数学建模【转】
一、數學模型的定義
現在數學模型還沒有一個統一的準確的定義，因為站在不同的角度可以有不同的定義。不過我們可以給出如下定義：“數學模型是關于部分現實世界和為一種特殊目的而作的一個抽象的、簡化的結構。”具體來說，數學模型就是為了某種目的，用字母、數學及其它數學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及其內在聯系的數學結構表達式。一般來說數學建模過程可用如下框圖來表明：
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數學是在實際應用的需求中產生的，要解決實際問題就必需建立數學模型，從此意義上講數學建模和數學一樣有古老歷史。例如，歐幾里德幾何就是一個古老的數學模型，牛頓萬有引力定律也是數學建模的一個光輝典范。今天，數學以空前的廣度和深度向其它科學技術領域滲透，過去很少應用數學的領域現在迅速走向定量化，數量化，需建立大量的數學模型。特別是新技術、新工藝蓬勃興起，計算機的普及和廣泛應用，數學在許多高新技術上起著十分關鍵的作用。因此數學建模被時代賦予更為重要的意義。
二、建立數學模型的方法和步驟
1.?模型準備
要了解問題的實際背景，明確建模目的，搜集必需的各種信息，盡量弄清對象的特征。
2.?模型假設
根據對象的特征和建模目的，對問題進行必要的、合理的簡化，用精確的語言作出假設，是建模至關重要的一步。如果對問題的所有因素一概考慮，無疑是一種有勇氣但方法欠佳的行為，所以高超的建模者能充分發揮想象力、洞察力和判斷力 ，善于辨別主次，而且為了使處理方法簡單，應盡量使問題線性化、均勻化。
3.?模型構成
根據所作的假設分析對象的因果關系，利用對象的內在規律和適當的數學工具，構造各個量間的等式關系或其它數學結構。這時，我們便會進入一個廣闊的應用數學天地，這里在高數、概率老人的膝下，有許多可愛的孩子們，他們是圖論、排隊論、線性規劃、對策論等許多許多，真是泱泱大國，別有洞天。不過我們應當牢記，建立數學模型是為了讓更多的人明了并能加以應用，因此工具愈簡單愈有價值。
4.?模型求解
可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值運算等各種傳統的和近代的數學方法，特別是計算機技術。一道實際問題的解決往往需要紛繁的計算，許多時候還得將系統運行情況用計算機模擬出來，因此編程和熟悉數學軟件包能力便舉足輕重。
5.?模型分析
對模型解答進行數學上的分析。“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，能否對模型結果作出細致精當的分析，決定了你的模型能否達到更高的檔次。還要記住，不論那種情況都需進行誤差分析，數據穩定性分析。
三、數模競賽出題的指導思想
傳統的數學競賽一般偏重理論知識，它要考查的內容單一，數據簡單明確，不允許用計算器完成。對此而言，數模競賽題是一個“課題”，大部分都源于生產實際或者科學研究的過程中，它是一個綜合性的問題，數據龐大，需要用計算機來完成。其答案往往不是唯一的（數學模型是實際的模擬，是實際問題的近似表達，它的完成是在某種合理的假設下，因此其只能是較優的，不唯一的），呈報的成果是一編“論文”。由此可見“數模競賽”偏重于應用，它是以數學知識為引導計算機運用能力及文章的寫作能力為輔的綜合能力的競賽。
四、競賽中的常見題型
賽題題型結構形式有三個基本組成部分：
1.?實際問題背景
涉及面寬——有社會，經濟，管理，生活，環境，自然現象，工程技術，現代科學中出現的新問題等。一般都有一個比較確切的現實問題。
2．?若干假設條件
有如下幾種情況：
1）只有過程、規則等定性假設，無具體定量數據；
2）給出若干實測或統計數據；
3）給出若干參數或圖形；
4）蘊涵著某些機動、可發揮的補充假設條件，或參賽者可以根據自己收集或模擬產生數據。
3．?要求回答的問題
往往有幾個問題，而且一般不是唯一答案。一般包含以下兩部分：
