引言

　　【比較官方的簡介】數理統計學是一門以概率論為基礎，應用性很強的學科。它研究怎樣以有效的方式收集、 整理和分析帶有隨機性的數據，以便對所考察的問題作出正確的推斷和預測，為采取正確的決策和行動提供依據和建議。數理統計不同于一般的資料統計，它更側重于應用隨機現象本身的規律性進行資料的收集、整理和分析。

　　【簡單的講】，就是通過樣本分析來推斷整體。

　　【意義或者重要性】在這個大數據時代，數據是非常重要的。怎樣挖掘數據內部的規律或者隱含的信息，變得尤為重要。當時我們是不可能獲得整體的數據的，所以我們只能通過抽取樣本，進而通過樣本來推斷整體的規律。

　　【目錄】

　　第一章、樣本與統計量

　　　　一、引言：

　　　　二、總體與樣本：

　　　　三、統計量：

　　　　四、常用分布：

　　第二章、參數估計

　　　　一、引言：

　　　　二、點估計——矩估計法：

　　　　三、點估計——極大似然估計：

　　　　四、估計量的優良性準則

　　　　五、區間估計——正態分布

　　　　　　1、引入

　　　　　　2、單個正態總體參數的區間估計

　　　　　　3、兩個正態總體的區間估計

　　　　六、區間估計——非正態分布：

　　　　　　1、大樣本正態近似法

　　　　　　2、二項分布

　　　　　　3、泊松分布

　　第三章、假設檢驗

　　　　一、引言：

　　　　二、正態總體均值的假設檢驗

　　　　　　1、單正態總體 N(μ, σ²)均值 μ?的檢驗

　　　　　　　　（1） 雙邊檢驗 H₀: μ = μ₀；H₁: μ≠μ₀?

　　　　　　　　（2） 單邊檢驗 H₀: μ = μ₀；H₁: μ>μ₀

　　　　　　2、兩個正態總體 N(μ₁, σ₁²) 和? N(μ₂, σ₂²)均值的比較

　　　　　　　　（1） 雙邊檢驗 H₀:?μ₁?=?μ₂；H₁:?μ₁≠μ₂?

?　　　　　　 ?　（2） 單邊檢驗 H₀:?μ₁?>=?μ₂；H₁:?μ₁<μ₂?

　　　　　　　　（3） 單邊檢驗 H₀:?μ₁?<=?μ₂；H₁:?μ₁>μ₂?

　　　　三、正態總體方差的檢驗

　　　　　　1、單個正態總體方差的?χ2 檢驗

　　　　　　　　（1） H₀: σ²?=σ₀²；H₁: σ²?≠σ₀²

　　　　　　　　（2） H₀: σ²?=σ₀²；H₁: σ²?>σ₀²

　　　　　　　　（3)? H₀:?σ²?≤σ₀²；H₁:?σ²?>?σ₀²?(同2.)

　　　　　　2、兩正態總體方差比的?F 檢驗

　　　　　　　　　(1).? H₀: σ₁²?=?σ₂²；H₁: σ₁²?≠ ?σ₂².

　　　　　　　　?（2） H₀: σ₁²?=?σ₂²；H₁:?? ?σ₁²>?σ₂²

　　　　　　　　?（3） H₀: σ₁²?≤?σ₂²；H₁:?? ?σ₁²>?σ₂²

?　　第四章、回歸分析

　　　　一、引言

二、一元線性回歸 1、一元線性回歸模型 　　　　　　2、回歸系數的最小二乘估計： 　　　　　　3、回歸方程的顯著性檢驗 　　　　　　　　（1）F 檢驗 　　　　　　　　（2）T?檢驗 　　　　 ?　　　?（3）相關系數檢驗

　　　　　　4、估計與預測

　　　　　　　　（1）?E(y₀)的估計

　　　　　　　　（2）?y₀的預測區間

?　　　　三、廣義線性回歸模型

?

　　　　 四、非線性回歸模型

?

?

第四章、回歸分析

　　一、引言：

　　變量間的兩類關系：十九世紀，英國生物學家兼統計學家高爾頓研究發現：

? ? ?其中x表示父親身高， y 表示成年兒子的身高（單位：英寸，1英寸=2.54厘米）。這表明子代的平均高度有向中心回歸的意思，使得一段時間內人的身高相對穩定。之后回歸分析的思想滲透到了數理統計的其它分支中。

? 回歸分析處理的是變量與變量間的關系。變量間常見的關系有兩類：確定性關系與相關關系。 ? 變量間的相關關系不能用完全確切的函數形式表示，但在平均意義下有一定的定量關系表達式，尋找這種定量關系表達式就是回歸分析的主要任務。 ? 回歸分析便是研究變量間相關關系的一門學科。它通過對客觀事物中變量的大量觀察或試驗獲得的數據，去尋找隱藏在數據背后的相關關系，給出它們的表達形式——回歸函數的估計。 二、一元線性回歸 1、一元線性回歸模型

　　設y與x間有相關關系，稱x為自變量(預報變量)，y為因變量(響應變量)，在知道x取值后，y有一個分布p(y|x)，我們關心的是y的均值E(Y|x)：

　　　　

