文章目錄

• 1.1 復數與復變函數
• • 重要公式
  • 冪級數斂散性判別
• 1.2初等復變函數和反函數
• • 指數函數
  • 三角函數
  • 對數函數
  • 冪函數
• 1.3復變函數的導數與解析函數
• • 復變函數導數定義
  • 柯西-黎曼方程
  • 例題

1.1 復數與復變函數

重要公式

歐拉公式： $e^{j\theta }=cos\theta +jsin\theta$
棣摩佛公式： ${(cos\theta +jsin\theta )}^n=[cos(n\theta )+jsin(n\theta )]$

冪級數斂散性判別

達朗貝爾判別法：
設冪級數為$\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n(z?z_0{)}^n$ , 則收斂半徑為$\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{c_n}{c_{n+1}}|$

柯西判定法
設冪級數為$\sum _{n=0}^{\infty }=c_n{(z?z_0)}^n$, 則收斂半價為$[\underset{n\to \infty }{\lim }$$[\sqrt[n]{|c_n|}{]}^{?1}$

1.2初等復變函數和反函數

指數函數

與實變量指數函數相類似

三角函數

cos z = $\frac{1}{2}(e^{jz}+e^{?jz})$
sin z = $\frac{1}{2j}(e^{jz}?e^{?jz})$

cosh z = $\frac{1}{2}(e^z+e^{?z})$
sinh z = $\frac{1}{2}(e^z?e^{?z})$

對數函數

• $z=Ln\omega =x+jy=ln|\omega |+jArg\omega$
• $Lnz=ln|Z|+jargz$

冪函數

$z^a=e^{aLnz}$
$P.V.z^a=e^{alnz}$

1.3復變函數的導數與解析函數

復變函數導數定義

$$f^{{}^{\prime }}(z_0)=\frac{df}{dz}{|}_{z=z_0}=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+\Delta z)?f(z_0)}{\Delta z}$$

柯西-黎曼方程

$$\frac{?u}{?x}=\frac{?v}{?y}$$
$$\frac{?u}{?y}=?\frac{?u}{?x}$$

例題

討論下列復變函數的導數并且判斷是否為解析函數
(1) $e^z$
解：
① $e^z=e^{x+y}=e^{x}cosy+j{e}^{x}siny$ …………將$f(z)$表示成$u+jv$型
②$\frac{?u}{?x}=e^{x}cosy,\frac{?v}{?y}=e^{x}cosy$ …………CR方程判定

③$f^{{}^{\prime }}(x)=\frac{?u}{?x}+j\frac{?v}{?y}=sinxcoshy+jsinhycosx$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的复变函数引论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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