1）比較確定性的答案（基本答案）；
2）更細致或更高層次的討論結果（往往是討論最優方案的提法和結果）。
五、提交一篇論文，基本內容和格式是什么？
提交一篇論文，基本內容和格式大致分三大部分：
1.?標題、摘要部分
題目——寫出較確切的題目（不能只寫A題、B題）。
摘要——200-300字，包括模型的主要特點、建模方法和主要結果。
內容較多時最好有個目錄。
2.?中心部分
1）問題提出，問題分析。
2）模型建立：
① 補充假設條件，明確概念，引進參數；
② 模型形式（可有多個形式的模型）；
③ 模型求解；
④ 模型性質；
3）計算方法設計和計算機實現。
4）結果分析與檢驗。
5）討論——模型的優缺點，改進方向，推廣新思想。
6）參考文獻——注意格式。
3.?附錄部分
計算程序，框圖。
各種求解演算過程，計算中間結果。
各種圖形、表格。
六、參加數學建模競賽是不是需要學習很多知識？
沒有必要很系統的學很多數學知識，這是時間和精力不允許的。很多優秀的論文，其高明之處并不是用了多少數學知識，而是思維比較全面、貼合實際、能解決問題或是有所創新。有時候，在論文中可能碰見一些沒有學過的知識，怎么辦？現學現用，在優秀論文中用過的數學知識就是最有可能在數學建模競賽中用到的，你當然有必要去翻一翻。
具體說來，大概有以下這三個方面：
第一方面：數學知識的應用能力
歸結起來大體上有以下幾類：
1）概率與數理統計
2）統籌與線軸規劃
3）微分方程；
還有與計算機知識交叉的知識：計算機模擬。
上述的內容有些同學完全沒有學過，也有些同學只學過一點概率與數理統計，微分方程的知識怎么辦呢？一個詞“自學”，我曾聽到過數模評卷的負責教師范毅說過“能用最簡單淺易的數學方法解決了別人用高深理論才能解決的答卷是更優秀的答卷”。
第二方面：計算機的運用能力
一般來說凡參加過數模競賽的同學都能熟練地應用字處理軟件“Word”，掌握電子表格“Excel”的使用；“Mathematica”軟件的使用，最好還具備語言能力。這些知識大部分都是學生自己利用課余時間學習的。
第三方面：論文的寫作能力
前面已經說過考卷的全文是論文式的，文章的書寫有比較嚴格的格式。要清楚地表達自己的想法并不容易，有時一個問題沒說清楚就又說另一個問題了。評卷的教師們有一個共識，一篇文章用10來分鐘閱讀仍然沒有引起興趣的話，這一遍文章就很有可能被打入冷宮了。
七、小組中應該如何分工？
傳統的標準答案是——數學，編程，寫作。其實分工不用那么明確，但有個前提是大家關系很好。不然的話，很容易產生矛盾。分工太明確了，會讓人產生依賴思想，不愿去動腦子。理想的分工是這樣的：數學建模競賽小組中的每一個人，都能勝任其它人的工作，就算小組只剩下她（他）一個人，也照樣能夠搞定數學建模競賽。在競賽中的分工，只是為了提高工作的效率，做出更好的結果。
具體的建議如下：一定要有一個人腦子比較活，善于思考問題，這個人勉強歸于數學方面吧；一定要有一個人會編程序，能夠實現一些算法。另外需要有一個論文寫的比較好，不過寫不好也沒關系，多看一看別人的優秀論文，多用幾次word，Visio就成了。
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一、寫好數模答卷的重要性
1. 評定參賽隊的成績好壞、高低，獲獎級別，數模答卷，是唯一依據。
2. 答卷是競賽活動的成績結晶的書面形式。
3. 寫好答卷的訓練，是科技寫作的一種基本訓練。
二、答卷的基本內容，需要重視的問題
1．評閱原則
假設的合理性，建模的創造性，結果的合理性，表述的清晰程度。
2．答卷的文章結構
1）摘要。
2）問題的敘述，問題的分析，背景的分析等。
3）模型的假設，符號說明（表）。
4）模型的建立（問題分析，公式推導，基本模型，最終或簡化模型等）。
5）模型的求解計算方法設計或選擇；算法設計或選擇，算法思想依據，步驟及實現，計算框圖；所采用的軟件名稱；引用或建立必要的數學命題和定理；求解方案及流程。
