一、0/1背包問題

問題描述：有n件物品和容量為m的背包 給出i件物品的重量以及價值 求解讓裝入背包的物品重量不超過背包容量 且價值最大 。
特點:這是最簡單的背包問題，特點是每個物品只有一件供你選擇放還是不放。
① 二維解法
設f[i][j]表示前 i 件物品 總重量不超過 j 的最大價值 可得出狀態轉移方程
f[i][j]=max{f[i-1][j-a[i]]+b[i], f[i-1][j]}

代碼： for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=m;j>0;j--){if(a[i]<=j)f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-a[i]]+b[i]);else f[i][j]=f[i-1][j];}

在一些情況下 題目的數據會很大 因此f數組不開到一定程度是沒有辦法ac。

②一維解法
設f[j]表示重量不超過j公斤的最大價值 可得出狀態轉移方程
f[j]=max{f[j], f[j?a[i]]+b[i]}

代碼：for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=m;j>=a[i];j--)f[j]=max(f[j], f[j-a[i]]+b[i]); }

二、完全背包問題

問題描述：有n件物品和容量為m的背包 給出i件物品的重量以及價值 求解讓裝入背包的物品重量不超過背包容量 且價值最大 。
特點：題干看似與01一樣 但它的特點是每個物品可以無限選用。

設f[j]表示重量不超過j公斤的最大價值 可得出狀態轉移方程
f[j] = maxj{f[j], f[j?a[i]]+b[i]}

代碼： for(int i=1;i<=n;i++)for(int j = a[i];j <= m;j++){f[j] = max(f[j], f[j-a[i]]+b[i]);}

三、多重背包問題

問題描述：有n件物品和容量為m的背包 給出i件物品的重量以及價值 還有數量 求解讓裝入背包的物品重量不超過背包容量 且價值最大 。
特點 ：它與完全背包有類似點 特點是每個物品都有了一定的數量。

狀態轉移方程為：
f[j] = max{f[j], f[j?k?a[i]]+k?b[i]}

for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=m;j>=a[i];j--)for(int k=0;k<=c[i];k++){if(j-k*a[i]<0)break;f[j] = max(f[j], f[j-k*a[i]]+k*b[i]);}

實戰：

題目一：322. 零錢兌換

給定不同面額的硬幣 coins 和一個總金額 amount。編寫一個函數來計算可以湊成總金額所需的最少的硬幣個數。如果沒有任何一種硬幣組合能組成總金額，返回 -1。 你可以認為每種硬幣的數量是無限的。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的三种基本背包问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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