目錄

• 評價類算法
• • 層次分析法(AHP)
  • • 實例1——打分解決評價類問題
    • • 學習氛圍打分
      • 就業前景打分
      • 男女比例打分
      • 校園景色打分
      • 整理得權重表格
      • 結果
      • 總結：
    • 解決評價類問題
    • • 1. 想到問題
      • 2. 查詢并確定目標和指標
      • 3. 確定指標
      • 4. 列表及填表(判斷矩陣)
      • 5. 一致性檢驗
      • • 方法1：算術平均法求權重
        • 方法2：幾何平均法求權重
        • 方法3：特征值法求權重
    • 層次分析法步驟
    • • 一致性檢驗步驟
    • 局限性
  • 模糊綜合評價法
  • • 模糊數學
    • • 模糊概念
      • 模糊集合
      • 隸屬函數
    • 步驟概述
    • 因素集、權重向量、評語集
    • 獲得評價矩陣
    • 模糊綜合判斷
    • • 矩陣合成
      • • **主因素決定型**$M(\wedge ,\vee )$
        • **主因素突出型**$M(.,\vee )$
        • **加權平均型**$M(.,\oplus )$
        • **加權平均型**$M(\wedge ,\oplus )$
      • 評判
      • • 利用總評價向量B做出模糊評判
    • 一級例題
    • 優缺點
    • • 優點：
      • 缺點：
  • TOPSIS 法(優劣解距離法)
  • • 實例1
    • • 比較好的想法
      • • 原因
      • 拓展問題：增加指標個數
      • • 統一指標類型
        • 標準化處理
        • • 標準化處理的計算公式
          • 計算得分
    • 步驟
    • • 1. 將原始矩陣正向化
      • • 最常見的四種指標
        • • 極小型指標$\to$極大型指標
          • 中間型指標$\to$極大型指標
          • 區間型指標$\to$極大型指標
      • 2. 正向化矩陣標準化
      • 3. 計算得分并歸一化
    • 帶權重的TOPSIS

評價類算法

層次分析法(AHP)

學習筆記

實例1——打分解決評價類問題

小明關心大學的四個方面及其重要性程度(權重)：

學習氛圍(0.4)

就業前景(0.3)

男女比例(0.2)

校園景色(0.1)

• PS：重要性程度(權重)和為1

學習氛圍打分

就業前景打分

男女比例打分

校園景色打分

整理得權重表格

指標權重華科武大

學習氛圍	0.4	0.7	0.3
就業前景	0.3	0.5	0.5
男女比例	0.2	0.3	0.7
校園景色	0.1	0.25	0.75

華科最終得分：0.515

$0.7\times 0.4+0.5\times 0.3+0.3\times 0.2+0.25\times 0.1$

武大最終得分：0.485

$0.3\times 0.4+0.5\times 0.3+0.7\times 0.2+0.75\times 0.1$

結果

華科分數大于武大，結果選擇華科

總結：

打分解決評價類問題只需補充下表

指標權重方案1方案2······

指標1
指標2
指標3
······

• PS：權重和為1，各指標的每一方案的和為1

解決評價類問題

? 填好志愿后，小明同學想出去旅游。在查閱了網上的攻略后，他初步選擇了蘇杭、北戴河和桂林三地之一作為目標景點。
? 請你確定評價指標、形成評價體系來為小明同學選擇最佳的方案。

1. 想到問題

? ① 我們評價的目標是什么?

? ② 我們為了達到這個目標有哪幾種可選的方案?

? ③ 評價的準則或者說指標是什么? (我 們根據什么東西來評價好壞)

? 前兩個好解決，第三個問題要根據題目中的背景材料、常識以及網上搜集到的參考資料結合篩選出最合適的指標

2. 查詢并確定目標和指標

? 優先選擇知網 (cnki.net)(或者萬方(wanfangdata.com.cn)、百度學術 (baidu.com)、google學術 (scqylaw.com)等平臺)搜索相關文獻。

找不到文獻：

? 頭腦風暴+搜索別人或者專家的看法

優選谷歌或必應搜索引擎

蟲部落快搜 - 搜索快人一步 - Google (chongbuluo.com)

