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2012-11-27 回答

以復數作為自變量的函數就叫做復變函數，而與之相關的理論就是復變函數論。解析函數是復變函數中一類具有解析性質的函數，復變函數論主要就研究復數域上的解析函數，因此通常也稱復變函數論為解析函數論。

復變函數論主要包括單值解析函數理論、黎曼曲面理論、幾何函數論、留數理論、廣義解析函數等方面的內容。

如果當函數的變量取某一定值的時候，函數就有一個唯一確定的值，那么這個函數解就叫做單值解析函數，多項式就是這樣的函數。

復變函數也研究多值函數，黎曼曲面理論是研究多值函數的主要工具。由許多層面安放在一起而構成的一種曲面叫做黎曼曲面。利用這種曲面，可以使多值函數的單值枝和枝點概念在幾何上有非常直觀的表示和說明。對于某一個多值函數，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函數在黎曼曲面上就變成單值函數。

黎曼曲面理論是復變函數域和幾何間的一座橋梁，能夠使我們把比較深奧的函數的解析性質和幾何聯系起來。近來，關于黎曼曲面的研究還對另一門數學分支拓撲學有比較大的影響，逐漸地趨向于討論它的拓撲性質。

復變函數論中用幾何方法來說明、解決問題的內容，一般叫做幾何函數論，復變函數可以通過共形映象理論為它的性質提供幾何說明。導數處處不是零的解析函數所實現的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角變換。共形映象在流體力學、空氣動力學、彈性理論、靜電場 、電路理論等方面都得到了廣泛的應用。

留數理論是復變函數論中一個重要的理論。留數也叫做殘數，它的定義比較復雜。應用留數理論對于復變函數積分的計算比起線積分計算方便。計算實變函數定積分，可以化為復變函數沿閉回路曲線的積分后，再用留數基本定理化為被積分函數在閉合回路曲線內部孤立奇點上求留數的計算，當奇點是極點的時候，計算更加簡潔。

把單值解析函數的一些條件適當地改變和補充，以滿足實際研究工作的需要，這種經過改變的解析函數叫做廣義解析函數。廣義解析函數所代表的幾何圖形的變化叫做擬保角變換。解析函數的一些基本性質，只要稍加改變后，同樣適用于廣義解析函數。

廣義解析函數的應用范圍很廣泛，不但應用在流體力學的研究方面，而且象薄殼理論這樣的固體力學部門也在應用。因此，近年來這方面的理論發展十分迅速。

從柯西算起，復變函數論已有170多年的歷史了。它以其完美的理論與精湛的技巧成為數學的一個重要組成部分。它曾經推動過一些學科的發展，并且常常作為一個有力的工具被應用在實際問題中，它的基礎內容已成為理工科很多專業的必修課程。現在，復變函數論中仍然有不少尚待研究的課題，所以它將繼續向前發展，并將取得更多應用。

總結

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