復變函數，是指以復數作為自變量和因變量的函數 ，而與之相關的理論就是復變函數論。是高數的一種進階，更奇特有趣。復變函數一般用$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$表示，自變量$z=x+iy$。

如果函數$f(z)$在$z_0$點及$z_0$點的某個鄰域內處處可導，那么稱$f(z)$在$z_0$點解析。
如果f(z)在區域$D$內每一點解析，那么稱$f(z)$在$D$內解析，或稱$f(z)$是$D$內的一個解析函數，并把$D$稱為$f(z)$的解析區域。函數在一點可導，不一定在該點處解析(必須是這個點的環繞區域都可導)(解析看來是一個面概念，就叫面可導吧)。

如果函數$f(z)$在點$z_0$處不解析，但在點$z_0$的每一鄰域內，總有若干個點使$f(z)$解析，則$z_0$稱為$f(z)$的奇點。$z_0$附近都是處處解析的，則稱其為孤立奇點。例如$f(z)=\frac{1}{z}$的$z=0$點。$z_0$附近都是處處解析的，則稱其為孤立奇點。但是可以在這個點展開成洛朗級數，如果其負冪項均為零，則稱為可去奇點。若負冪項有限，則稱為m階奇點。

函數解析的方程實質就是：$$\underset{\Delta \to 0}{\lim }\frac{\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}=f^{\prime }(z)$$

令$\Delta y=0,\Delta x\to 0$變為沿平行實軸的方向趨向于點$z$，此時有：$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta u}{\Delta x}+i\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta v}{\Delta x}=f^{\prime }(z)$$$$\frac{\delta u}{\delta x}+i\frac{\delta v}{\delta x}=f^{\prime }(z)$$同理有：$$?i\frac{\delta u}{\delta y}+\frac{\delta v}{\delta y}=f^{\prime }(z)$$，一一對應，就有柯西-黎曼方程/柯西-黎曼條件(C-R條件，見下)，這是函數解析的必要條件(偏導數存在只是一條線存在，函數解析是從四面八方都存在)：
$$\frac{?u}{?x}=\frac{?v}{?y},\frac{?u}{?y}=?\frac{?v}{?x}$$

這個方程僅僅是從兩條軸進去的。復變函數解析不僅滿足$C?R$方程而且還必須是可微分的($u$和$v$具有一階連續偏導數)，這就是函數解析的充要條件。

拉普拉斯方程(連續求偏導所致)：
$$\frac{{?}^{2}u}{?x^2}+\frac{{?}^{2}u}{?y^2}=0,\frac{{?}^{2}v}{?x^2}+\frac{{?}^{2}v}{?y^2}=0$$

凡在區域$D$內具有連續二階偏導數而滿足拉普拉斯方程的二元實函數$u(x,y)$，稱為區域$D$的調和函數，調和函數在每一個球體（球殼）的平均值就是圓心那一點的值。還有很多實用性質。

復變函數的積分

對曲線的積分，不要想著復數，想成二變量就可以了。就是${\int }_{c}f(z)dz$。做法仍然是置換成一個$t$而已。

柯西積分定理，格林公式，實際上跟高數是一樣的。

解析函數在其解析區域有任意階導數。

級數

復數的級數而已。就是${\sum }_{n=1}^{\infty }{z}_n$而已。但其收斂是在一個面上的。冪級數與泰勒級數有關，的確是如此。

洛朗級數是有負冪項的冪級數，是冪級數的擴展而已。也有洛朗展開定理。感覺差不多唉。

留數

留數實際上是在孤立奇點處的閉曲線積分。在定積分計算中有用。
留數也稱殘數，指的是復變函數沿著孤立奇點附近的圍線積分后所剩下的值除以2(pai)i. 所以稱為留數(或殘數).
由于復變函數沿著解析點附近的圍線積分的值為0，不剩下多余的數，而復變函數沿著孤立奇點附近的圍線積分就可能不為0，會剩下非0的值，因此留數(或殘數)就用來衡量復變函數在孤立奇點附近的特性了.
另外，復變函數f(z)在孤立奇點z0的留數(或殘數)也就是復變函數在孤立奇點的Laurent洛朗級數中1/(z-z0)的系數.

保形映射

因為復變函數輸入是復數，輸出也是復數，因此可以看作一個點集到另一個點集的映射。
在這片自變量解析區域中，一條曲線$z=z(t)$，這里$z$是復數，$t$是實數，這條曲線就會有切角，同樣這條曲線會映射到因變量解析區域中，也會有切角，那么：
$$Arg{w}^{\prime }(t_0)=Arg{f}^{\prime }[z(t_0)]+Arg{z}^{\prime }(t_0)$$

蠻神奇的哈，$Arg$自然是角度了，也就是說$w$點處的切向量與$z$切向量的輻角之差總是$Arg{f}^{\prime }(z)$，一個固定值，而與曲線$C$無關。稱$Arg{f}^{\prime }(z)$為$f(z)$在$z$點的旋轉角，因為只要旋轉這個角度就能得到因變量的角。
那么也就是說，如果過一個點有兩條曲線，它們的夾角，到因變量解析區域后，這個夾角是不變的，這就是保角的。它的條件是解析區域和復變函數倒數在這點不能為0.
而兩個弧長極限之比為$|f^{\prime }(z_0)|$，也叫伸縮率。
如果解析區域半徑足夠小的話，一個普通圖形映射后可以看作保持形狀的映射圖形，凡在區域D內處處具有保角性和伸縮率不變性的一一映射成為保型映射。

分式線性映射

形如$w=\frac{az+b}{cz+d}$，這里$w,z$是變量，$a,b,c,d$是普通復數。

傅里葉變換

這個說爛了，跟復變沒關系其實，
廣義傅里葉變換
卷積

拉普拉斯變換

算子微分學
是傅里葉變換的補足，可以在條件更弱的情況下進行，有一個單位階躍函數的東西。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学 之 复变函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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