3. 確定指標

景點景色

旅游花費

居住環境

飲食情況

交通便利

• 分而治之策略：一次性考慮五個指標關系會考慮不周；可以兩個兩個指標相互比較，根據兩兩比較的結果來推算權重

標度123456789

重要性	相同		稍強		強		明顯強		絕對強

• PS：A和B相比是B和A相比的倒數

4. 列表及填表(判斷矩陣)

景色花費居住飲食交通

景色	1
花費		1
居住			1
飲食				1
交通					1

5. 一致性檢驗

clear all clc A=[1/1 1/2 4/1 3/1 3/1 2/1 1/1 7/1 5/1 5/1 1/4 1/7 1/1 1/2 1/3 1/3 1/5 2/1 1/1 1/1 1/3 1/5 3/1 1/1 1/1]; %判斷矩陣 [V,D]=eig(A); %計算特征向量V和特征值D:A*V=V*D [lambda, i]=max(diag(D)); %最大特征值lambda及其位置i CI=(lambda-5)/(5-1); %一致性指標 CR=CI/1.12 %一致性比例=0.0161

KaTeX parse error: Unknown column alignment: * at position 23: …{\begin{array}{*?{20}{c}} {{a_…

• 一致矩陣有一個特征值為$n$,其余特征值均為0.
• 特征值為$n$時，對應的特征向量剛好為KaTeX parse error: Unknown column alignment: * at position 25: …{\begin{array}{*?{20}{c}} {\fr…
• 判斷矩陣越不一致時，最大特征值與$n$相差就越大

方法1：算術平均法求權重

方法2：幾何平均法求權重

方法3：特征值法求權重

整理得

指標權重蘇杭北戴河桂林

景色	0.2636	0.5954	0.2764	0.1283
花費	0.4758	0.0819	0.2363	0.6817
居住	0.0538	0.4286	0.4286	0.1429
飲食	0.0981	0.6337	0.1919	0.1744
交通	0.1087	0.1667	0.1667	0.6667

蘇杭得分：0.299

$$0.5954\times 0.2636+0.0819\times 0.4758+0.4286\times 0.0538+0.6337\times 0.0981+0.1667\times 0.1087=0.299$$
北戴河得分：0.245

桂林得分：0.455

? 綜上解得最佳旅游景點是桂林

• 結合excel簡化運算

• PS：F4可鎖定單元格

層次分析法步驟

分析系統中各因素之間的關系，建立系統的遞階層次結構

對于同一層次的各元素關于上一層次中某一-準則的重要性進行兩兩比較，構造兩兩比較矩陣(判斷矩陣)

由判斷矩陣計算被比較元素對于該準則的相對權重,并進行一致性檢驗(檢驗 通過權重才能用)

三種方法計算權重:
(1) 算術平均法 (2) 幾何平均法 (3) 特征值法

• 建議三種都用，保證結果穩健性

一致性檢驗步驟

• PS：$CR\ge 0.10$，矩陣A需要修改，往一致矩陣上調整—→一致矩陣各行成倍數關系

計算各層元素對系統目標的合成權重， 并進行排序。

局限性

評價的決策層不能太多，太多的話n會很大，判斷矩陣和一致矩陣差異可能會很大。

[外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳

• 平均隨機一致性指標RI的表格中n最多是15

如果決策層中指標的數據是已知的，那么我們如何利用這些數據來使得評價的更加準確呢?

模糊綜合評價法

? 模糊綜合評價是一種基于模糊數學的綜合評價方法，該法根據模糊數學的隸屬度理論(隸屬函數)把定性評價轉化為定量評價。

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模糊數學

模糊概念

? 從屬于該概念到不屬于該概念之間無明顯分界線，外延不清楚。

帶有模糊概念的詞：

? 高、矮、胖、瘦、冷、暖、年輕人、老人… 亦此亦彼

傳遞精確概念的詞：

? 男性、女性、已婚、單身…

非此即彼

模糊集合

? 在人們的思維中還有著許多模糊的概念，例如年輕、很大、暖和、傍晚等，這些概念所描述的對象屬性不能簡單地用”是”或"否”來回答，模糊集合就是指具有某個模糊概念所描述的屬性的對象的全體。

隸屬函數

? 是用于表征模糊集合的數學工具。為了描述一個元素u對一個模糊集合的隸屬關系，由于這種關系的不分明性，它將用從區間[0,1]中所取的數值代替0，1這兩值來描述，表示元素屬于某模糊集合的“真實程度”。

