題目描述

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題解

矩陣乘法

考慮把相同位數的數放到一起處理：

設有$k$位的數為$[l,r]$，那么枚舉從大到小的第$i$個數（即枚舉$r-i+1$），考慮其對$Concatenate(l..r)$的貢獻：

$v_i=(r-i+1)10^{k(i-1)}$

所以要求的就是：

$\sum\limits_{i=1}^{r-l+1}(r-i+1)10^{k(i-1)}\mod m\ =\ \sum\limits_{i=0}^{r-l}(r-i)10^{ki}\mod m$

這個式子可以使用矩陣乘法解決。具體方法：

$\begin{bmatrix}(r-i)10^{ki}&10^{ki}&sum_{i-1}\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}10^k&0&1\\-10^k&10^k&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}(r-i-1)10^{k(i+1)}&10^{k(i+1)}&sum_i\end{bmatrix}$

然后再乘上$10^{該位后面的位數}$即為它們對答案的貢獻。把所有位數的數的貢獻加起來即為答案。

注意需要unsigned long long。

#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; typedef unsigned long long ull; int m; struct data {ull v[3][3];data(ull x = 0) {memset(v , 0 , sizeof(v)) , v[0][0] = v[1][1] = v[2][2] = x;}ull *operator[](int a) {return v[a];}data operator*(data a){data ans;int i , j , k;for(i = 0 ; i < 3 ; i ++ )for(j = 0 ; j < 3 ; j ++ )for(k = 0 ; k < 3 ; k ++ )ans[i][j] = (ans[i][j] + v[i][k] * a[k][j]) % m;return ans;} }a; data pow(data x , ull y) {data ans(1);while(y){if(y & 1) ans = ans * x;x = x * x , y >>= 1;}return ans; } ull pow(ull x , ull y) {ull ans = 1;while(y){if(y & 1) ans = ans * x % m;x = x * x % m , y >>= 1;}return ans; } int main() {ull i , j , n , now = 1 , ans = 0;scanf("%llu%d" , &n , &m);for(i = 1000000000000000000ull , j = 19 ; i ; i /= 10 , j -- ){if(n < i) continue;a[0][0] = a[1][1] = i % m * 10 % m , a[1][0] = (m - a[0][0]) % m , a[0][2] = a[2][2] = 1 , a[0][1] = a[1][2] = a[2][0] = a[2][1] = 0;a = pow(a , n - i + 1);ans = (ans + (n % m * a[0][2] % m + a[1][2]) * now) % m , now = now * pow(10 , j * (n - i + 1)) % m , n = i - 1;}printf("%llu\n" , ans);return 0; }

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轉載于:https://www.cnblogs.com/GXZlegend/p/7725161.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【bzoj2326】[HNOI2011]数学作业 矩阵乘法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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