P1198 [JSOI2008]最大數(shù)

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• 線段樹為什么是80？

題目描述

現(xiàn)在請求你維護(hù)一個數(shù)列，要求提供以下兩種操作：

1、 查詢操作。

語法：Q L

功能：查詢當(dāng)前數(shù)列中末尾L個數(shù)中的最大的數(shù)，并輸出這個數(shù)的值。

限制：L不超過當(dāng)前數(shù)列的長度。

2、 插入操作。

語法：A n

功能：將n加上t，其中t是最近一次查詢操作的答案（如果還未執(zhí)行過查詢操作，則t=0)，并將所得結(jié)果對一個固定的常數(shù)D取模，將所得答案插入到數(shù)列的末尾。

限制：n是整數(shù)（可能為負(fù)數(shù)）并且在長整范圍內(nèi)。

注意：初始時數(shù)列是空的，沒有一個數(shù)。

輸入輸出格式

輸入格式：

?

第一行兩個整數(shù)，M和D，其中M表示操作的個數(shù)(M <= 200,000)，D如上文中所述，滿足(0<D<2,000,000,000)

接下來的M行，每行一個字符串，描述一個具體的操作。語法如上文所述。

?

輸出格式：

?

對于每一個查詢操作，你應(yīng)該按照順序依次輸出結(jié)果，每個結(jié)果占一行。

?

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：
5 100 A 96 Q 1 A 97 Q 1 Q 2 輸出樣例#1：
96 93 96

說明

[JSOI2008]

分析：這道題有很多種辦法解決,首先可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列中的數(shù)是遞增的，每次添加進(jìn)去的數(shù)都比之前的大，那么根據(jù)這個原理，模擬一下就能做出來.

這道題可以用來練線段樹，為什么想到要用線段樹呢？注意區(qū)間二字！在區(qū)間中查找最大值并且完成單點修改（插入），這不就是線段樹的最基本的操作嗎？因為線段樹可以全部賦值為-inf,所以插入操作可以理解為單點修改，套用線段樹的模板即可解決.

變量開成了全局變量，查了一個晚上的錯......

#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm>#define le l,mid,o * 2 #define re mid + 1,r,o * 2 + 1using namespace std;const int maxn = 200001;int m, d,maxo[maxn << 2],len,t;void build(int l,int r,int o) {if (l == r){maxo[o] = -2147283647;return;}int mid = (l + r) >> 1;build(le);build(re); }void charu(int l, int r, int o, int i, int j) {if (l == r) { maxo[o] = j;return; }int mid = (l + r) >> 1;if (i <= mid)charu(le, i, j);else charu(re, i, j);maxo[o] = max(maxo[o * 2], maxo[o * 2 + 1]); }int query(int l, int r, int o, int x, int y) {if (x <= l && r <= y)return maxo[o];int mid = (l + r) >> 1;int temp = -2147483647;if (x <= mid)temp = max(temp,query(le, x, y));if (y > mid)temp = max(temp, query(re, x, y));return temp; }int main() {scanf("%d%d", &m, &d);build(1, maxn, 1);for (int b = 1;b <= m;++b){char c;int i;cin >> c;scanf("%d", &i);if (c == 'A') { len++;charu(1, maxn, 1, len, (i + t) % d); }else { t = query(1, maxn, 1, len - i + 1, len);printf("%d\n", t); }}return 0; }

?

如果你還不會線段樹，那么可以參考一下下面這段文字(之前寫的可能不是很好，望體諒,可能也有一些不正確的，只能當(dāng)作參考):

線段樹，這個萬能的樹。

線段，線段，說白了就是一個區(qū)間,線段樹主要的操作就是對區(qū)間進(jìn)行修改查詢，效率非常高，線段樹的用途非常廣，單點更新、區(qū)間更新、最值詢問、區(qū)間詢問，至于它具體能干哪些事取決于樹里所儲存的信息量。

?