6）結果表示、分析與檢驗，誤差分析，模型檢驗。
7）模型評價，特點，優缺點，改進方法，推廣。
8）參考文獻。
9）附錄、計算框圖、詳細圖表。
3. 要重視的問題
1）摘要。包括：
a. 模型的數學歸類（在數學上屬于什么類型）；
b. 建模的思想（思路）；
c. 算法思想（求解思路）；
d. 建模特點（模型優點，建模思想或方法，算法特點，結果檢驗，靈敏度分析，模型檢驗……）；
e. 主要結果（數值結果，結論；回答題目所問的全部“問題”）。
▲ 注意表述：準確、簡明、條理清晰、合乎語法、字體工整漂亮；打印最好，但要求符合文章格式。務必認真校對。
2）問題重述。
3）模型假設。
根據全國組委會確定的評閱原則，基本假設的合理性很重要。
a. 根據題目中條件作出假設
b. 根據題目中要求作出假設
關鍵性假設不能缺；假設要切合題意。
4） 模型的建立。
a. 基本模型：
ⅰ）首先要有數學模型：數學公式、方案等；
ⅱ）基本模型，要求 完整，正確，簡明；
b. 簡化模型：
ⅰ）要明確說明簡化思想，依據等；
ⅱ）簡化后模型，盡可能完整給出；
c. 模型要實用，有效，以解決問題有效為原則。
數學建模面臨的、要解決的是實際問題，不追求數學上的高（級）、深（刻）、難（度大）。
ⅰ）能用初等方法解決的、就不用高級方法；
ⅱ）能用簡單方法解決的，就不用復雜方法；
ⅲ）能用被更多人看懂、理解的方法，就不用只能少數人看懂、理解的方法。
d．鼓勵創新，但要切實，不要離題搞標新立異。數模創新可出現在：
▲ 建模中，模型本身，簡化的好方法、好策略等；
▲ 模型求解中；
▲ 結果表示、分析、檢驗，模型檢驗；
▲ 推廣部分。
e．在問題分析推導過程中，需要注意的問題：
ⅰ）分析：中肯、確切；
ⅱ）術語：專業、內行；
ⅲ）原理、依據：正確、明確；
ⅳ）表述：簡明，關鍵步驟要列出；
ⅴ）忌：外行話，專業術語不明確，表述混亂，冗長。
5）模型求解。
a. 需要建立數學命題時：
命題敘述要符合數學命題的表述規范，盡可能論證嚴密。
b. 需要說明計算方法或算法的原理、思想、依據、步驟。
若采用現有軟件，說明采用此軟件的理由，軟件名稱。
c. 計算過程，中間結果可要可不要的，不要列出。
d. 設法算出合理的數值結果。
6） 結果分析、檢驗；模型檢驗及模型修正；結果表示。
a. 最終數值結果的正確性或合理性是第一位的；
b. 對數值結果或模擬結果進行必要的檢驗；
結果不正確、不合理、或誤差大時，分析原因， 對算法、計算方法、或模型進行修正、改進。
c. 題目中要求回答的問題，數值結果，結論，須一一列出；
d. 列數據問題：考慮是否需要列出多組數據，或額外數據對數據進行比較、分析，為各種方案的提出提供依據；
e. 結果表示：要集中，一目了然，直觀，便于比較分析。
▲ 數值結果表示：精心設計表格；可能的話，用圖形圖表形式。
▲ 求解方案，用圖示更好。
7）必要時對問題解答，作定性或規律性的討論。最后結論要明確。
8）模型評價
優點突出，缺點不回避。
改變原題要求，重新建模可在此做。
推廣或改進方向時，不要玩弄新數學術語。
9）參考文獻
10）附錄
詳細的結果，詳細的數據表格，可在此列出，但不要錯，錯的寧可不列。主要結果數據，應在正文中列出，不怕重復。
檢查答卷的主要三點，把三關：
a. 模型的正確性、合理性、創新性
b. 結果的正確性、合理性
c. 文字表述清晰，分析精辟，摘要精彩
三、關于寫答卷前的思考和工作規劃
答卷需要回答哪幾個問題――建模需要解決哪幾個問題；
問題以怎樣的方式回答――結果以怎樣的形式表示；
每個問題要列出哪些關鍵數據――建模要計算哪些關鍵數據；
每個量，列出一組還是多組數――要計算一組還是多組數。
四、答卷要求的原理
1. 準確――科學性；
2. 條理――邏輯性；
3. 簡潔――數學美；
4. 創新――研究、應用目標之一，人才培養需要；
5. 實用――建模、實際問題要求。
五、建模理念
1. 應用意識
要解決實際問題，結果、結論要符合實際；
