實變函數(shù)論文

實變函數(shù)論文(設(shè)計)

題目： 各角度討論逼近思想在實變

課程中的應(yīng)用

學(xué)院： 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院

班級： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)五班

姓名： 王 凱

指導(dǎo)教師： 崔亞瓊

完成日期： 2015 年 1 月 3 日

各角度談?wù)摫平枷朐趯嵶冋n程中的應(yīng)用

逼近思想在函數(shù)中的形成

從18世紀(jì)到19世紀(jì)初期，在L.歐拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里葉、J.-V.彭賽列等數(shù)學(xué)家的研究工作中已涉及一些個別的具體函數(shù)的最佳逼近問題。這些問題是從諸如繪圖學(xué)、測地學(xué)、機(jī)械設(shè)計等方面的實際需要中提出的。在當(dāng)時沒有可能形成深刻的概念和統(tǒng)一的方法。切比雪夫提出了最佳逼近概念,研究了逼近函數(shù)類是n次時最佳逼近元的性質(zhì)，建立了能夠據(jù)以判斷多項式為最佳逼近元的特征。他和他的學(xué)生們研究了與零的偏差最小的的問題,得到了許多重要結(jié)果。已知【α,b】區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)?(x),假,(n≥0),叫做?(x)的n階最佳一致逼近值,也簡稱為最佳逼近值，簡記為En(?)。能使極小值實現(xiàn)的多項叫做 ?(x)的n階最佳逼近多項式。切比雪夫證明了,在【-1,1】上函數(shù)xn+1的n階最佳逼近必滿足關(guān)系式。多項就是著名的。切比雪夫還證明了,…+是?(x)在【α,b】上的n 階最佳逼近多項式的充分必要條件是：在【α，b】上存在著n+2個點:α≤x1

在逼近論中系統(tǒng)地闡明函數(shù)的最佳逼近值En(?)(借助于代數(shù)多項式來逼近,或者對2π周期函數(shù)借助于三角多項式來逼近，或借助于有理函數(shù)來逼近等等)的數(shù)列當(dāng)n→∞時的性態(tài)和函數(shù)?(x)的構(gòu)造性質(zhì)(可微性、光滑性、解析性等等)之間內(nèi)在聯(lián)系的理論統(tǒng)稱為定量理論。

杰克森、伯恩斯坦等人的工作對逼近論的發(fā)展所產(chǎn)生的影響是深遠(yuǎn)的。沿著他們開辟的方向繼續(xù)深入，到20世紀(jì)30年代中期出現(xiàn)了J.A.法瓦爾、Α.Η.柯爾莫哥洛夫關(guān)于函數(shù)類借助于的最佳逼近的精確估計以及借助于部分和的一致逼近的漸近精確估計的工作。這兩個工作把從杰克森開始的逼近論的定量研究提高到一個新的水平。從那時起，直到60年代,以С.М.尼科利斯基、Α.И.阿希耶澤爾等人為代表的很多逼近論學(xué)者在定量研究方面繼續(xù)有許多精深的研究工作。

切比雪夫發(fā)現(xiàn)了的最佳逼近的特征，提出了以切比雪夫交錯點組著稱的特征定理。最佳逼近是唯一存在的。最佳逼近多項式的存在性、唯一性及其特征定理都是定性的結(jié)果，對這些問題的深入研究構(gòu)成了逼近論的基本內(nèi)容。匈牙利數(shù)學(xué)家A.哈爾在1918年首先研究了用廣義多項式在【α,b】上對任意連續(xù)函數(shù)?的最佳逼近多項式的唯一性問題。在【α,b】上給定n+1個的連續(xù)函 公式。作為逼近函數(shù)類

公式，式中α0,α1,…,αn是任意參數(shù)。這樣的P(x)稱為廣義。是存在的。哈爾證明,為了對每一連續(xù)函數(shù)?唯一,必須而且只須任一不恒等于零的廣義多項式P(x,α0,α1,…,αn)在【α, b】內(nèi)至多有n個不同的根。在20世紀(jì)20～30年代,伯恩斯坦、М.Γ.克列因等人對滿足哈爾條件的函

公式做過很多深入的研究。它在逼近論、論、分析、矩量論、數(shù)理統(tǒng)計中有著比較廣泛的應(yīng)用。

關(guān)于最佳逼近多項式的切比雪夫特征定理也有很多進(jìn)一步的研究和推廣。其中最重要的一個推廣是柯爾莫哥洛夫在1948年做出的，它涉及復(fù)平面的閉集上的復(fù)值借助于復(fù)值廣義多項式的一致逼近問題。

對于lp【α，b】(1≤p

總結(jié)

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