1、題目（《離散數學及其應用》第6版P75 20 題）

??? 給出可以列出有限集合所有子集的步驟。

2、? 解題思路

假設有集合A = {a1, a2 … an}，列出其所有子集。

• 先列出含有1個元素的所有子集：{a1},{a2} … {an}
• 然后列出含有2個元素的所有子集：{a1,a2},{a1,a3}…{an-1,an}
• 同上所示，一直列到含有n個元素的所有子集

可以看出，問題就簡化為求在 A 集合中，求含有固定 x 個元素的所有子集（注意，子集中每個ai只能包含一次）。

這實際上類似這么個問題，袋子中有編號為1到10的10個球，每次取一個球，取出后不放回袋子，取3次，問取出的3個球的編號可能的所有組合。

方法：

• 取第1個球時，有1～10種取法
• 取第2個球時，如果知道第1個球取的編號是a，則第2個球有除a以外的9種取法，但要注意{1,2}和{2,1}是同一個子集，如何保證不取已經取過了的同一組編號的球？

我們可以觀察到如果讓{1,2}2個球按編號大小排列只有一種排列方式即{1,2},所以只要保證第2個球的編號比第一個球的編號大，即可保證不會取到{2,1}

所以，我們可以在取第2個球時，從 (a+1) 開始取，即可保證不會取到重復的排列方式

同時，我們取第3個球時，一樣需要知道第1、2個球的編號，這實際上就是一個遞歸問題了，假設已知取到第1個球為a，第2個球為b，則第三個球的取法為 {(b+1) …10)}

3、算法

//功能：從m個元素（元素不重復）中取出n個元素（n <= m）的所有取法 //參數：vectorHead = 前nBit_x - 1個元素已取了的頭部vector //參數：nHeadBit = 當前處理的元素在vectorSet中的位置 //參數：nBit_x = 當前要處理的子集的元素位置 //參數：nChildSetSize= 要取的n個元素的子集的大小 //參數：vectorSet = m個元素的總集 //參數：vectorChildSetBuffer = 存放子集的buffer //返回：當前操作的步數 int GetChildSetByDec(std::vector<int>& vectorHead, int nHeadBit, int nBit_x, int nChildSetSize, std::vector<int>& vectorSet, std::vector<std::vector<int>>& vectorChildSetBuffer) {int nRet = 0;for (int i = nHeadBit; i < vectorSet.size(); i++){nRet++;std::vector<int> vectorNewHead = vectorHead;vectorNewHead.push_back(vectorSet[i]);if (nBit_x == nChildSetSize - 1){//如果已經處理到最后一位了，則添加到buffer中 vectorChildSetBuffer.push_back(vectorNewHead);}else{//如果還沒處理到最后一位，則遞歸GetChildSetByDec(vectorNewHead, i + 1, nBit_x + 1, nChildSetSize, vectorSet, vectorChildSetBuffer);}}return nRet; }//功能：從m個元素（元素不重復）中取出n個元素（n <= m）的所有取法 //參數：nChildSize = 要取的n個元素的子集的大小 //參數：vectorBuffer = 存放所有數組的buffer //參數：vectorSet = m個元素的總集 //返回：無 void GetChildSet(std::vector<std::vector<int>>& vectorChildSetBuffer, std::vector<int>& vectorSet) {//依次列出從1個元素到n個元素的集合for (int i = 1; i <= vectorSet.size(); i++){std::vector<int> vectorHead;GetChildSetByDec(vectorHead, 0, 0, i, vectorSet, vectorChildSetBuffer);} }

?

說明：

• 這里用的 vectorChildAggregateBuffer 來存放返回的子集，vectorChildAggregateBuffer 是一個STL容器中向量的向量，如果沒有用過STL，可以理解為數組的指針（Array[][]）,這里用Vector是為了存儲操作方便。
• GetChildAggregateByDec() 函數即用遞歸實現上面例子中10個球中取3個球的所有取法遍歷。
• GetChildAggregateByDec() 中運用了將n個元素映射為 Array[n] 數組一一對應的思想

程序運行結果：

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的集合习题之列出有限集合所有子集的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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