模型、方法、結果要易于理解，便于實際應用；站在應用者的立場上想問題，處理問題。
2. 數學建模
用數學方法解決問題，要有數學模型；
問題模型的數學抽象，方法有普適性、科學性，不局限于本具體問題的解決。
3. 創新意識
建模有特點，更加合理、科學、有效、符合實際；更有普遍應用意義；不單純為創新而創新。
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1．時間和體力的問題
競賽中時間分配也很重要，分配不好可能完不成論文，所以開始時要大致做一下安排， 不必分的太細，比如第一天做第一小題，第二天做第二小題，這樣反而會有壓力。開始階段不忙寫作，可以將一些小組討論的要點記錄下來，不要太工整，隨便一下，到第三天再開始寫論文也不遲的。另外要說的就是體力要跟上，三天一般睡眠只有不到10個小時。建議是賽前熬夜編程幾次，但比賽前一天可不許熬呀，呵呵。
2．團隊合作是能否獲獎的關鍵
三天的比賽中，團隊交流所占用的時間可能會超過一半。當出現分歧的時候應當如何解決是很關鍵的，甚至直接決定你是否可以獲獎，我的建議是“妥協”，不要總認為自己的觀點是正確的，多聽聽別人的觀點，在兩者之間謀求共同點。合作在競賽前就應當培養，比如一塊兒做一道題什么的，充分利用每個人的優點，也可以張三準備圖論，李四準備最優化方法，然后幾天后大家一塊交流，這些都是可以磨合團隊之間的關系的。
3．重視摘要
摘要首先不要寫廢話，也不要照抄題目的一些話，直奔主題，要寫明自己怎樣分析問題， 用什么方法解決問題，最重要的是結論是什么要說清楚，在中國的競賽中不寫結論的話是一定不會得獎的。摘要至少需要琢磨兩個小時，不要輕視了它的重要性。多看看優秀論文的摘要是如何去寫的很有必要的，并要作為賽前準備的課題之一。
4．論文寫作要正規
論文一定要大致按照摘要、問題重述、模型假設、符號說明、問題分析、（建立、分析 、求解模型）、……、參考文獻、附錄等等的方式來寫。一般初評會先淘汰一些結構失敗的文章，如果沒有論文的結構，內容再好也沒有用。論文前面的結構一般都不會變的，后面可以按照實際情況來安排自己的結構，省略的部分可以有結果說明、靈敏度分析、其他模型、模型擴展、優缺點分析等等的東西，多看些優秀論文就知道還有哪些形式的了，附錄可以貼一些算法流程圖或比較大的結果或圖表等等。
5．模型的假設與模型的建立
評委看完摘要后緊接著就是看模型假設了，有一個萬能的方法就是可以抄題目中可以作為假設的幾句話，這樣會給人留下好的印象，畢竟說明你審題了。但不能全抄，要加上自己論文中的一些假設，最好不要太具體了，一些重要參數不要被定死只能取某些值，這樣會讓人感覺到論文的局限性較強。模型的建立是根據你對問題分析而來的，提出的數學符號和建立模型最好要比較接近，在同一頁最好，以便評委可以對照符號來看，數學公式要嚴謹，推導要嚴密，這些都反映了一個人的數學素質和能力，即使你推導不對，別人看到你的陣勢也首先會誤以為你是對的。
6．圖文表并茂可以增色
我聽說一個不確切的信息是評委老師喜歡用Matlab編程的論文，不知道有沒有這回事， 但這說明了老師需要看一個具有圖或表在其中的論文，一篇如果像政治書那樣寫的論文估計沒有人會對它感興趣的，尤其是科技論文。Matlab編程之所以受到青睞是因為Matlab提供的圖形處理能力很強大，圖表的說明性特別強，如果結論有很多數據的話，最好做成圖表的形式加以說明，會令你的論文更有說服力，也更加會受到評委的好評。
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一、數學建模競賽中應當掌握的十類算法
1．蒙特卡羅算法
該算法又稱隨機性模擬算法，是通過計算機仿真來解決問題的算法，同時可以通過模擬可以來檢驗自己模型的正確性，是比賽時必用的方法。
2．數據擬合、參數估計、插值等數據處理算法
比賽中通常會遇到大量的數據需要處理，而處理數據的關鍵就在于這些算法，通常使用Matlab作為工具。
