引言

　　【比較官方的簡介】數理統計學是一門以概率論為基礎，應用性很強的學科。它研究怎樣以有效的方式收集、 整理和分析帶有隨機性的數據，以便對所考察的問題作出正確的推斷和預測，為采取正確的決策和行動提供依據和建議。數理統計不同于一般的資料統計，它更側重于應用隨機現象本身的規律性進行資料的收集、整理和分析。

　　【簡單的講】，就是通過樣本分析來推斷整體。

　　【意義或者重要性】在這個大數據時代，數據是非常重要的。怎樣挖掘數據內部的規律或者隱含的信息，變得尤為重要。當時我們是不可能獲得整體的數據的，所以我們只能通過抽取樣本，進而通過樣本來推斷整體的規律。

　　【目錄】

　　第一章、樣本與統計量

　　　　一、引言：

　　　　二、總體與樣本：

　　　　三、統計量：

　　　　四、常用分布：

　　第二章、參數估計

　　　　一、引言：

　　　　二、點估計——矩估計法：

　　　　三、點估計——極大似然估計：

　　　　四、估計量的優良性準則

　　　　五、區間估計——正態分布

　　　　　　1、引入

　　　　　　2、單個正態總體參數的區間估計

　　　　　　3、兩個正態總體的區間估計

　　　　六、區間估計——非正態分布：

　　　　　　1、大樣本正態近似法

　　　　　　2、二項分布

　　　　　　3、泊松分布

　　第三章、假設檢驗

　　　　一、引言：

　　　　二、正態總體均值的假設檢驗

　　　　　　1、單正態總體 N(μ, σ²)均值 μ?的檢驗

　　　　　　　　（1） 雙邊檢驗 H₀: μ = μ₀；H₁: μ≠μ₀?

　　　　　　　　（2） 單邊檢驗 H₀: μ = μ₀；H₁: μ>μ₀

　　　　　　2、兩個正態總體 N(μ₁, σ₁²) 和? N(μ₂, σ₂²)均值的比較

　　　　　　　　（1） 雙邊檢驗 H₀: μ₁?= μ₂；H₁: μ₁≠μ₂?

?　　　　　　 ?　（2） 單邊檢驗 H₀: μ₁?>=?μ₂；H₁: μ₁<μ₂?

　　　　　　　　（3） 單邊檢驗 H₀:?μ₁?<=?μ₂；H₁:?μ₁>μ₂?

　　　　三、正態總體方差的檢驗

　　　　　　1、單個正態總體方差的 χ2 檢驗

　　　　　　　　（1） H₀: σ²?=σ₀²；H₁: σ²?≠σ₀²

　　　　　　　　（2） H₀: σ²?=σ₀²；H₁: σ²?>σ₀²

　　　　　　　　（3)? H₀:?σ²?≤σ₀²；H₁:?σ²?>?σ₀²?(同2.)

　　　　　　2、兩正態總體方差比的 F 檢驗

　　　　　　　　　(1).? H₀: σ₁²?=?σ₂²；H₁: σ₁²?≠ ?σ₂².

　　　　　　　　?（2） H₀: σ₁²?=?σ₂²；H₁:?? ?σ₁²>?σ₂²

　　　　　　　　?（3） H₀: σ₁²?≤?σ₂²；H₁:?? ?σ₁²>?σ₂²

第三章、假設檢驗

　　一、引言：

　　下面，我們討論不同于參數估計問題的另一類統計推斷問題——根據樣本提供的信息，檢驗總體的某個假設是否成立的問題。這類問題稱為假設檢驗。

　　假設檢驗可分為兩類：

　　1、參數檢驗：總體分布已知情形下，檢驗未知參數的某個假設。

　　2、非參數檢驗：總體分布未知情形下的假設檢驗問題。

　　先看一個例子：

　　【例1】某工廠生產 10 歐姆的電阻，根據以往生產的電阻實際情況，可以認為: 電阻值 X服從正態分布 N(μ, 0.1²)。現在隨機抽取10個電阻, 測得它們的電阻值為:9.9, 10.1, 10.2, 9.7, 9.9, 9.9, 10.0, 10.5, 10.1, 10.2.問: 從樣本看，能否認為該廠生產的電阻的平均值 μ?= 10 歐姆?