這是一個線段樹的圖，這個圖只是能夠幫我們理解線段樹的大體形狀，并不能告訴我們更多信息，其實線段樹的更多功能都隱藏在每一個節(jié)點的信息背后，為了能夠更方便的做題，我們給線段樹的每一個節(jié)點標(biāo)上序號。我們從上到下，從左到右依次標(biāo)號，如果根節(jié)點的序號為k,那么它的左子樹節(jié)點的序號則為2k,右子樹節(jié)點的序號則為2k + 1,每一個序號都對應(yīng)著唯一一個節(jié)點，所以我們可以用一個數(shù)組tree來表示這個節(jié)點背后所隱藏的信息。這個數(shù)組究竟開多大呢？雖然在平常做題中我們不需要考慮的這么仔細(xì)，但在一些內(nèi)存限制非常緊的題目中這些都是要注意的。如果區(qū)間范圍是[0,N-1],那么tree的大小M=2*N + 1,這個很好驗證。

我們先來考慮如何建樹，一般來說，只要到了葉子節(jié)點直接輸入就好了，但是我們怎么樣才能夠很快的到達(dá)葉子節(jié)點呢？遞歸！

int tree[2 * MAX_N + 1];

?

/*建立以k為根節(jié)點[L,H]為操作區(qū)間的線段樹*/

void built_tree(int k, int L, int H)

{

??? if (L == H){

??????? scanf("%d", &tree[k]);

??????? return;

??? }

??? built_tree(k << 1, L, (L + H) << 1);

??? built_tree(k << 1 | 1, (L + H) << 1 | 1, H);

}

如果L==H,證明當(dāng)前區(qū)間的長度為1，也就是此節(jié)點為葉節(jié)點，可以直接賦值。

再來考慮一個經(jīng)典問題：求一個區(qū)間內(nèi)的最小元素值。

這道題可以用暴力來做，不過復(fù)雜度太高，在一些題目中可能會TLE,我們可以看到區(qū)間二字，那么這道題80%要用線段樹來做（當(dāng)然也不是絕對，只是效率高），我們不斷比較當(dāng)前查詢區(qū)間和目標(biāo)區(qū)間，如果當(dāng)前查詢區(qū)間在目標(biāo)區(qū)間內(nèi)，那么當(dāng)前深度所表示的節(jié)點便可以參與最小值計算，如果不在區(qū)間內(nèi)，則返回?zé)o窮大，否則則分別對當(dāng)前樹的左右子樹進(jìn)行相同運算（可能術(shù)語話太強了）.

int read_tree(int k, int L, int H, int beg, int end)

{

??? if (beg > H || end < L) return -INT_MAX;

??? if (beg <= L && end >= H) return tree[k];

??? return min(read_tree(2 * k, L, (L + H) / 2, beg, end),

??????? read_tree(2 * k + 1, (L + H) / 2 + 1, H, beg, end));

}

有查詢，就一定伴隨著修改的存在，如果是普通的數(shù)組，修改很容易，只需要對所需要操作的下標(biāo)所對應(yīng)的數(shù)據(jù)修改即可，但是這是高效率數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，修改就意味著要對許多量進(jìn)行改變，在線段樹中，我們對一個節(jié)點進(jìn)行修改只需要對其及其所有的祖先進(jìn)行修改即可，其他量不變。

/*在根節(jié)點為k，[L,H]為操作區(qū)間的線段樹里對id處的值更新為key*/

int update_tree(int k, int L, int H, int id, int key)

{

??? if (L == H){

??????? tree[k] = key;

??????? return;

??? }

??? if (id < (L + H) / 2)

??????? update(k * 2, L, (L + H) / 2, id, key);

??? else

??????? update(K * 2 + 1, (L + H) / 2 + 1, H, id, key);

??? tree[k] = MAX(tree[k * 2], tree[2 * k + 1]);

}

這樣便完成了修改操作.