　　這便是y關于x的理論回歸函數——條件期望，也就是我們要尋找的相關關系的表達式。通常，相關關系可用下式表示：y =f (x)+?ε，其中ε是隨機誤差，一般假設ε ~N(0,σ²)。

　　進行回歸分析首先是回歸函數形式的選擇。當只有一個自變量時，通常可采用畫散點圖 的方法進行選擇。

　　【例1】合金的強度y (×10⁷Pa) 與合金中碳的含量x (%) 有關。為研究兩個變量間的關系。首先是收集數據，我們把收集到的數據記為(x_i,y_i) ,i=1,2, ... , n。本例中，我們收集到12組數據，列于表1中

　　　　

　　為找出兩個量間存在的回歸函數的形式，可以畫一張圖：把每一對數(x_i,y_i)看成直角坐標系中的一個點，在圖上畫出n個點，稱這張圖為散點圖，見圖1

　　　　

　　從散點圖我們發現12個點基本在一條直線附近，這說明兩個變量之間有一個線性相關關系，這個相關關系可以表示為

??????????????????????? y =Β₀+ Β₁x+ ε? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)

??? 這便是y關于x的一元線性回歸的數據結構式。通常假定

??????????????????????? E(ε) =0,? Var(ε) = σ^2???????????????????????????????????????????????????? ?(3)

??? 在對未知參數作區間估計或假設檢驗時，還需要假定誤差服從正態分布，即

??????????????????????? y ~N(Β₀+?Β₁x?, σ²?)???????????????????????????????? (4)

　　顯然，假定(4) 比 (3) 要強。

　　由于 Β₀, Β₁均未知，需要我們從收集到的數據(x_i,y_i)，i=1,2,…,n，出發進行估計。在收集數據時，我們一般要求觀察獨立地進行，即假定y₁, y₂,…, y_n,相互獨立。綜合上述諸項假定，我們可以給出最簡單、常用的一元線性回歸的數學模型：

　　　　

　　由數據(x_i,y_i)，i=1,2,…,n，可以獲得Β₀, Β₁的估計 ，稱

　　　　

　　為y關于x的經驗回歸函數，簡稱為回歸方程，其圖形稱為回歸直線。給定x=x₀后，?稱為回歸值（在不同場合也稱其為擬合值、預測值）。

　　2、回歸系數的最小二乘估計：

　　　　

　　　　

　　　　

　　【例2】使用例1中合金鋼強度和碳含量數據，我們可求得回歸方程，見下表.

　　　　

　　【性質】關于最小二乘估計的一些性質羅列在如下定理之中

　　　　

　　　　

　　【證明】定理1證明如下：

　　

　　

　　

?　　3、回歸方程的顯著性檢驗

　　在使用回歸方程作進一步的分析以前，首先應對回歸方程是否有意義進行判斷。如果Β₁=0，那么不管x如何變化，E(y)不隨x的變化作線性變化，那么這時求得的一元線性回歸方程就沒有意義，稱回歸方程不顯著。如果Β₁≠0，E(y)隨x的變化作線性變化，稱回歸方程是顯著的。

??? 綜上，對回歸方程是否有意義作判斷就是要作如下的顯著性檢驗：H₀：Β₁=0????? vs????? H₁： Β₁≠0 ?。拒絕H₀表示回歸方程是顯著的。

　　在一元線性回歸中有三種等價的檢驗方法，下面分別加以介紹。

　　（1）F 檢驗:采用方差分析的思想，我們從數據出發研究各y_i不同的原因。

　　

?

　　【證明】公式（13）證明如下：

　　

　　【推論】

　　

?

?　　關于S_R 和 S_e所含有的成分可由如下定理說明

　　

　　進一步，有關SR 和 Se的分布，有如下定理。

　　

　　如同方差分析那樣，我們可以考慮采用F比作為檢驗統計量：

　　

　　【例3】在合金鋼強度的例2中，我們已求出了回歸方程，這里我們考慮關于回歸方程的顯著性檢驗。

　　

?

　　（2）T?檢驗：

　　對H₀ ： Β₁ =0的檢驗也可基于t分布進行。

　　

　　

　　

　　（3）相關系數檢驗

　　一元線性回歸方程是反映兩個隨機變量x與y間的線性相關關系，它的顯著性檢驗還可通過對二維總體相關系數r的檢驗進行。（相關系數的概念可見【第一章------>三、統計量】）

　　

　　

　　

　　【總結】在一元線性回歸場合，三種檢驗方法是等價的：在相同的顯著性水平下，要么都拒絕原假設，要么都接受原假設，不會產生矛盾。? F 檢驗可以很容易推廣到多元回歸分析場合，而其他二個則否，所以，F檢驗是最常用的關于回歸方程顯著性檢驗的檢驗方法。

?　　4、估計與預測：

　　當回歸方程經過檢驗是顯著的后，可用來做估計和預測。這是二個不同的問題：

　　

　　（1）?E(y₀)的估計

　　在x=x₀時，其對應的因變量y₀是一個隨機變量，有一個分布，我們經常需要對該分布的均值給出估計。

　　

　　

　　

　　（2） y₀的預測區間

　　

　　【詳細過程】

　　

　　

　　

　　

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?　　三、廣義線性回歸模型

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　　 四、非線性回歸模型

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轉載于:https://www.cnblogs.com/mo-wang/p/4988754.html

總結

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