呵呵，做了一回標題黨，可能說得夸張了一點。說是“終極算法”，主要是因為它可以任意提高精度、而且幾乎可以應付任何非線性方程(至少理論上是這樣)，提高精度是已知的迭代式上添加一些項，而不是完全改變迭代式的形式，當然在提高精度的同時，計算量也會隨之增大。其理論基礎依舊是泰勒級數。

我們考慮方程$x=f(y)$，已知y求x是很容易的，但是已知x求y并不容易。我們考慮把y在$(x_0,y_0)$處展開成x的的泰勒級數。關鍵是求出y的n階導數$\frac{d^n y}{dx^n}$。我們記$f^{(n)}(y)=\frac{d^n x}{dy^n}$，并且有

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{(\frac{dx}{dy})}=f'(y)^{-1}$$

并且根據公式：$y^{(n)}=y'\frac{dy^{(n-1)}}{dy}$，可以繼續求出二階導數、三階導數：

$$\begin{aligned}\frac{d^2 y}{dx^2}=\frac{d(f'(y)^{-1})}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{-f''(y)}{f'(y)^3} \\ \frac{d^3 y}{dx^3}=\frac{d(\frac{-f''(y)}{f'(y)^3})}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{3f''(y)^2}{f'(y)^5}-\frac{f'''(y)}{f'(y)^4}\end{aligned}$$

......

那么我們可以寫出

$$y=y_0+\frac{x-x_0}{f'(y_0)}-\frac{f''(y_0)}{f'(y_0)^3}\frac{(x-x_0)^2}{2!}+(\frac{3f''(y_0)^2}{f'(y_0)^5}-\frac{f'''(y_0)}{f'(y_0)^4})\frac{(x-x_0)^3}{3!}+...$$

并注意到$x_0=f(y_0)$，那么我們實則就寫出了方程根的遞推公式

$$\begin{aligned}y_{n+1}=y_n+\frac{x-f(y_n)}{f'(y_n)}-\frac{f''(y_n)}{f'(y_n)^3}\frac{(x-f(y_n))^2}{2!}+ \\ (\frac{3f''(y_n)^2}{f'(y_n)^5}-\frac{f'''(y_n)}{f'(y_n)^4})\frac{(x-f(y_n))^3}{3!}+...\end{aligned}$$

在應用中不用求太多項，只需要用到前幾項即可(多了計算量會暴增)。如果只取前面兩項，就成為了我們應用廣泛的“牛頓法”。而我們多取幾項，則可以加快收斂，并且提高穩定性。

好了，對此，科學空間已經介紹了兩種“新”的方程數值算法(前面一種是“切拋物線法”)，以后基本上不會再去研究代數方程的數值解法了。BoJone覺得，要求解方程，本帖的“終極算法”已經足夠了，這里引用一下阿基米德的語氣：“給我一道方程，我可以撬出方程的根！”......

更詳細的轉載事宜請參考：《科學空間FAQ》

如果您還有什么疑惑或建議，歡迎在下方評論區繼續討論。

如果您覺得本文還不錯，歡迎分享/打賞本文。打賞并非要從中獲得收益，而是希望知道科學空間獲得了多少讀者的真心關注。當然，如果你無視它，也不會影響你的閱讀。再次表示歡迎和感謝！

打賞

微信打賞

支付寶打賞

因為網站后臺對打賞并無記錄，因此歡迎在打賞時候備注留言。你還可以點擊這里或在下方評論區留言來告知你的建議或需求。

如果您需要引用本文，請參考：

蘇劍林. (Apr. 04, 2010). 《數值方法解方程之終極算法 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/590

總結

以上是生活随笔為你收集整理的科学计算机解方程算法,数值方法解方程之终极算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。