步驟概述

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確定綜合評價的因素集及權重向量

建立綜合評價的評語集

獲得評價矩陣

模糊綜合判斷

因素集、權重向量、評語集

• 因素集是以影響評價對象的各種因素為元素所組成的一個普通集合。
• 由于各種因素所處地位和作用的不同，考慮權重向量：$A=[a_1,a_2,\dots ,a_n]$
• 評語集是評價者對評價對象可能做出的各種結果所組成的集合。
  

因素集 $U=\{色彩,做工,品牌,款式\}$

權重向量 $A=[0.3,0.3,0.3,0.1]$ PS：這是小明自己認為的，主觀性強，為了避免主觀性可以使用熵權法

評語集 $V=\{好,一般,差\}$

獲得評價矩陣

? 評價矩陣是通過對事物的每個因素隸屬于各個評語的程度進行評價（專家打分或隸屬函數）得到的。

• 專家經驗法確定評價矩陣：

  ? 根據專家的實際經驗給出模糊信息的處理算式或相應權系數值來確定隸屬函數。

• 隸屬函數確定評價矩陣：

  ? 確定方法：指派法、模糊統計法、借用已有的客觀尺度

模糊綜合判斷

模糊綜合判斷：

? 基于合適的矩陣合成方法計算總評價$B=A°R$再根據不同的決策方法, 最終得到各系統的綜合評價值,并給出綜合評價結果。

矩陣合成

主因素決定型$M(\wedge ,\vee )$

? 先取小后取大

? $n$

? $b_j=\vee (a_i\wedge r_{ij})$

? $i=1$
KaTeX parse error: Unknown column alignment: * at position 24: …{\begin{array}{*?{20}{c}} {0.3…
? 每列與行向量對應元素相比較，取最小值，如何從向量中取最大值。

? 由于綜合評判的結果僅由$a_i$與$r_{ij}$中的某一確定,著眼點是考慮主要因素，其他因素對結果影響不大，這種運算有時候出現決策結果不易分辨的情況。
KaTeX parse error: Unknown column alignment: * at position 60: …{\begin{array}{*?{20}{c}} {\be…

$((0.3\wedge 0.8)\vee (0.3\wedge 0.7)\vee (0.3\wedge 0.6)\vee (0.1\wedge 0.7))$ 結果為：0.3

$((0.3\wedge 0.1)\vee (0.3\wedge 0.2)\vee (0.3\wedge 0.2)\vee (0.1\wedge 0.\text{1}))$ 結果為：0.2

$((0.3\wedge 0.\text{1})\vee (0.3\wedge 0.\text{1})\vee (0.3\wedge 0.2)\vee (0.1\wedge 0.\text{2}))$ 結果為：0.2

主因素突出型$M(.,\vee )$

? 先相乘再取大

? $n$

? $b_j=\vee (a_i?r_{ij})$

? $i=1$
KaTeX parse error: Unknown column alignment: * at position 24: …{\begin{array}{*?{20}{c}} {0.3…
? 主因素在綜合評價中起主導作用時，建議采用方法一，當方法一失效時再采用方法二。

加權平均型$M(.,\oplus )$

? 先相乘后相加
$$b_j=\sum _{i=1}^n{a}_i{r}_{ij},j=1,\dots ,m$$

KaTeX parse error: Unknown column alignment: * at position 24: …{\begin{array}{*?{20}{c}} {0.3…

加權平均型$M(\wedge ,\oplus )$

? 先相乘后相加
$$b_j=\min \left\{1,\sum _{i=1}^n(a_i\wedge r_{ij})\right\},j=1,\dots ,m$$

KaTeX parse error: Unknown column alignment: * at position 24: …{\begin{array}{*?{20}{c}} {0.3…

? 模型三和模型四對所有因素以權重大小均衡兼顧，適用于考慮各種因素起作用的情況。

評判

利用總評價向量B做出模糊評判

最大隸屬度原則：

? $B=(0.24,0.06,0.06)$

? $V={\{}^{\prime }{好}^{\prime }{,}^{\prime }一{般}^{\prime }{,}^{\prime }{差}^{\prime }\}$