　　I.? 如何建立檢驗模型

　　●? 確定總體：記 X 為該廠生產電阻的測值，則?：X ～ N(μ, 0.1²)；

　　●? 明確任務：通過樣本推斷 “X 的均值 μ 是否等于10歐姆”；

　　●? 假設：上面的任務是要通過樣本檢驗“X 的均值μ =10”這一假設是否成立。

　　在數理統計中，把 “ X 的均值 μ =10” 這樣一個待檢驗的假設記為 “原假設” 或 “零假設”,記成 “ H₀：μ =10”。

　　原假設的對立面是 “ X? 的均值?? μ ≠10”，稱為? “對立假設” 或 “備擇假設”，記成?? “ H₁:μ ≠10”。把原假設和對立假設合寫在一起，就是:H₀：μ =10； H₁：μ≠10.

?

　　II.? 解決問題的思路

　　　　

　　這里的問題是：如何確定常數 c 呢？細致地分析:根據中心極限定理，有

　　　　

　　為確定常數 c，我們考慮一個很小的正數a， 如a = 0.05。當原假設 H₀: μ =10 成立時，有

　　　　

　　　　

　　　　

　　III.? 方法原理：小概率發生（落入拒絕域），則拒絕。

　　　　

　　IV. 兩類錯誤與顯著性水平

　　當我們檢驗一個假設 H₀ 時，有可能犯以下兩類錯誤之一：H₀ 是正確的，但被我們拒絕了，這就犯了“棄真”的錯誤，即拋棄了正確假設；H₀ 是不正確的，但被我們接受了，這就犯了“取偽”的錯誤，即采用了偽假設。

? ? ? 因為檢驗統計量總是隨機的，所以，我們總是以一定的概率犯以上兩類錯誤。

　　通常用 α 和 β ?記犯第一、第二類錯誤的概率，即?

　　α = P{ 拒絕H₀ | H₀ 為真?}

　　β?= P{ 接受H₀ | H₀ 為假?}

　　在檢驗問題中，犯“棄真”和“取偽”兩類錯誤都總是不可避免的，并且減少犯第一類錯誤的概率，就會增大犯第二類錯誤的概率;反之亦然。?所以，犯兩類錯誤的概率不能同時得到控制。

　　在統計學中，通常控制犯第一類錯誤的概概率。一般事先選定一個數 a(0<a<1)，要求犯第一類錯誤的概率不超過 a。稱 a 為假設檢驗的顯著性水平，簡稱水平。犯第二類錯誤的概率的計算超出了課程的學習范圍。因此，不作討論。 ??

　　【例1(續)】分析該例的顯著性水平。

　　　　

　　現在我們來分析一下：取上述? c? 后，如果? H₀ 是正確的，卻被我們拒絕了。這時，犯第一類錯誤的概率是多少呢？

　　　　

二、正態總體均值的假設檢驗

1、單正態總體 N(μ, σ²)均值 μ?的檢驗

（1） 雙邊檢驗 H₀: μ = μ₀；H₁: μ≠μ₀?

　　假設 σ²已知，根據上節中的例1，當原假設 H₀:? μ = μ₀ 成立時，有?

　　　　

　　　　

　　以上檢驗法稱作 U 檢驗法。

　　在應用上，σ²未知的情況是常見的。此時，和前面不同的是：常用樣本方差 S²代替未知的σ² 。

　　　　

　　此檢驗法稱作? t? 檢驗法。

　　　　

（2） 單邊檢驗 H₀: μ = μ₀；H₁: μ>μ₀?

