復變函數與積分變換

• 第一章：復數與復變函數
• • 復數
  • • • 復數的基本概念
      • 復數的四則運算
      • 復平面
  • 復數的三角表示
  • • • 復數的模與輻角
      • 復數模的三角不等式
      • 復數的三角表示
      • 復數的三角表示作乘除法
      • 復數的乘方與開方
  • 平面點集
  • • • 開集與閉集
      • 區域
      • 平面曲線
  • 無窮大與復球面
  • 復變函數
  • • • 概念
      • 復變函數的極限與連續性
      • 連續
  • 小結
• 第二章：解析函數
• • 解析函數的概念
  • • • 復變函數的導數
      • 解析函數的概念與求導法則
      • 柯西-黎曼方程（C-R方程）
  • 解析函數與調和函數的關系
  • • • 調和函數的概念
      • 共軛函數函數
  • 初等函數
• 第三章：復變函數的積分
• • 復積分的概念
  • • • 復積分的定義
      • 復積分的基本性質
      • 復積分的計算
  • 柯西積分定理
  • • • 柯西基本定理
      • 閉路變形定理
      • 復合閉路定理
      • 路徑無關性
      • 原函數
  • 柯西積分公式
  • • • 柯西積分公式
  • 解析函數的高階導數
  • • • 高階導數定理
• 第四章：解析函數的級數表示
• • 復數項級數
  • • • 復數序列
      • 復數項級數
  • 復變函數項級數
  • • • 基本概念
      • 冪級數
      • 冪級數的性質
  • 泰勒級數
  • • • 泰勒定理
      • 將函數展開為泰勒級數的方法
  • 洛朗級數
  • • • 含有負冪次項的“冪級數”
      • 洛朗定理
      • 將函數展開為洛朗級數的方法
• 第五章：留數及其應用
• • 孤立奇點
  • • • 引言
      • 零點
      • 孤立奇點
      • 孤立奇點的分類
      • 如何進行孤立奇點的分類
      • 如何判斷極點的階數
  • 留數
  • • • 留數的概念
      • 留數的計算方法
      • 留數定理
• 第八章：傅里葉變換
• • 傅里葉變換的概念
  • • • 非周期函數的傅里葉變換
  • 單位沖激函數
  • • • 為什么要引入單位沖激函數
      • 單位沖激函數的概念及性質
      • 單位沖激函數的傅里葉變換
      • 周期函數的傅里葉變換
  • 傅里葉變換的性質
  • • • 基本性質
      • 卷積與卷積定理

第一章：復數與復變函數

復數

復數的基本概念

復數：z=x+iy （x,y是任意實數，稱為實部和虛部）
Re z = x, Im z = y.
實數：z=x
純虛數：z=iy
相等：當且僅當x1=x2且y1=y2
共軛復數：$\overline{z}$=x-iy

復數的四則運算

加法：$z_1$-$z_2$=($x_1$-$x_2$)+i($y_1$+$y_2$)
乘法：$z_1$*$z_2$=（$x_1$$x_2$-$y_1$$y_2$)+i($x_1$$y_2$+$x_2$$y_1$)
分母有理化：$\frac{z_1}{z_2}$=$\frac{z_1\overline{z_2}}{z_2\overline{z_2}}$
共軛復數運算性質：
$\overline{z_1+z_2}$=$\overline{z_1}$ + $\overline{z_2}$

$\overline{z_1?z_2}$=$\overline{z_1}$ * $\overline{z_2}$

$\overline{\frac{z_1}{z_2}}$=$\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$($\overline{z_2}=0$)

z$\overline{z}$=x²+y²=(Re z)² + (Im z)²

Re z=$\frac{1}{2}$(z+$\overline{z}$) ，Im z=$\frac{1}{2i}$(z-$\overline{z}$)

例：
設$z_1$,$z_2$是任意兩個復數，求證：2Re($z_1$$\overline{z_2}$)=$z_1$$\overline{z_2}$+$\overline{z_1}{z}_2$
證：
利用公式：Re z=$\frac{1}{2}$(z+$\overline{z}$)
2Re($z_1$$\overline{z_2}$)=$z_1$$\overline{z_2}$+$\overline{z_1\overline{z_2}}$

復平面

橫軸上的點表示實數，縱軸上的點表示純虛數
一個復數 z=z+iy 與一個有序實數對（x,y) 一 一對應

復數的三角表示

復數的模與輻角

向量的長度（模）：|z|
輻角：Arg z
主輻角：arg z （-π，π】
Arg z=arg z + 2kπ

|z| = |$\overline{z}$|
arg $\overline{z}$ = -arg z
|z|² = z$\overline{z}$

$argz?\begin{array}{ll}arctan\frac{y}{x},& 第一四象限\\ arctan\frac{y}{x}+\pi & 第二象限\\ arctan\frac{y}{x}?\pi & 第三象限\end{array}$

復數模的三角不等式

||$z_1$| - |$z_2$|| $\le$ |$z_1$ - $z_2$| $\le$ |$z_1$| + |$z_2$|
||$z_1$| - |$z_2$|| $\le$ |$z_1$ + $z_2$| $\le$ |$z_1$| + |$z_2$|