加權平均原則：
$$A=\frac{\sum _{i=1}^n{b}_i{v}_i}{\sum _{i=1}^n{b}_i}$$

$B=(0.24,0.06,0.06)$ $\frac{\text{0}\text{.24*1?+?0}\text{.06*2?+?0}\text{.06*3}}{\text{0}\text{.24?+?0}\text{.06?+?0}\text{.06}}\text{?=?1}\text{.5}$

$B=(0.8,0.75,0.03,0.01,0.01)$

$\begin{array}{c}\beta =\frac{0.8}{0.8+0.75+0.03+0.01+0.01}=0.5\\ \gamma =\frac{0.75}{1.6}=0.46875\\ \alpha =\frac{5\beta ?1}{2\gamma (5?1)}=0.4<0.5\end{array}\stackrel{加權平均原則判定為評價對象}{}$

$$A=\frac{0.8?1+0.75?2+0.03?3+0.01?4+0.01?5}{1.6}=1.55$$

一級例題

• 因素集：

  ? $U = { CO} $ $U=(5.23)$

• 評語集

? $S=(I級,I級,I級,I級)$

選擇合適的隸屬函數建立綜合評價矩陣

確定其他級別隸屬函數

• 例：$CO$濃度：5.23

  ? $\stackrel{\text{代入II級、III級的隸屬函數}}{}$ $r=(0,0.77,0.23,0)$隸屬于各評語集的矩陣

得綜合評判矩陣：

優缺點

優點：

• 模糊評價通過精確的數字手段處理模糊的評價對象，能對蘊藏信息呈現模糊性的資料作出比較科學、合理、貼近實際的量化評價;
• 評價結果是一個向量，而不是一個點值，包含的信息比較豐富，既可以比較準確的刻畫被評價對象，又可以進一步加工，得到參考信息。

缺點：

• 計算復雜，對指標權重向量的確定主觀性較強;(可用熵權法或者主成分分析法)
• 當因素集U較大，即因素集個數較大時，在權向量和為1的條件約束下，相對隸屬度權重系數往往偏小，權重向量與模糊矩陣R不匹配，結果會出現分辨率很差，無法區分誰的隸屬度更高，甚至造成評判失敗，此時可用分層模糊評估法加以改進。

TOPSIS 法(優劣解距離法)

實例1

? 小明同宿舍共有四名同學，他們第-學期的高數成績如下表所示:

姓名成績

小明	89
小王	60
小張	74
小華	99

? 請你為這四名同學進行評分，該評分能合理的描述其高數成績的高低。

姓名成績排名修正后的排名評分

小明	89	2	3	$3/10=0.3$
小王	60	4	1	$1/10=0.1$
小張	74	3	2	$2/10=0.2$
小華	99	1	4	$4/10=0.4$

• PS：但是會出現隨便修改成績，只要排名不變，評分就不會改變！(相關性不強)

姓名成績排名修正后的排名評分

小明	89	2	3	$3/10=0.3$
小王	60 10	4	1	$1/10=0.1$
小張	74	3	2	$2/10=0.2$
小華	99 90	1	4	$4/10=0.4$

比較好的想法

最高成績$max$：99 最低成績$min$：60 構造計算評分的公式：$\frac{x?min}{max?min}$

姓名成績未歸一化的評分歸一化評分

小明	89	$(89?60)/(99?60)=0.74$	$0.74/2.1=0.35$
小王	60	$(60?60)/(99?60)=0$	$0/2.1=0$
小張	74	$(74?60)/(99?60)=0.36$	$0.36/2.1=0.17$
小華	99	$(99?60)/(99?60)=1$	$1/2.1=0.48$

卷面最高成績$max$：100 卷面最低成績$min$：0 構造計算評分的公式：$\frac{x?0}{100?0}$(舍棄不用)

原因

$$構造計算評分的公式：\frac{x?min}{max?min}$$

拓展問題：增加指標個數

? 新增加了一個指標，現在要綜合評價四位同學，并為他們進行評分。

姓名成績與別人爭吵次數

小明	89	2
小王	60	0
小張	74	1
小華	99	3

成績是越高(大)越好，這樣的指標稱為極大型指標(效益型指標)。

與他人爭吵的次數越少(越小)越好，這樣的指標稱為極小型指標(成本型指標)。

統一指標類型

? 將所有的指標轉化為極大型稱為指標正向化(最常用)