　　上一段中， H₀:μ=μ₀ ;? H₁: μ≠μ₀ 的對立假設為 H₁: μ ≠μ₀ , 該假設稱為雙邊對立假設。而現在要處理的對立假設為 H₁: μ >μ₀,? 稱為右邊對立假設。

?　　類似地，H₀: μ =μ₀; H₁: μ <μ₀ 中的對立假設H₁: μ <μ₀，假設稱為左邊對立假設。右邊對立假設和左邊對立假設統稱為單邊對立假設，其檢驗為單邊檢驗。

　　例如：工廠生產的某產品的數量指標服從正態分布，均值為 μ₀ ；采用新技術或新配方后，產品質量指標還服從正態分布，但均值為 μ。我們想了解 “μ是否顯著地大于μ₀”,即產品的質量指標是否顯著地增加了。

　　　　

　　　　

　　【例 2】某廠生產一種工業用繩,其質量指標是繩子所承受的最大拉力，假定該指標服從正態分布，且該廠原來生產的繩子指標均值 μ₀ =15公斤，采用一種新原材料后,廠方稱這種原材料提高了繩子的質量，也就是說繩子所承受的最大拉力 μ 比15公斤增大了。

??? 為檢驗該廠的結論是否真實，從其新產品中隨機抽取50件，測得它們所承受的最大拉力的平均值為15.8公斤，樣本標準差S=0.5公斤。取顯著性水平a =0.01。問從這些樣本看：能否接受廠方的結論。

　　　　

2、兩個正態總體 N(μ₁, σ₁²) 和? N(μ₂, σ₂²)均值的比較

　　在應用上，經常會遇到兩個正態總體均值的比較問題。

　　例如：比較甲、乙兩廠生產的某種產品的質量。將兩廠生產的產品的質量指標分別看成正態總體 N(μ₁, σ₁²) 和 N(μ₂, σ₂²)。比較它們的產品質量指標的問題，就變為比較這兩個正態總體的均值 μ₁和 μ₂的的問題。

　　又如：考察一項新技術對提高產品質量是否有效。將新技術實施前后生產的產品質量指標分別看成正態總體 N(μ₁,?σ₁²) 和 N(μ₂,?σ₂²)。這時，所考察的問題就歸結為檢驗這兩個正態總體的均值 μ₁和?μ₂是否相等的問題。? ?

　　　　

　　　　

　　　　

?　　　　

　　　　

【說明】

　　上面，我們假定 σ₁²=σ₂²。當然，這是個不得已而強加上去的條件，因為如果不加此條件，就無法使用簡單易行的 t 檢驗。

? ? ? 在實用中，只要我們有理由認為σ₁²和σ₂²相差不是太大，往往就可使用上述方法。通常是：如果方差比檢驗未被拒絕(見下節), 就認為σ₁²和σ₂²相差不是太大。

　　【例3】假設有A和B兩種藥，欲比較它們在服用2小時后在血液中的含量是否一樣。對藥品A，隨機抽取8個病人服藥，服藥2小時后，測得8個病人血液中藥物濃度(用適當的單位)分別為:

???? 1.23, 1.42, 1.41, 1.62, 1.55, 1.51, 1.60, 1.76.

　　對藥品B，隨機抽取6個病人服藥，服藥2小時后，測得血液中藥的濃度分別為:?1.76, 1.41,? 1.87, 1.49, 1.67, 1.81.

　　假定這兩組觀測值抽自具有共同方差的兩個正態總體，在顯著性水a=0.10下，檢驗病人血液中這兩種藥的濃度是否有顯著不同?

　　　　

　　　　

　　　　

?

