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來自 |?知乎? ?作者 |?柳兩叢?

www.zhihu.com/question/40571490/answer/718942643

上二年級的小明正坐在教室里。現在是數學課，下午第一節，窗外的蟬鳴、緩緩旋轉的吊扇讓同學們昏昏欲睡。此時，劉老師在黑板上寫下一個問題：

6324 + 244675 = ？

小明抬頭看了一眼，覺得這兩個數字挺眼熟。他昨天翹課去網吧了，因此錯過了劉老師講的豎式計算加法。

“同學們算一算這道題。”劉老師和藹可親地說道。

小明盯著黑板懵逼。

小學二年級的他面對這樣一道世界級難題，束手無策。小明伸出了自己的左手，打算用一個古老而深邃的方法--掰手指--嘗試一下。

小明發現他的每只手只能輸入0-5中的正整數，和的范圍僅限于0-10，離6324還十分遙遠。

“慢著！”小明看向了自己的左手。他發現，事情有一點不對勁。

我們也來看看小明的左手。這只左手有5根手指，我們把5根手指都伸開來記為11111，5根手指握拳記為00000，手背面向我們，左手小指是第一個1/0。

小明緊緊地握拳，然后伸出大拇指，此時的左手為00001。“如果，”小明想，“這樣是1”。

他縮回拇指，伸出食指，此時的左手為00010；“這樣是2”。

他又伸出拇指，此時的左手為00011；“那么這樣是3”。

他縮回拇指和食指，伸出中指，此時的左手為對著自己豎中指00100；“這樣就是4！”

.....小明的左手飛速運動著，直到五根手指都伸直，像是鋼鐵俠射了一發掌心炮11111；“這樣就是31！一只手可以表示0-31中的任意正整數！”

小明為自己的發現感到激動。可他不知道怎么表示加法。

小明的同桌，英語課代表小紅，看他擺弄了半天左手，忍不住問他在干什么。小明解釋了他的發現。小紅聽了小明的一番高論，若有所思，提筆在數學書的封底畫了一個表格：

小紅畫的表格

“如果我們能造一個機器，給它三個輸入，它能返回兩個結果，那我們就能算出這道題！”小紅激動地說。

“啥叫進位啊美女？”小明問道。

“就是你列豎式的時候畫的一小撇”，小紅回答。

“獵術士是什么，我知道獵魔人和古爾丹。”

小紅于是講解了一下怎么列豎式計算十進制加法。“我懂了。”

小明說著，拿過小紅的數學書，補全了表格：

小明試著補全表格

“是這樣嗎？”小明問小紅。

小紅拿過來看了看，說：“最后一行寫錯了，輸出結果應該是1。你想啊，1+1+1應該等于11，左邊這一位是輸出進位，右邊這一位是輸出結果，都是1，所以輸出結果應該是1。”

“噢。”小明又拿過書來，拿起橡皮鉛筆改正：

小明改好了

“那為什么這個機器能算加法？我還是不懂。”小明問。

“假設我們已經造出來了這么個機器，長這樣”小紅繼續在封底上畫著：

小紅畫的機器

“等會等會，怎么變成英文了，我英語不好。”小明叫道。

“hmmm看來你沒讀雙語幼兒園。左邊這三個是輸入，右邊是輸出，C是進位，C-in是輸入進位，C-out是輸出進位，Sum是和的意思，明白了么？”小紅解釋道。

“噢好。”

“假設我們已經造出來了這么個機器，造了好幾個，我們這么連起來...誒紙不夠大，我寫不下了。”

小明一聽，趕緊從書桌膛里翻出來一本草稿紙，生怕同桌變成費馬。

“謝謝。先這么連起來：”

小紅畫圖中

“哦哦哦我懂了，A和B就是兩只手，最右邊這個one-bit-adder計算的是最小位數的和！”小明說道。

“正確！”

“你這樣連的話，是說最小位的輸出進位就是下一位的輸入進位，下一位的輸出又是下下一位的輸入！天啊，這跟列豎式好像。”小明驚叫。

“Absolutely!”小紅回答道。

小明又拿過草稿紙，接著畫起來：

小明畫圖中

“把對應的每一位連到每一個adder里...”小明念念有詞，“...再匯總一下輸出”：

小明畫的加法器

“成了！這個東西可以算兩只手加法的結果！”小明高興極了。

“可是離6324和244675還是太遠了，輸入5位遠遠不夠呀。”小紅皺了皺眉頭。

“不不不！你在掰手指的時候有沒有發現，每多一根指頭，能表示的數就會多出來一大堆，我覺得只要加那么十幾個就夠了！1根指頭能表示2個數（0，1），2根指頭四個數（0，1，2，3），3根8個...”

