本題選自1998年全國大學生數學建模競賽A題

例:市場上有種資產(如股票、債券、……)si(i=1,2,...,n)供投資者選擇，某公司有數額為M的一筆相當大的資金可用作一個時期的投資。公司財務分析人員對這n種資產進行了評估，估算出在這一時期內購買資產si的平均收益率為ri，并預測出購買si的風險損失率為qi。考慮到投資越分散，總的風險越小，公司確定，當用這筆資金購買若干種資產時，總體風險可用所投資的si中最大的一個風險來度量。

購買si要付交易費，費率為pi，并且當購買額不超過給定ui時，交易費按購買ui計算(不買當然無需付費)。另外，假定同期銀行存款利率是r0(r0=5%),且既無交易費又無風險。

已知n=4時的相關數據如表所示。

問題分析

這是一個組合投資問題：已知市場上可供投資的n+1種資產的平均收益率、風險損失率以及購買資產時產生的交易費費率，設計一種投資組合方案，也就是要將可供投資的資金分成數量不等的n+1份分別購買n+1種資產。不同類型的資產的平均收益率和風險損失率也各不相同，因此在進行投資時，要同時兼顧兩個目標：投資的凈收益和風險。

符號說明

si：可供投資的第i種資產，i=0,1,2,...,n，其中s0表示存入銀行；

xi:投資到資產si的資金數量，i=0,1,2,...,n，其中x0表示存到銀行的資金數量；

ri：資產si的平均收益率，i=0,1,2,...,n;

qi：資產si的風險損失率，i=0,1,2,...,n，其中q0=0;

pi：資產si的交易費費率，i=0,1,2,...,n，其中p0=0;

ui：資產si的投資閾值，i=1,2,...,n。

模型假設

(1)可供投資的資金數額M相當大；

(2)投資越分散，總的風險越小，總體風險可用所投資的si中最大的一個風險來度量；

(3)可供選擇的n+1種資產(含銀行存款)之間是相互獨立的；

(4)每種資產可購買的數量為任意值；

(5)在當前投資周期內，ri,qi,pi,ui(i=0,1,...,n)固定不變；

(6)不考慮在資產交易過程總產生的其他費用，如股票交易印花稅等。

模型建立

(1)總體風險用所投資的si中最大的一個風險來衡量，即

max{qixi|i=1,2,...n}.

(2)購買si(i=1,2,...,n)所付交易費是一個分段函數，即

而題目所給的定值ui(單位：元)相對總投資M很少，piui更小，這樣購買si的凈收益可以簡化為(ri-pi)xi。

目標函數：

約束條件：

模型簡化：

①在實際投資中，投資者承擔風險的程度不一樣，若給定風險一個界限a，使最大的一個風險qixi/M≤a，可找到相應的投資方案。這樣把多目標規劃變成單目標的線性規劃。

模型一：固定風險水平，優化收益。

②若投資者希望總盈利至少達到水平k以上，在風險最小的情況下尋求相應的投資組合。

模型二：固定盈利水平，極小化風險。

③投資者在權衡資產風險和預期兩方面時，希望選擇一個能令自己滿意的投資組合。因此對風險、收益分別賦予權重w(0≤w≤1)和(1-w)，w稱為投資偏好系數。

模型三：兩個目標函數加權求和。

下面求解模型一和模型三，求解時不妨取M=10000元。

模型一的求解與分析

由于a是任意給定的風險度，到底怎樣沒有一個準則，不同的投資者有不同的風險度。我們從a=0開始，以步長是△a=0.001進行循環搜索，編制程序如下：

clc, clear, close all

prob=optimproblem('ObjectiveSense','max');

x = optimvar('x',5,1,'LowerBound',0);

c=[0.05,0.27,0.19,0.185,0.185]; %凈收益率

Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];? %等號約束矩陣

prob.Objective = c*x; M = 10000;

prob.Constraints.con1 = Aeq*x==M; %等號約束條件

q=[0.025,0.015,0.055,0.026]'; %風險損失率

a = 0; aa = []; QQ = []; XX = []; hold on

while a<0.05

prob.Constraints.con2 = q.*x(2:end)<=a*M;