證：
|$z_1$ + $z_2$|²
= ($z_1$ + $z_2$)($\overline{z_1}$ + $\overline{z_2}$)
=$z_1$$\overline{z_1}$ + $z_2$$\overline{z_2}$ + $z_1$$\overline{z_2}$ + $z_2$$\overline{z_1}$
=|$z_1$|² + |$z_2$|² + 2Re($z_1$$\overline{z_2}$)
又因為
| Re($z_1$$\overline{z_2}$) | $\le$ | $z_1$$\overline{z_2}$ |=|$z_1$||$\overline{z_2}$|=|$z_1$||$z_2$|
所以
|$z_1$ + $z_2$|² $\le$ |$z_1$|² + |$z_2$|² + 2|$z_1$||$z_2$|=(|$z_1$| + |$z_2$|)²
以及
|$z_1$ + $z_2$|² $\ge$ |$z_1$|² + |$z_2$|² - 2|$z_1$||$z_2$|=(|$z_1$| - |$z_2$||²

復數的三角表示

z = r(cosθ + i sinθ)
r=|z| , θ=Arg z;

例：設z = r(cosθ + i sinθ).求$\frac{1}{z}$的三角表示
解：
$\frac{1}{z}$=$\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}$
|z| = r, $\overline{z}$=r(cosθ - i sinθ)
$\frac{1}{z}$=$\frac{1}{r}$(cosθ - i sinθ)=$\frac{1}{r}$[cos(-θ) + i sin(-θ)]

復數的三角表示作乘除法

$z_1$$z_2$ = $r_1$$r_2$[cos$({\theta }_1+{\theta }_2)$ + sin$({\theta }_1+{\theta }_2)$]
|$z_1$$z_2$|=$r_1$$r_2$=|$z_1$||$z_2$|
Arg($z_1$*$z_2$) = ${\theta }_1+{\theta }_2$ +2kπ = Arg $z_1$ +Arg $z_2$

$\frac{z_1}{z_2}$=$\frac{r_1}{r_2}$[cos$({\theta }_1?{\theta }_2)$ + sin$({\theta }_1?{\theta }_2)$]
|$\frac{z_1}{z_2}$|=$\frac{|z_1|}{|z_2|}$
Arg$\frac{z_1}{z_2}$= Arg $z_1$ - Arg $z_2$

arctanx + arctan$\frac{1}{x}$ = $\frac{\pi }{2}$
arctanx是奇函數

復數的乘方與開方

z²= r²(cosnθ + i sinnθ)
棣莫弗公式：(cosθ + i sinθ)² = (cosnθ + i sinnθ)

wⁿ=z
w=$r^{\frac{1}{n}}$[cos($\frac{1}{n}$(θ+2kπ)) + i (cos($\frac{1}{n}$(θ+2kπ))]
任意一個不為0的復數開n次方有n個值（根），在復平面上這n個點形成一個以原點為中心的正n邊形的頂點，它們同原點的距離為$|z{|}^{\frac{1}{n}}$, 其中一個點的輻角是$\frac{1}{n}$arg z

例：求解方程z³-2=0;
解：
z³=2
z=$2^{\frac{1}{3}}$
z=$[2(cos0+isin0){]}^{\frac{1}{3}}$=$\sqrt[3]{2}$(cos$\frac{2k\pi }{3}$ + i sin$\frac{2k\pi }{3}$)
k=0,1,2,其他情況重復
所以方程有三個解$\sqrt[3]{2}$，$\sqrt[3]{2}$（-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}i}{2}$),$\sqrt[3]{2}$（-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}i}{2}$)

平面點集

開集與閉集

鄰域

區域

平面曲線

1、方程式

2、參數式

曲線的分類

無窮大與復球面

復變函數

概念

復變函數的極限與連續性

極限存在的充要條件

連續

小結

第二章：解析函數

解析函數的概念

復變函數的導數

解析函數的概念與求導法則

柯西-黎曼方程（C-R方程）

解析函數與調和函數的關系

調和函數的概念

共軛函數函數

初等函數

第三章：復變函數的積分

復積分的概念

復積分的定義

復積分的基本性質

復積分的計算

柯西積分定理

柯西基本定理

閉路變形定理

復合閉路定理

路徑無關性

原函數

柯西積分公式

柯西積分公式

解析函數的高階導數

高階導數定理

第四章：解析函數的級數表示

復數項級數

復數序列

復數項級數

復變函數項級數

基本概念

冪級數

冪級數的性質

泰勒級數

泰勒定理

將函數展開為泰勒級數的方法

洛朗級數

含有負冪次項的“冪級數”

洛朗定理

將函數展開為洛朗級數的方法

第五章：留數及其應用

孤立奇點

引言

零點

孤立奇點

孤立奇點的分類

如何進行孤立奇點的分類

如何判斷極點的階數

留數

留數的概念

留數的計算方法

留數定理

第八章：傅里葉變換

傅里葉變換的概念

非周期函數的傅里葉變換

單位沖激函數

為什么要引入單位沖激函數

單位沖激函數的概念及性質

單位沖激函數的傅里葉變換

周期函數的傅里葉變換

傅里葉變換的性質

基本性質

卷積與卷積定理

總結

以上是生活随笔為你收集整理的复变函数与积分变换小结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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