“是2的倍數！”小紅接道，“小明，我覺得你的這個記數方法很有意思，要不叫小明式吧！”小紅凝望小明的目光中有了一絲羞澀。

“二進制。”

身后忽然傳來低沉的聲音。兩人同時回頭，發現數學課代表小剛正直勾勾地盯著那張草稿紙。他好像已聆聽多時了。

“叫二進制吧，我看藍貓淘氣三千問講過這個，一模一樣，藍貓說這是二進制。”小剛補充道。

小剛的數學成績是班里最好的，一進學而思就上的超常班。小紅只能上尖子班，小明一般去網吧。

“那就叫二進制吧。”小明說。

他和小紅轉過身來，老師讓小組討論的時候他們就這么坐。

小剛又道：“可是，怎么造出這個one-bit-adder呢？”他的眉頭皺成一團，眼鏡片看起來更厚了。

小明和小紅也陷入了沉默，三人一籌莫展，陷入僵局。這時，小剛的同桌，物理課代表小蘭入局。

她忽然說道：“我聽物理辦公室的陳老師吹牛，他當年在大學里讀電子工程，GPA一直是4.3，用實驗室的導線開關和小燈泡就能造一個32位的加法器，不知道是怎么做到的。他還說什么與門是and，或門是or，再加一個非門not，用它們表示邏輯，就能造出世間千千萬萬的計算機。”

小明聽迷糊了，“等會等會，什么門？金拱門？”另兩人也露出迷茫的表情。

小蘭從桌子里掏出一個黑盒子。“這是下節課要用的教具，陳老師讓我先拿著。”

她打開盒子，取出三個零件和一個說明書。

“喏，你們看看這個”，她拿起第一個零件，“這個叫與門，有兩個輸入和一個輸出。如果我們把輸出連上小燈泡，接上電源，兩個輸入分別連上開關，那么是這么個情況：”

小蘭畫的表格

“就是說，只有兩個開關都閉合了，小燈泡才亮，有點像串聯電路。”小蘭補充道。

“誒，有意思了...”小剛扶了扶眼鏡，似乎打算說什么，大家都看向他。

“沒，沒什么，我還在想，小蘭你接著說。”

“那好。”小蘭接著拿起第二塊零件。“這個叫或門，有一個開關開著燈泡就會亮...”

“等下！”小剛忽然打斷，拿起筆在自己的白紙上畫起來：

小剛畫的表格

“是不是這樣！”小剛激動地說，“如果0是關1是開，0是滅1是亮的話，或門的輸入輸出是不是這樣？”

小蘭看了看道：“正是”。

她拿起第三個零件，“最后這個叫非門，只有一個輸入，一個輸出。它會輸出一個相反的結果：輸入有電流，輸出就沒有；輸入沒有電流，輸出就有電流。用小剛的話來說，輸入0輸出則為1，輸入1輸出則為0。太簡單了，懶得畫表了。”

小蘭把非門放在桌上。小剛說道：“這三個門可以表示三種邏輯。如果A、B是輸入，? A or B 就是經過或門的結果，? A and B就是經過與門的結果，? not A 則是A經過非門的結果。”

三人紛紛點頭。“可是，這和加法有什么關系呢？”小明問道。

四人再度陷入沉默。

沉默。

忽然，小明拿起筆，一邊畫一邊說道：“如果我們回去看小紅畫的表格，”

左三列是輸入，右二列是輸出

“Sum可以寫成A、B、Cin的邏輯關系！”

“你們看，把 A and B 記作 AB，A or B 記作 A + B，not A 記作 A 上面畫個橫線。Sum 輸出為1只出現在表格的2、3、5、8行，也就是三個輸入中1的個數為奇數的時候。我們把這4種情況記下來，那么這個式子...”