[sol,Q,flag,out]= solve(prob);

aa = [aa; a]; QQ = [QQ,Q];

XX = [XX; sol.x']; a=a+0.001;

end

plot(aa, QQ, '*k')

xlabel('$a$','Interpreter','Latex'),

ylabel('$Q$','Interpreter','Latex','Rotation',0)

(2)結果分析

風險a與收益Q之間的關系見圖。

從圖中可以看出：

①風險大，收益也大。

②當投資越分散時，投資者承擔的風險越小，這與題意一致。冒險的投資者會出現集中投資的情況，保守的投資者則盡量分散投資。

③在a=0.006附近有一個轉折點，在這一點左邊風險增加很少時，利潤增長很快。在這一點右邊，風險增加很大時，利潤增加很緩慢，所以對于風險和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應選擇曲線的轉折點作為最優投資組合，大約是a=0.6%，Q=2000，所對應投資方案為

風險度a=0.006，收益Q=2019元，x0=0元，x1=2400元，x2=4000元，x3=1091元，x4=2212元。

模型三的求解及分析

(1)線性化

具體求解時，我們需要把目標函數線性化，引進變量xn+1=max{qixi}(1≤i≤n}，則模型可線性化為：

(2)求解及分析

可以得到當w取不同值時風險和收益的計算結果如表所示

從以上數據可以看出，當投資偏好系數w≤0.7時所對應的收益和風險均達到最大值。此時，收益為2673.27元，風險為247.52元，全部資金均用來購買資產si；當w由0.7增加到1.0時，收益和風險均呈下降趨勢，特別，當w=1.0時，收益和風險均達到最小值，收益為500元，風險為0，此時應將所有資金全部存入銀行。

為更好地描述收益與風險的對應關系，可將w的取值進一步細化，重新計算的部分數據如表所示

繪制收益和風險的函數關系圖像如圖所示

從圖可以看出，投資的收益越大，風險也越大。投資者可以根據自己對風險喜好的不同，選擇合適的投資方案。曲線的拐點坐標約為（59.4，2016.24），此時對應的投資方案是購買資產s1、s2、s3、s4的資金分別為2375.84元、3959.73元、1079.93元和2284.46元，存入銀行的資金為0元，這對于風險和收益沒有明顯偏好的投資者是一個比較合適的選擇。

clc, clear, close all, format long g

M =10000; prob = optimproblem;

x = optimvar('x',6,1,'LowerBound',0);

r=[0.05,0.28,0.21,0.23,0.25]; %收益率

p=[0, 0.01, 0.02, 0.045, 0.065]; %交易費率

q=[0, 0.025, 0.015, 0.055, 0.026]'; %風險損失率

%w = 0:0.1:1

w = [0.766, 0.767, 0.810, 0.811, 0.824, 0.825, 0.962, 0.963, 1.0]

V = []; %風險初始化

Q = []; %收益初值化

X = []; %最優解的初始化

prob.Constraints.con1 = (1+p)*x(1:end-1)==M;

prob.Constraints.con2 = q(2:end).*x(2:end-1)<=x(end);

for i = 1:length(w)

prob.Objective = w(i)*x(end)-(1-w(i))*(r-p)*x(1:end-1);

[sol,fval,flag,out]=solve(prob);

xx = sol.x; V=[V,max(q.*xx(1:end-1))];

Q=[Q,(r-p)*xx(1:end-1)]; X=[X; xx'];

plot(V, Q, '*-'); grid on

xlabel('風險（元）'); ylabel('收益（元）')

end

V, Q, format

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的关于投资收益和风险的例题（线性规划）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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