n+1)P_n(x)+x{P}_n^{\prime }(x)$

第四節 勒讓德多項式的正交完備性

正交性
考察在勒讓德多項式上的勒讓德方程的施圖姆-劉維爾形式

一個重要的積分公式：
$${\int }_{?1}^x{P}_l(x)P_m(x)dx=?\frac{(1?x^2)[P_l(x)P_m^{\prime }(x)?P_m(x)P_l^{\prime }(x)]}{m(m+1)?l(l+1)}(l=m)$$
模值
$${\int }_{?1}^1{P}_l^2(x)dx=\frac{2}{2l+1}dx$$

完備性
在 $[?1,1]$ 上的分段光滑函數 $f(x)$ 可以按勒讓德多項式級數展開
$$f(x)=\sum _{l=0}^{\infty }{C}_l{P}_l(x)$$

其中：
$$C_l=\frac{2l+1}{2}{\int }_{?1}^1{P}_l(x)f(x)dx$$
在間斷點 $x=x_0$ 處：
$$\sum _{l=0}^{\infty }{C}_l{P}_l(x_0)=\frac{f(x_0?0)+f(x_0+0)}{2}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的勒让德多项式学习笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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