一、歐拉函數

歐拉函數是小于x的整數中與x互質的數的個數，一般用φ(x)表示。

通式： ? 其中p₁, p₂……p_n為x的所有質因數，x是不為0的整數。

• 比如x=12，拆成質因數為12=2*2*3，
• 12以內有1/2的數是2的倍數，那么有1-1/2的數不是2的倍數（1,3,5,7,9,11），
• 這6個數里又有1/3的數是3的倍數，
• 只剩下(1 - ¹/₂ - ¹/₃)的數既不是2的倍數，也不是3的倍數（1,5,7,11）。
• 這樣剩下的12*(1 -^?1/₂?-?¹/₃)=4，即4個數與12互質，所以φ(12)=4。

證明：對于正整數x，

• 如果x=1，則 φ(1) = 1。
  • 1與任何數（包括自身）都構成互質關系。

• 如果x是質數，則 φ(x)=x-1 。
  • 質數與小于它的每一個數，都構成互質關系。比如5與1、2、3、4都構成互質關系。

• 如果n只有一個質因數p，即x = p^k(p為質數，k>=1)，則φ(p^k)=p^k(1-1/p)=p^k-p^k-1?。
  • 從1~x中，p的倍數共有x/p個，共占了1/p，則減去這些數后，還剩下x*（1-1/p）個。
  • 可以看出，上一種情況是 k=1 時的特例。

• 如果n可以分解成兩個互質的整數之積，即n = p₁ * p_2，則φ(x) = φ(p_1?* p₂) = φ(p₁) * φ(p₂)。
  • φ(a)=m,φ(b)=n,φ(a*b) = a(1-p₁)(1-p₂)...*b(1-q₁)(1-q₂)... = m*n
    
  • 歐拉函數是積性函數（若當m與n互質時，f(m?n)=f(m)?f(n) f(m*n)=f(m)*f(n)f(m?n)=f(m)?f(n)，那么f是積性函數。）

• 任意一個大于1的正整數，都可以寫成一系列質數的積。
• 可以得到，φ(x) =?φ(p₁)*φ(p₂)*...*φ(p_n) = x(1-1/p₁)*(1-1/p₂)*...*(1-1/p_n).

一些（目前不需要的）性質：

• 當n>2時，φ(n)是偶數。
• 小于n的數中，與n互質的數的總和為：φ(n) * n / 2 (n>1)。
• n的因數（包括1和它自己）的歐拉函數之和等于n。
• 若n為奇數時，φ(2n)=φ(n)。
• 對于任何兩個互質的正整數a,n(n>2)有:a^φ(n)≡1(mod?n)此公式即?歐拉定理。
• 當n=p 且 a與素數p互質(即:gcd(a,p)=1)則上式有: a^n-1≡1(mod?n)此公式即?費馬小定理。

求歐拉函數：

1.埃拉托斯特尼篩

求1~n所有數的歐拉函數：每次找到一個質數，就把它的倍數更新掉。復雜度大概是O(nlognlogn)。

void euler(int n) {for (int i=1; i<=n; i++) phi[i]=i;for (int i=2; i<=n; i++)if (phi[i]==i)//i是質數for(int j=i; j<=n; j+=i)phi[j]=phi[j]/i*(i-1); }

?

2.歐拉篩

求n的歐拉函數：每次找到一個最小的因數（一定為質因數），求出x*（1 - 1/p）。復雜度為O(n)。

?

int euler(int n) {int res=n,a=n;for(int i=2; i*i<=a; i++) {if(a%i==0) {res=res/i*(i-1);while(a%i==0) a/=i;}}if(a>1) res=res/a*(a-1); //有質數剩余 return res; }

?

對于x =?p₁^k₁ * p₂^k₂...，只需要求一次（1-p₁）（1-p2）...就可以了，

為了保證每個質因數只被使用一次，通過以上的while循環把x中的p₁除盡。

?

二、素數篩法

這里直接上歐拉算法了。關于埃氏和其他算法

int Prime(int N) {for(i=2; i<=N; i++) {if(!check[i])prime[cnt++]=i;for(j=0; j<cnt && prime[j]*i<=N; j++) { check[prime[j]*i]=1;if(i%prime[j]==0)break;}} }

?每次遇到未標記的素數就記錄，然后用當前的素數或合數與記錄下的素數表依次相乘。

藍色的這一句，保證了每個合數只被篩去一次（如下表），也是歐拉篩法優化的核心思想。

?　　例如12 = 4*3 = 6*2，

　　將它拆分成 （2*2）*3 和 （2*3）*2，

　　因為素數之積顯然不是素數，所以在繼續篩的過程中一定會遇到2*3，

　　說明4=2*2所篩掉的合數2*2*prime[i]（除了prime[0]=2本身），一定會在以后重復算一次。

　　那么先保留2的一列，3只要遇到2的倍數一定可以在2的一列出現，5只要遇到2、3的倍數一定可以在前兩列出現...

?

?

更新于19/2/11

在浙江集訓剛好學了這個qwq其實這個線性篩素數是這樣的，

因為當前枚舉的合數是i*p_j，且p_j|i（即i%p_j=0），那么下一個枚舉的是i*p_j+1，

因為i已經是p_j的倍數了，那么i*任何正整數一定也是p_j的倍數，

說明i*p_j+1在后面一定會被更小的素數(p_j)篩去。

?

轉載于:https://www.cnblogs.com/mogeko/p/10134838.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Euler：欧拉函数＆素数筛的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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