然后是比較復(fù)雜的區(qū)間修改，設(shè)計一個數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，使它支持兩種操作

Add(L,R,v)將AL,AL+1…AR的值全部+V

Query(L,R)計算子序列AL,AL+1…AR的元素和，最小值，最大值。

這里要維護(hù)三個查詢值，該怎么維護(hù)呢？

首先這里的Add操作是區(qū)間修改，并不是單點修改，最糟糕的情況下可能整棵線段樹的結(jié)點值都要被修改。我們知道線段樹任意區(qū)間都能分解成不超過2h個不相交區(qū)間的并，利用這個結(jié)論我們可以將每一個Add操作分解成不超過2h個的Add操作，記錄在線段樹的結(jié)點中。每次執(zhí)行完Add操作都要重新計算每個結(jié)點的附加信息，遞歸訪問到的結(jié)點全部都要重新計算，并且是在遞歸返回后計算！

下面給出計算的代碼：

void weihu(int o,int L,int R)

{

??? int lc = o * 2, rc = o * 2 + 1;

??? sumv[o] = minv[o] = maxv[o] = 0;

??? if (R > L) {

??????? sumv[o] = sumv[lc] + sumv[rc];

??????? minv[o] = min(minv[lc], minv[rc]);

??????? maxv[o] = max(maxv[lc], maxv[rc]);

??? }

??? minv[o] += addv[o];

??? maxv[o] += addv[o];

??? sumv[o] += addv[o] * (R - L + 1);

}

對于下面的代碼來說,修改/查詢的范圍均為[y1,y2].

這里的sumv數(shù)組要說一下，為什么要用左右子結(jié)點相加得出呢？首先父親結(jié)點就包含了左右結(jié)點，其次這樣維護(hù)的時候就不需要修改全部的sumv數(shù)組的元素了。當(dāng)然這里指的是特殊情況，一般是那種極端數(shù)據(jù)的。

下面是Add操作的代碼：

void Add(int o, int L, int R)

{

??? int lc = o * 2, rc = o * 2 + 1;

??? if (y1 <= L && y2 >= R)

??????? addv[o] += v;

??? else {

??????? int M = (L + R) >> 1;

??????? if (y1 <= M)

??????????? Add(lc, L, M);

??????? if (y2 > M)

??????????? Add(rc, M + 1, R);

??? }

??? weihu(o, L, R);

}

其中addv數(shù)組是累加邊界的add值，因為一棵線段樹的子節(jié)點可能不知被修改一次，所以有必要設(shè)立這個數(shù)組。

然后是查詢操作，話說用線段樹步步都得謹(jǐn)慎，感覺這句話沒錯啊，每次進(jìn)行操作都要考慮到結(jié)點對結(jié)點之間有沒有影響，我們查詢一般都是從上往下遞歸查詢，既然一個結(jié)點的父結(jié)點執(zhí)行了add操作，而這個節(jié)點也被父節(jié)點包括在內(nèi)，所以這個節(jié)點的值肯定被改變了，于是我們只能設(shè)3個全局變量來維護(hù)。

int _min, _max, _sum;

void query(int o, int L, int R, int add)

{

??? if (y1 <= L && y2 >= R) {

??????? _sum += sumv[o] + add * (R - L + 1); \

??????????? _min = min(_min, minv[o] + add);

??????? _max = max(_max, maxv[o] + add);

??? }

??? else {

??????? int M = (L + R) >> 1;

??????? if (y1 <= M)

??????????? query(o * 2, L, M, add + addv[o]);

??????? if (y2 > M)

??????????? query(o * 2 + 1, M + 1, R, add + addv[o]);

??? }

}

看到很多人都弄混了，好吧，其實我也有點暈了。可能會有人問了，為什么我們的weihu函數(shù)已經(jīng)維護(hù)了現(xiàn)在還要維護(hù)呢？因為weihu函數(shù)是從下到上的，也就是從左右子節(jié)點維護(hù)的，是相對于子節(jié)點所發(fā)生的變化，而這里的全局變量是因為父節(jié)點進(jìn)行了Add操作，子節(jié)點包含在內(nèi)，所以要另開變量維護(hù)。如果還是搞不明白，可以看到weihu函數(shù)最后只是修改了當(dāng)前節(jié)點的值，并沒有維護(hù)到它的子節(jié)點，所以要另開變量維護(hù)。

接下來是更加復(fù)雜的：

Set(L,R,v)把AL,AL+1...AR的值全部修改為v.