三、正態總體方差的檢驗

　　1、單個正態總體方差的 χ2 檢驗

　　設 X₁, X₂, …, X_n 為來自總體 N(μ , σ²) 的樣本，μ ?和 σ²未知，求下列假設的顯著性水平為 a? 的檢驗。

　　（1） H₀: σ² =σ₀²；H₁: σ² ≠σ₀²

　　【思路分析】利用樣本方差 S²是?σ²的一個無偏估計，且 (n-1)S²/ ?σ²?~ χ²_n-1 的結論。

　　當原假設 H₀: σ²?= σ₀²成立時，S²和σ₀²應該比較接近，即比值 S²/σ₀²應接近于1。所以,這個比值過大或過小 時，應拒絕原假設。

? ? ?合理的做法是:? 找兩個合適的界限 c₁ 和 c₂ ,

　　● 當 c₁<(n-1)S²/σ₀² < c₂ 時，接受H₀；

　　● 當 (n-1)S²/σ₀²≤c₁ 或 (n-1)S²/σ₀²≥c₂ 時,?? 拒絕 H₀ 。 ? ?

　　　　

　　（2） H₀: σ²?=σ₀²；H₁: σ²?>σ₀²

　　　　

　　（3)? H₀: σ²?≤σ₀²；H₁: σ²?> σ₀²?(同2.)

?

　　【例1】某公司生產的發動機部件的直徑 (單位: cm) 服從正態分布，并稱其標準差 σ₀=0.048 。現隨機抽取5個部件，測得它們的直徑為?1.32, 1.55, 1.36, 1.40, 1.44.

取a=0.05，問:

　　(1). 能否認為該公司生產的發動機部件的直徑的標準差確實為σ= σ₀?

　　(2). 能否認為σ ≤ σ₀?

　　解:? (1). 的問題就是檢驗H₀: σ²?=σ₀²；H₁: σ²?≠σ₀².?其中，n=5，a =0.05，σ₀=0.048.

　　　　

　　(2).? 的問題是檢驗H₀:?σ²?≤σ₀²；H₁:?σ²?>?σ₀².

　　　　

　　2、兩正態總體方差比的 F 檢驗

　　設X₁, X₂, …, X_m和Y₁, Y₂, …, Y_n 分別為抽自正態總體 N(μ₁ , σ₁²)和 N(μ₂?, σ₂²)的樣本,? 欲檢驗

　　(1).? H₀: σ₁²?=?σ₂²；H₁: σ₁²?≠ ?σ₂².

　　該檢驗主要用于上節中實施兩樣本 t 檢驗之前，討論 ?σ₁²?=?σ₂²?的假設是否合理。

【思路分析】

　　因兩總體 N(μ₁?, σ₁²)和 N(μ₂?, σ₂²)的樣本方差S₁²和S₂²分別為σ₁²和σ₂²的無偏估計。所以,直觀上講，S₁²/S₂² 是σ₁²/σ₂² 的一個好的估計。

　　當? H0: ?σ₁²?=?σ₂² 成立時, ?σ₁²/σ₂²=1,? 作為其估計，S₁²/S₂²也應與 1 相差不大。當該值過分地大或過分地小時，都應拒絕原假設成立。

??? 合理的思路是：找兩個界限c₁和c₂,

　　　　● 當 c₁< S₁²/S₂²?< c₂ 時，接受H₀；

　　　　● 當 S₁²/S₂²?≤ c₁, 或 S₁²/S₂²?≥ c₂ 時,? 拒絕H₀。

　　　　

　　　　

　　（2） H₀: σ₁²?=?σ₂²；H₁:?? ?σ₁²>?σ₂²

　　　　

　　（3） H₀: σ₁²?≤?σ₂²；H₁:?? ?σ₁²>?σ₂²

　　　　結論同 2。

　　【例2】甲乙兩廠生產同一種電阻，現從甲乙兩廠的產品中分別隨機地抽取12個和10個樣品,測得它們的電阻值后，計算出樣本方差分別為S₁²=1.40，S₂²=4.38。假設兩廠生產的電阻的電阻的阻值分別服從正態分布 ? N(μ₁?, σ₁²)和 N(μ₂?, σ₂²)。在顯著性水平 a = 0.10下, 是否可接受： ??(l).σ₁² =σ2²；(2).σ₁²≤σ2². ?

　　　　

　　　　

　　　　

?

轉載于:https://www.cnblogs.com/mo-wang/p/4949628.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高等数理统计（三）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。