第一章 復數與復變函數

㈠復數表示：

①背景：實數領域中，乘冪運算是不完備的，因為負數導致了乘冪失效。②定義：將形如z=x+iy的數稱為復數，i為虛數單位。
* 規定：
* 實部與虛部：實數x與y分別稱為z的實部與虛部。記為
* 特別有：當y=0，則為實數x；當x=0，則為純虛數iy
* 復數相等：復數z1與z2的實部與虛部均相等，則相等。但復數不能比較大小！

③復數的形式：表示記為備注代數式注意復數相等的條件三角式r為復數的模|z|，幅角Argz，主值角argz0的模為0，幅角不確定指數式實數是復數的真子集，復數擴充了數域復數可以理解為平面上的點或者矢量，這個平面就是復平面。因為點是無序的所以不能比較大小虛數單位的增量iΔy代數式轉化為三角時，可以判斷原來(x,y)在第幾象限來確定θ在[-π,π]的哪個區間④共軛復數：⑴定義：實數相同，虛部相反的復數⑵性質：注意復數模的定義是與共軛聯系在了一起，而不是乘法。因為要保證模大于0。㈡復數運算：
①加減：

*

幾何意義：

②乘法：三角與指數下更方便計算

*

幾何意義：逆時針旋轉，模放大縮小

③除法：除法可以看成是實數化分母的過程

*

幾何意義：順時針旋轉，模放大縮小

④乘冪：

*

若n為正整數：
*
若n為負整數：定義則

⑤方根：，由于幅角的不確定性會有n個根出現

*

幾何意義：，以模的方根為半徑的圓的內接n邊形

㈢無窮遠點與復球面
①無窮遠點：這是復數中的一個點而不僅僅是微積分的符號。加上了它的復數平面稱為擴充復平面或全平面。
②復球面：

㈣平面點集：描述平面中點的集合論
①鄰域：平面上以z0為中心，半徑δ的圓表示為，稱為z0的領域，記為

*

去心鄰域

②內點：若z0的鄰域內均為區域G的點，稱z0為內點

*

開集：全為內點，不含邊界即可
*
閉集：平面內不含G的內點的區域，或者說是G的補集

③邊界點：若點z0既有G的點又有G的補集的點，稱z0為邊界點

*

邊界線：所有邊界點的集合

④區域：

*

條件：1.全為內點；2,連通
*
注意：區域不是閉區域，閉區域含有邊界！

㈣曲線：將z和復常數看作點容易勾勒出曲線
①簡單：自身不重合
②閉：圍成區域

㈤復變函數
①復函數定義：設有一復數幾何G，若存在確定法則，對于G中每一個復數z，按照此法則，確定一個或多個復數w與其對應，則稱w為z的函數。

*

柯西看法(z)：
*
黎曼看法(u,v)：
*
注：如何將含xy的式子或函數化成z的式子？——和

②映射：就像微積分的圖像一樣便于理解，只不過現在是平面對平面的投影

③極限：，記為

*

類比二元函數的極限，這里極限值不會以z—>z0的方式改變

④連續：，只需要考察uv在該點連續性即可
只考察u,v連續即可，換句話說，只用單單考察u的三位一體

總結

以上是生活随笔為你收集整理的第一章 复数与复变函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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