姓名成績與別人爭吵次數正向化后的爭吵次數

小明	89	2	1
小王	60	0	3
小張	74	1	2
小華	99	3	0
指標類型	極大型	極小型	極大型

$$極小型指標轉換為極大型指標的公式:max?x$$

標準化處理

為了消去不同指標量綱的影響,需要對已經正向化的矩陣進行標準化處理。

標準化處理的計算公式

X = [89,1;60,3;74,2;99,0] [n,m]=size(X) X./repmat(sum(X.*X).^0.5,n,1)

計算得分

姓名成績正向化后的爭吵次數

小明	0.5437	0.2673
小王	0.3665	0.8018
小張	0.4520	0.5345
小華	0.6048	0
指標類型	極大型	極大型

$$\begin{gathered} 只有一個指標時候： \\ 構造計算評分的公式：\frac{x?min}{max?min} \\ 變形=\frac{x?min}{max?min}=\frac{x?min}{(max?x)+(x?min)} \\ 可看做:\frac{x與最小值的距離}{x與最大值的距離+x與最小值的距離} \end{gathered}$$

$Z=?\begin{array}{cc}0.5437& 0.2673\\ 0.3665& 0.8018\\ 0.4520& 0.5345\\ 0.6048& 0\end{array}?$最小值：$[0.3665,0]$ 未歸一化的得分：$S_i=\frac{D_i^{?}}{D_i^{+}+D_i^{?}}$

X = [89,1;60,3;74,2;99,0] [n,m]=size(X); Z=X./repmat(sum(X.*X).^0.5,n,1); D_P=sum([(Z-repmat(max(Z),n,1)).^2]).^0.5 %D+向量 D_N=sum([(Z-repmat(min(Z),n,1)).^2]).^0.5 %D-向量 姓名$D^{+}$$D^{?}$未歸一化的得分歸一化后的得分排名

小明	0.5380	0.3206	0.3734	0.1857	3
小王	0.2382	0.8018	0.7709	0.3534	1
小張	0.3078	0.5413	0.6375	0.3170	2
小華	0.8018	0.2382	0.2291	0.1139	4

步驟

1. 將原始矩陣正向化

最常見的四種指標

? 將原式矩陣正向化，就是要將所有的指標類型統一轉化為極大型指標。(PS：轉換的函數形式可以不唯一)

極小型指標$\to$極大型指標

$$\begin{gathered} 極小型指標轉換為極大型指標的公式: \\ max?x \\ 如果所有的元素均為正數，那么也可以使用\frac{1}{x} \end{gathered}$$

中間型指標$\to$極大型指標

? 中間型指標：指標值既不要太大也不要太小，取某特定值最好(如水質量評估PH值)
$$\begin{gathered} \{x_i\}是一組中間型指標序列，且最佳的數值為x_{best},那么正向化的公式如下: \\ M=\max \{|x_i?x_{best}|\},{\tilde{x}}_i=1?\frac{|x_i?x_{best}|}{M} \end{gathered}$$

PH值（轉換前）PH值（轉化后）

6	$1 - \frac{{\left
7	$1 - \frac{{\left
8	$1 - \frac{{\left
9	$1 - \frac{{\left

$x_{best}=7$ $M=\max \{|6?7|,|7?7|,|8?7|,|9?7|\}$

區間型指標$\to$極大型指標

? 區間型指標:指標值落在某個區間內最好，例如人的體溫在36℃ ~ 37℃這個區間比較好。
$$\begin{gathered} \{x_i\}是一組中間型指標序列，且最佳的區間為[a,b],那么正向化的公式如下: \\ M=\max \{a?\max \{x_i\},\max \{x_i\}?b\},{\tilde{x}}_i=?\begin{array}{c}1?\frac{a?x}{M},x<a\\ 1,a\le x\le b\\ 1?\frac{x?b}{M},x>b\end{array} \end{gathered}$$

體溫（轉換前）體溫（轉化后）

35.2	0.4286
35.8	0.8571
36.6	1
37.1	0.9286
37.8	0.4286
38.4	0

$a=36,b=37$ $M=\max \{36?35.2,38.4?37\}=1.4$

2. 正向化矩陣標準化

3. 計算得分并歸一化

帶權重的TOPSIS

• PS：計算時注意權重問題

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数学建模】评价类算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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