1. 二次規(guī)劃的由來(lái)

在1940年左右（1939年 Leonid Kantorovich 總結(jié)發(fā)表了線性規(guī)劃）， 線性規(guī)劃LP被提出來(lái)， 10年后， QP作為Non-Linear Programming, NLP被總結(jié)發(fā)表。

顧名思義， 二次規(guī)劃就是把一次規(guī)劃（線性規(guī)劃， LP）的目標(biāo)公式擴(kuò)展到二次函數(shù)：

這里 Q 是對(duì)稱矩陣（Symmetric Matrix）

那么這樣修改目標(biāo)之后， 會(huì)帶來(lái)什么改變？

首先從圖上來(lái)看， 最大的變化就是二次帶來(lái)等高線（ contour line ）不再是直線， 這樣使得最值點(diǎn)不再是限制多面體的角上，可能是邊上，或者內(nèi)部。

同時(shí)， 這樣改變之后有什么好處？

QP第一次統(tǒng)一了線性規(guī)劃LP和最小二乘法LS,

歐式距離： 最小二乘法，LS Hamitton 距離，或者Chebyshev距離： 線性回歸， LP

這樣，基于利用QP就可以統(tǒng)一描述不同距離公式下的回歸的參數(shù)求解。

前面， 我們說(shuō)了QP是LP和LP在不同角度的擴(kuò)展：

QP是LP的擴(kuò)展， LP是QP在二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)候（Q=0）的特例。

QP是LS的擴(kuò)展， LS是QP在一次項(xiàng)系數(shù)為0， 二次項(xiàng)系數(shù)為I（單位陣），并且沒(méi)有限制的時(shí)候的特例：

2. KKT條件

3. 二次規(guī)劃的求解

一般來(lái)說(shuō)， QP的求解主要有兩大方面的限制（如下圖所示）：
首先是Q矩陣， Q矩陣是不是半正定（Semi-Definite）的， 如果不是意味著， 目標(biāo)函數(shù)是非凸（non-convex）的情況。
其次是條件關(guān)系， 是不是全部是等式（eqality-constrained）， 如果是的話， 就是一個(gè)可以直接求解的KKT系統(tǒng)（KKT System）， 否則的話，就是一般情況下的Convex QP問(wèn)題。

總結(jié)：

對(duì)于二次規(guī)劃問(wèn)題，本質(zhì)上就是優(yōu)化問(wèn)題，無(wú)非就是求解二次目標(biāo)函數(shù)，使其在線性約束的條件下達(dá)到最優(yōu)的問(wèn)題。因?yàn)閿?shù)學(xué)庫(kù)中一般都有現(xiàn)成的求解器，比如apllo中二次規(guī)劃使用的是osqp求解器，所以在實(shí)際工程中需要著重考慮的是：不是如何對(duì)二次規(guī)劃進(jìn)行求解，而是如何進(jìn)行建模。

參考文獻(xiàn)：

二次規(guī)劃

一步一步走向錐規(guī)劃 - QP

二次型的意義是什么？有什么應(yīng)用？

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的轨迹规划-二次规划QP的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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