3．線性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類問題
建模競賽大多數問題屬于最優化問題，很多時候這些問題可以用數學規劃算法來描述，通常使用Lindo、Lingo軟件實現。
4．圖論算法
這類算法可以分為很多種，包括最短路、網絡流、二分圖等算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認真準備。
5．動態規劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機算法
這些算法是算法設計中比較常用的方法，很多場合可以用到競賽中。
6．最優化理論的三大非經典算法：模擬退火法、神經網絡、遺傳算法
這些問題是用來解決一些較困難的最優化問題的算法，對于有些問題非常有幫助，但是算法的實現比較困難，需慎重使用。
7．網格算法和窮舉法
網格算法和窮舉法都是暴力搜索最優點的算法，在很多競賽題中有應用，當重點討論模型本身而輕視算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級語言作為編程工具。
8．一些連續離散化方法
很多問題都是實際來的，數據可以是連續的，而計算機只認的是離散的數據，因此將其離散化后進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的。
9．數值分析算法
如果在比賽中采用高級語言進行編程的話，那一些數值分析中常用的算法比如方程組求解、矩陣運算、函數積分等算法就需要額外編寫庫函數進行調用。
10．圖象處理算法
賽題中有一類問題與圖形有關，即使與圖形無關，論文中也應該要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用Matlab進行處理。
二、數學軟件的主要分類有哪些？各有什么特點？
數學軟件從功能上分類可以分為通用數學軟件包和專業數學軟件包，通用數學包功能比較完備，包括各種數學、數值計算、豐富的數學函數、特殊函數、繪圖函數、用戶圖形屆面交互功能，與其他軟件和語言的接口及龐大的外掛函數庫機制（工具箱）。
常見的通用數學軟件包包括Matlab和Mathematica和Maple，其中Matlab是一個高性能的科技計算軟件，廣泛應用于數學計算、建模、仿真和數據分析處理及工程作圖，Mathematica 是數值和符號計算的代表性軟件，Maple以符號運算、公式推導見長。
專用數學包包括繪圖軟件類MathCAD，Tecplot，IDL，Surfer，Origin, SmartDraw,DSP2000），數值計算類：（Matcom， IDL， DataFit，S-Spline，Lindo，Lingo，O-Matrix，Scilab，Octave）, 數值計算庫（linpack/lapack/BLAS/GERMS/IMSL/CXML）, 有限元計算類（ANSYS，MARC，PARSTRAN，FLUENT，FEMLAB，FlexPDE，Algor，COSMOS, ABAQUS，ADINA），計算化學類（Gaussian98，Spartan，ADF2000，ChemOffice），數理統計類（GAUSS，SPSS，SAS， Splus，statistica，minitab）, 數學公式排版類（MathType，MikTeX，Scientific Workplace，Scientific Nootbook）。
三、關于數模競賽的幾本好書
▲ 姜啟源，《數學模型（第二版）》，高等教育出版社
▲ 姜啟源、謝金星、葉俊《數學建模（第三版）》，高等教育出版社
▲ 蕭樹鐵等，《數學實驗》，高等教育出版社
▲ 朱道元，《數學建模案例精選》，科學出版社
▲ 雷功炎，《數學模型講義》，北京大學出版社
▲ 葉其孝等，《大學生數學建模競賽輔導教材（一）~（四）》，湖南教育出版社
▲ 江裕釗、辛培清，《數學模型與計算機模擬》，電子科技大學出版社
