數(shù)模一個(gè)大佬的博客

【動(dòng)態(tài)規(guī)劃】

1.1 動(dòng)態(tài)規(guī)劃的研究?jī)?nèi)容與學(xué)習(xí)方法

把多階段過(guò)程轉(zhuǎn)化為一系列單階段問(wèn)題再逐個(gè)求解；
一些與時(shí)間無(wú)關(guān)的靜態(tài)規(guī)劃（如線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃），只要人為地引進(jìn)時(shí)間因素，把它視為多階段決策過(guò)程，！也可以用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法方便地求解，但是要必須對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行具體分析處理。可用于求解最短路線問(wèn)題、 生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題、資源分配問(wèn)題等多階段決策的優(yōu)化問(wèn)題；

它不象線性規(guī)劃那樣有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)表達(dá)式和明確定義的一組規(guī)則，而必須對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行具體分析處理。
因此，在學(xué)習(xí) 時(shí)，除了要對(duì)基本概念和方法正確理解外，應(yīng)以豐富的想象力去建立模型，用創(chuàng)造性的 技巧去求解。（巧妙！）

1.2 典型例題

根據(jù)過(guò)程的時(shí)間變量是離散的還是連續(xù)的，分為離散時(shí)間決策過(guò)程（discrete-timedecision process）和連續(xù)時(shí)間決策過(guò)程（continuous-time decision process）；根據(jù)過(guò)程的演變是確定的還是隨機(jī)的，分為確定性決策過(guò)程分為確定性決策過(guò)程（deterministic decision process）和隨機(jī)性決策過(guò)程（stochastic decision process），其中應(yīng)用最廣的是確定性多階段決策過(guò)程。

例 1 最短路線問(wèn)題

例 2 生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題

工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每單位（千件）的成本為 1（千元），每次開(kāi)工的固定成本為 3 （千元），工廠每季度的最大生產(chǎn)能力為 6（千件）。經(jīng)調(diào)查，市場(chǎng)對(duì)該產(chǎn)品的需求量第 一、二、三、四季度分別為 2，3，2，4（千件）。如果工廠在第一、二季度將全年的需 求都生產(chǎn)出來(lái)，自然可以降低成本（少付固定成本費(fèi)），但是對(duì)于第三、四季度才能上 市的產(chǎn)品需付存儲(chǔ)費(fèi)，每季每千件的存儲(chǔ)費(fèi)為 0.5（千元）。還規(guī)定年初和年末這種產(chǎn)品 均無(wú)庫(kù)存。試制定一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃，即安排每個(gè)季度的產(chǎn)量，使一年的總費(fèi)用（生產(chǎn)成本 和存儲(chǔ)費(fèi)）最少。

2. 基本方程和計(jì)算方法

2.1 動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本概念和基本方程

一個(gè)多階段決策過(guò)程最優(yōu)化問(wèn)題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型通常包含以下要素。

2.1.1 階段

階段(step)是對(duì)整個(gè)過(guò)程的自然劃分。通常根據(jù)時(shí)間順序或空間順序特征來(lái)劃分階段，以便按階段的次序解優(yōu)化問(wèn)題。階段變量一般用k = 1,2,…,n 表示。

在例 1 中由 A 出發(fā)為 k = 1，由 (i = 1,2) 出發(fā)為 k = 2 ，依此下去從 (i = 1,2) 出發(fā)為 k = 6 ，共 n = 6個(gè)階段。在例 2 中按照第一、二、三、四季度分為k = 1,2,3,4，共四個(gè)階段。

2.1.2 狀態(tài)

狀態(tài)（state）表示每個(gè)階段開(kāi)始時(shí)過(guò)程所處的自然狀況。它應(yīng)能描述過(guò)程的特征并 且無(wú)后效性，即當(dāng)某階段的狀態(tài)變量給定時(shí)，這個(gè)階段以后過(guò)程的演變與該階段以前各 階段的狀態(tài)無(wú)關(guān)。通常還要求狀態(tài)是直接或間接可以觀測(cè)的。

根據(jù)過(guò)程演變的具體情況，狀態(tài)變量可以是離散的或連續(xù)的。為了計(jì)算的方便有時(shí) 將連續(xù)變量離散化；為了分析的方便有時(shí)又將離散變量視為連續(xù)的。 狀態(tài)變量簡(jiǎn)稱為狀態(tài)。

2.1.3 決策

當(dāng)一個(gè)階段的狀態(tài)確定后，可以作出各種選擇從而演變到下一階段的某個(gè)狀態(tài)，這 種選擇手段稱為決策（decision），在最優(yōu)控制問(wèn)題中也稱為控制（control）。

決策變量簡(jiǎn)稱決策。
2.1.4 策略


2.1.5. 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程
在確定性過(guò)程中，一旦某階段的狀態(tài)和決策為已知，下階段的狀態(tài)便完全確定。用 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程（equation of state transition）表示這種演變規(guī)律，寫作

2.1.6. 指標(biāo)函數(shù)和最優(yōu)值函數(shù)

2.1.7 最優(yōu)策略和最優(yōu)軌線

2.1.8 遞歸方程

3.用 lingo 求解例 1 最短路線問(wèn)題。

model: Title Dynamic Programming; sets: vertex/A,B1,B2,C1,C2,C3,C4,D1,D2,D3,E1,E2,E3,F1,F2,G/:L; road(vertex,vertex)/A B1,A B2,B1 C1,B1 C2,B1 c3,B2 C2,B2 C3,B2 C4, C1 D1,C1 D2,C2 D1,C2 D2,C3 D2,C3 D3,C4 D2,C4 D3, D1 E1,D1 E2,D2 E2,D2 E3,D3 E2,D3 E3, E1 F1,E1 F2,E2 F1,E2 F2,E3 F1,E3 F2,F1 G,F2 G/:D; endsets data: D=5 3 1 3 6 8 7 6 6 8 3 5 3 3 8 4 2 2 1 2 3 3 3 5 5 2 6 6 4 3; L=0,,,,,,,,,,,,,,,; enddata @for(vertex(i)|i#GT#1:L(i)=@min(road(j,i):L(j)+D(j,i))); end

本節(jié)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本思想和一些經(jīng)典例題就先寫到這里。

參考文獻(xiàn)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数学建模算法之动态规划的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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