錯誤

可以看到, 茆詩松等《高等數理統計（第二版）》例 1.28 中, 統計量 $T_n$ 對應的原結構分布族并不是正態分布族 $\{N(0,{\sigma }^2),\sigma \in R^{+}\}$, 而是重復抽樣結構的分布族 $\{N(0,{\sigma }^2),\sigma \in R^{+}{\}}^n$, 所以 $\{N(0,{\sigma }^2),\sigma \in R^{+}\}$ 是否完備與 $T_n$ 是否為完備統計量沒有關系.
例如，茆詩松等《高等數理統計（第二版）》例 1.26 證明了 $\{N(\mu ,1),\mu \in R\}$ 是完備的，但是對取自正態總體 $N(\mu ,1)$ 的一個樣本 $X_1,?,X_n$, 我們不能由此直接得出任意形式的統計量 $T_n=T_n(X_1,?,X_n)$ 都是完備統計量，因為 $T_n=T_n(X_1,?,X_n)$ 對應的原結構分布族是 $\{N(\mu ,1),\mu \in R{\}}^n$, 并由韋博成《參數統計教程》例 2.2.6 知重復抽樣結構都是不完備的, 此時要說明統計量是否完備, 只能證明統計量誘導結構是否完備, 而無法通過原結構的完備性導出統計量的完備性.

改正

要說明 “誘導結構是完備的, 而原結構是不完備的” 這種情況可能發生, 更恰到的例子應該如韋博成《參數統計教程》例 2.2.7 或例 2.2.8, 即我們可以對茆詩松等《高等數理統計（第二版）》例 1.28 作如下兩種修改:
（1）僅將統計量改為 $T=T(X)=X^2$, 其中 $X$ 是取自正態總體 $N(0,{\sigma }^2)$ 的一個樣本量為 1 的樣本;

（2）把 $\{N(0,{\sigma }^2),\sigma \in R^{+}\}$ 不完備改為重復抽樣結構的分布族 $\{N(0,{\sigma }^2),\sigma \in R^{+}{\}}^n$ 不完備, 統計量不變.

上述兩種改正方案選其一即可說明誘導結構是完備的, 而原結構可能是不完備的.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的茆诗松等《高等数理统计（第二版）》例 1.28 的错误及改正的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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