▲ 楊啟帆、邊馥萍，《數學模型》，浙江大學出版社
▲ 趙靜等，《數學建模與數學實驗》，高等教育出版社，施普林格出版社
四、基礎學科
1．數學分析
2．高等代數
3．概率與數理統計
4．最優化理論
5．圖論
6．組合數學
7．微分方程穩定性分析
8．排隊論
五、常用網站和ftp
▲?http://mcm.edu.cn/??全國大學生數模競賽官方網站
▲?http://www.shumo.org??中國數學建模網站
▲?http://mcm.ustc.edu.cn??中科大數模網站
▲?http://www.css.zju.edu.cn/mmb/index.php??浙江大學數模網
▲?http://www.hit.edu.cn/hmcm??哈工大數模網站
▲?http://bbs.dartmouth.edu/~fangq/wiki/?MathTools_FAQ??數學工具FAQ
▲?ftp://youngcow.net/Public/Document/Science/matlab/
▲?ftp://202.198.71.195
▲?ftp://166.111.8.229
▲?ftp://166.111.30.174
▲?ftp://166.111.68.183
▲?ftp://166.111.158.102
▲?ftp://166.111.163.248:40021
▲?ftp://166.111.172.77
六、歷年試題
1．MCM（美國大學生數學建模競賽）
1985 A題 動物群體管理
1985 B題 戰略物資存儲管理
1986 A題 水道測量數據
1986 B題 應急設施的位置
1987 A題 鹽的貯存
1987 B題 停車場
1988 A題 確定走私船的位置
1988 B題 兩輛鐵路平板車的裝貨問題
1989 A題 蠓的分類
1989 B題 飛機排隊
1990 A題 藥物在大腦中的分布
1990 B題 掃雪問題
1991 A題 估計水箱的流水量
1991 B題 最小費用極小生成樹
1992 A題 航空控制雷達的功率
1992 B題 應急電力修復系統
1993 A題 加速餐廳剩菜堆肥的生成
1993 B題 倒煤臺的操作方案
1994 A題 建筑費用
1994 B題 計算機傳輸
1995 A題 單螺旋線
1995 B題 教師薪金分配
1996 A題 海底探測
1996 B題 競賽論文的評定
1997 A題 疾走龍屬問題
1997 B題 開會決策
1998 A題 MRI掃描儀
1998 B題 學生等級劃分
1999 A題 小型星撞擊
1999 B題 非法集會
1999 C題 大地污染
2000 A題 空中交通控制
2000 C題 大象的數量
2002 A題 風和噴水池
2002 B題 航空公司超員訂票
2003 A題 特技人員
2003 B題 GAMMA刀治療計劃
2004 A題 指紋是獨一無二的嗎？
2004 B題 更快的快通系統
2．CUMCM（全國大學生數學建模競賽）
1993年A題 非線性交調的頻率設計
1993年B題 球隊排名問題
1994年A題 逢山開路
1994年B題 鎖具裝箱
1995年A題 一個飛行管理模型
1995年B題 天車與冶煉爐的作業調度
1996年A題 最優捕魚策略
1996年B題 節水洗衣機
1997年A題 零件的參數設計
1997年B題 截斷切割
1998年A題 投資的收益和風險
1998年B題 災情巡視路線
1999年A題 自動化車床管理
1999年B題 鉆井布局
2000年A題 DNA序列分類
2000年B題 鋼管定購和運輸
2001年A題 血管的三維重建
2001年B題 公交車調度
2002年A題 車燈線光源的優化設計
2002年B題 彩票中的數學
2003年A題 SARS的傳播
2003年B題 露天礦生產的車輛安排
2004年A題 奧運會臨時超市網點設計
2004年B題 電力市場的輸電阻塞管理
總結
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