摘自 楊學(xué)志《通信之道》

著名的歐拉公式：

若$x$為實(shí)數(shù)，則
$$e^{ix}=cosx+isinx$$
歐拉公式將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位。

令$x=\pi$，可以得到
$$e^{i\pi }+1=0$$
它是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個(gè)公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)數(shù)字聯(lián)系到了一起——兩個(gè)超越數(shù)：自然對(duì)數(shù)的低$e$，圓周率$\pi$；兩個(gè)單位：虛數(shù)單位$i$和自然數(shù)的單位1，以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一的0。數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”。

因?yàn)?br /> $$e^z=1+z+\frac{1}{2!}{z}^2+\frac{1}{3!}{z}^3+...$$
令$z=ix$，則
$$e^{i}x=1+ix?\frac{1}{2!}{x}^2?i\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{4!}{x}^4+...$$
而
$$cos(x)=1?\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4?\frac{1}{6!}{x}^6+...$$
$$sin(x)=x?\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5?\frac{1}{7!}{x}^7$$
所以
$$e^{ix}=cosx+isinx$$
歐拉公式所揭示的復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之間的聯(lián)系深刻而充滿美感。如果$z=e^{ix}$，根據(jù)歐拉公式，則有以下明顯的關(guān)系成立：

模：$|z|=\sqrt{co{s}^{2}x+si{n}^{2}x}=1$
幅角：$tan\theta =sinx/cosx=tan(x+2k\pi )$，k為整數(shù)。（幅角可記為$arg(z)=\theta =x+2k\pi$）

對(duì)于任意一個(gè)復(fù)數(shù)$z=x+iy$，其模和幅角分別為$r$和$\theta$，
模：$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$
幅角：$tan\theta =y/x$
那么$z$的模-幅角形式可以寫成
$$z=r{e}^{i\theta }$$

在歐拉公式中，令$x=wt$則
$$e^{iwt}=coswt+isinwt$$
這個(gè)心中成為復(fù)指數(shù)信號(hào)，其實(shí)部為余弦信號(hào)，而虛部為正弦信號(hào)。它可以理解為一個(gè)點(diǎn)在復(fù)平面的單位圓上以角速度$w$逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)。

總結(jié)

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