Query(L,R)計算子序列AL,AL+1...AR的三個值（同上題）.

可以看到這里變動的是Set操作，我們說這道題比之前復(fù)雜，為什么呢？因為之前的Add操作不管操作次序如何，都可以達(dá)到最后的結(jié)果，前提是算法是對的，代碼沒寫錯。然而Set操作則不同，好比刷油漆，最后刷的就是最終顏色。怎么辦呢？打標(biāo)記！這里的打標(biāo)記則相當(dāng)于對于被改變的特殊情況而做的變動，是為了最后的求出三個值而打的，那么怎么做呢？如果當(dāng)前區(qū)間完全被包含在我們需要修改/查詢的區(qū)間內(nèi)，則直接修改標(biāo)記為v,否則則標(biāo)記下傳。

void pushdown(int o)

{

??? int lc = o * 2, rc = o * 2 + 1;

??? if (setv[o] >= 0)

??? {

??????? setv[lc] = setv[rc] = setv[o];

??????? setv[o] = -1;

??? }

}

這里的setv數(shù)組即為標(biāo)記，注意到這個數(shù)組被初始化為-1，這里不要搞錯了，那么問題來了：為什么我們要清除父節(jié)點的標(biāo)記呢？

接下來，Set操作代碼：

void Set(int o, int L, int R)

{

??? int lc = o * 2, rc = o * 2 + 1;

??? if (y1 <= L && y2 >= R)

??? {

??????? setv[o] = v;

??? }

??? else {

??????? pushdown(o);

??????? int M = (L + R) >> 1;

??????? if (y1 <= M)

??????????? Set(lc, L, M);

??????? else

??????????? maintain(lc, L, M);

??????? if (y2 > M)

??????????? Set(rc, M + 1, R);

??????? else

??????????? maintain(rc, M + 1, R);

??? }

??? maintain(o, L, R);

}

注意到3次maintain，最后一次很好理解，因為我們之前講過，每一次遞歸完后都必須要維護(hù)一次，那么前兩次又是為何呢？因為標(biāo)記一旦下傳，則該子樹的附加信息需要改變，當(dāng)前區(qū)間內(nèi)的子樹在遞歸完后自然會進(jìn)行維護(hù)，不過另一個區(qū)間內(nèi)的子樹則沒有被維護(hù)，因此需要加上兩次maintain函數(shù)的調(diào)用。

接下來是query操作的代碼：

void query(int o, int L, int R)

{

??? if (setv[o] >= 0) {

??????? _sum += setv[o] * (min(R, y2) - max(L, y1) + 1);

??????? _min = min(_min, setv[o]);

??????? _max = max(_max, setv[o]);

??? }

??? else if (y1 <= L && y2 >= R)

??? {

??????? _sum += sumv[o];

??????? _min = min(_min, minv[o]);

??????? _max = max(_max, maxv[o]);

??? }

??? else {

??????? int M = (L + R) >> 1;

??????? if (y1 <= M)

??????????? query(o * 2, L, M);

??????? if (y2 > M)

??????????? query(o * 2 + 1, M + 1, R);

??? }

}

對于有標(biāo)記的區(qū)間，我們要優(yōu)先處理，首先知道當(dāng)前區(qū)間都被修改為setv[o],既然所有值都是一樣的，自然就是對其進(jìn)行操作，然后再考慮被所要查詢的區(qū)間所完全包圍。回到之前的問題上來，為什么我們要清除父節(jié)點的標(biāo)記呢？我們將標(biāo)記下傳一般都是傳到被所要查詢的區(qū)間所完全包圍的區(qū)間，因為子節(jié)點的區(qū)間內(nèi)的值就包含了大區(qū)間的值，換句話說，所求的結(jié)果就是幾個小區(qū)間的并，而這幾個小區(qū)間則是分解到不能再分解為止，自然，我們將父節(jié)點的標(biāo)記消除因為子節(jié)點才是影響到結(jié)果的根本，我們求的值最終也在子節(jié)點進(jìn)行，所以要消除.

?

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轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/zbtrs/p/5851173.html

總結(jié)

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