“可以拿邏輯門實現！！！”四人異口同聲的叫道。

小紅搶過草稿紙，又看了看物理教具的說明書，邊畫邊說了起來：“說明書上寫，這個火車頭形狀的符號表示 and gate；這個B2轟炸機形狀的是or gate；這個小人形狀的是not gate...”

小紅畫的與門，或門，非門

她又看了一眼小明的式子，說道：“這個式子的第一項可以這樣...”

小紅畫的輸出和的第一項

"你們看你們看，這個不就是

嘛！"小紅自豪地說。

小明補全了電路：

“先把與門都畫了”

“再把或門都加上，搞定。這東西可以算出Sum了，接下來用一樣的辦法把C-out弄出來。”小明準備繼續畫。

“你們看，這里還有幾個零件。”小蘭指著說明書說道：

與非，或非，異或，同或

“與非門：一個與門的輸出和一個非門相連，英文是not and，NAND gate。那個小圈圈代表一個非門。

或非門是或門 + 非門，not or，NOR gate。

第三個叫異或門，只有兩個輸入中一個為1一個不為1時，才會輸出1，exclusive-or，XOR gate。

第四個是同或門，也就是一個異或門加上一個非門。”

“啊哈！”小剛靈機一動，抓起筆來道：“我有一個絕妙的點子。”

小剛簡化后的電路

“小明的方案，要用17個門。我只要2個異或門就搞定了，牛逼吧？”

三人瞪大了眼睛，仔細思考后紛紛點頭道：“牛逼，牛逼。”

小剛隨即畫出了完整的one-bit-adder電路：

小剛的one-bit-adder

小明從從教具盒里拿出電源、小燈泡、開關和邏輯門，按照設計圖制作出了全加器：

看到小剛的設計被完整的實現，小明欣喜：“啊哈哈哈，吾有上將小剛，則霸業可成，漢室可興啊！”

他把黑盒子里的零件全拿了出來，四人忙碌地工作著。很快，他們擁有了5個全加器，基于小紅的設計連了起來：

小紅設計實現

“二進制的01100等于十進制的12，01010等于10，12+10=22，等于16+4+2，也就是二進制的10110...”

四人人往代表輸出結果的5個小燈泡望去：亮，滅，亮，亮，滅；正是10110！

“成了！！！”

大家激動的拍打課桌為了計算黑板上那道題，四人一共制作了32個一位全加器，將它們連接后，一個三十二位加法器便誕生了。

他們歷經艱辛，踩著自然規律和人類智慧的肩膀，把自己從枯燥的加法計算中解放出來！

窗外的蟬鳴漸漸平息，頭頂的吊扇不再轉動。

“劉老師，答案是250999！”小明站了起來，聲若洪鐘大呂，震懾天地。

他和小紅、小剛、小蘭分別對視了一眼，收獲了堅定的目光。

這目光，連同面前的32位加法器，如同新的轉機和閃閃星斗，正在綴滿沒有遮攔的天空。

劉老師點了點頭，欣慰的說道：“很好，看來四位同學對這部分知識掌握的不錯！我們再來看幾道題！”

他轉過身，拿起板擦，把黑板擦了個精光，又從黑板槽里拾起半截粉筆，寫了起來：?

1. 244675 - 6324 = ？?

2. 3.14159 + 5.535897 = ？?

3. 17 * 45 = ？?

4. 3 / 2 = ？

一連四道題，讓四人組陷入了深思：如何讓自己的機器運算減法？乘法？除法？浮點數？

劉老師并沒有停下，手中的粉筆運動得越來越快：

5. Fibonacci 數列的第103項？

6. 一圈共有N個人，開始報數，報到M的人出列，然后重新開始報數，問最后出列的人是誰？.

.....

疑惑越來越多了：如何存儲？怎樣實現分支？保證效率？

劉老師仍未停下，黑板快被寫滿了：

103. 方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上嗎？

104. 大于2的偶數都可以寫成兩個質數的和嗎？

......

134. 生命，宇宙及所有事物的答案？

劉老師放下了粉筆，半截粉筆已經變成硬幣的厚度。

“這些問題，我們能造個機器回答么？”小明撐著頭，喃喃自語。

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總結

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