克拉默法则
文章目錄
- 前言
- 一、克拉默法則
- 二、基本介紹
- 1.系數(shù)行列式
- 2.克拉默法則
- 三、應(yīng)用
- 總結(jié)
前言
對(duì)于未知量與方程個(gè)數(shù)相等的線(xiàn)性方程組，理論上可以用克拉默法則求解，作為行列式在線(xiàn)性方程組中的一個(gè)重要應(yīng)用，本文將介紹克拉默法則的基本內(nèi)容。
一、克拉默法則
克拉默法則（Cramer’s Rule），也稱(chēng)克萊姆法則，是線(xiàn)性代數(shù)中一個(gè)關(guān)于求解線(xiàn)性方程組的定理。
二、基本介紹
回憶“行列式”一章，為求解兩個(gè)二元一次方程組引入二階行列式的概念，指出若方程組“系數(shù)行列式”不等于0，則方程組具有唯一解。推廣上述內(nèi)容，對(duì)一般情形下由n個(gè)n元線(xiàn)性(一次)方程構(gòu)成的方程組來(lái)解決兩個(gè)問(wèn)題：
（1）滿(mǎn)足什么條件時(shí)方程組有唯一解？
（2）如何求出唯一解？
1.系數(shù)行列式
對(duì)于含有n個(gè)未知量的n個(gè)線(xiàn)性方程組
f(x)={a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2........................an1x1+an2x2+...+annxn=bnf(x)=\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12} x_2+...+a_{1n}x_n& = b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22} x_2+...+a_{2n}x_n& = b_2 \\ ...... ...... ...... ...... \\ a_{n1}x_1+a_{n2} x_2+...+a_{nn}x_n & = b_n \end{aligned} \right. f(x)=????????????a11?x1?+a12?x2?+...+a1n?xn?a21?x1?+a22?x2?+...+a2n?xn?........................an1?x1?+an2?x2?+...+ann?xn??=b1?=b2?=bn??
我們把n階行列式D=∣a11?a1n??an1?ann∣稱(chēng)為上述方程組的系數(shù)行列式我們把n階行列式D= \begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots& &\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix} 稱(chēng)為上述方程組的系數(shù)行列式 我們把n階行列式D=∣∣∣∣∣∣∣?a11??an1?????a1n??ann??∣∣∣∣∣∣∣?稱(chēng)為上述方程組的系數(shù)行列式
2.克拉默法則
若上述線(xiàn)性方程組的系數(shù)行列式D≠0,則方程組存在唯一解x1=D1D,x2=D2D,?,xn=DnD。若上述線(xiàn)性方程組的系數(shù)行列式D≠0,則方程組存在唯一解x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},\cdots,x_n=\frac{D_n}{D}。 若上述線(xiàn)性方程組的系數(shù)行列式D?=0,則方程組存在唯一解x1?=DD1??,x2?=DD2??,?,xn?=DDn??。
其中Dj（j=1,2,?,n）是把系數(shù)行列式D中第j列用方程組右端的常數(shù)頂替換后得到的n階行列式，即：x=∣a11?a1,j?1b1a1,j+1?a1n?????an1?an,j?1bnan,j+1?ann∣其中 D_j （j=1,2,\cdots,n）是把系數(shù)行列式D中 第j列用方程組右端的常數(shù)頂替換后得到的n階行列式，\\ 即：x= \begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_1,_{j-1}&b_1& a_1,_{j+1}& \cdots&a_{1n}\\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_n,_{j-1}&b_n& a_n,_{j+1}& \cdots&a_{nn}\\ \end{vmatrix} 其中Dj?（j=1,2,?,n）是把系數(shù)行列式D中第j列用方程組右端的常數(shù)頂替換后得到的n階行列式，即：x=∣∣∣∣∣∣∣?a11??an1?????a1?,j?1??an?,j?1??b1??bn??a1?,j+1??an?,j+1?????a1n??ann??∣∣∣∣∣∣∣?
- 上述結(jié)論稱(chēng)為克拉默法則，是線(xiàn)性代數(shù)中關(guān)于線(xiàn)性方程組的第一個(gè)重要定理。
三、應(yīng)用
- 例：用克拉默法則解線(xiàn)性方程組
{2x1+x2?5x+x4=8x1?3x2?6x4=92x2?x3+2x4=?5x1+4x2?7x3+6x4=0\left\{ \begin{aligned} 2x_1+ x_2-5x+x_4 = 8 \\ x_1-3x_2-6x_4=9 \\ 2x_2- x_3+2x_4= -5\\ x_1+4x_2-7x_3+6x_4=0 \end{aligned} \right. ????????????2x1?+x2??5x+x4?=8x1??3x2??6x4?=92x2??x3?+2x4?=?5x1?+4x2??7x3?+6x4?=0? - 解：先計(jì)算方程組的系數(shù)行列式
D=∣21?511?30?602?1214?76∣=27D= \begin{vmatrix} 2&1&-5&1\\ 1&-3&0&-6\\ 0&2&-1&2\\ 1&4&-7&6\\ \end{vmatrix} =27D=∣∣∣∣∣∣∣∣?2101?1?324??50?1?7?1?626?∣∣∣∣∣∣∣∣?=27
- 再分別計(jì)算依次用“常數(shù)項(xiàng)”替換D中各列后得到的行列式，得到
D1=∣81?519?30?6?52?1204?76∣=81D_1= \begin{vmatrix} 8&1&-5&1\\ 9&-3&0&-6\\ -5&2&-1&2\\ 0&4&-7&6\\ \end{vmatrix} =81 D1?=∣∣∣∣∣∣∣∣?89?50?1?324??50?1?7?1?626?∣∣∣∣∣∣∣∣?=81
D2=∣28?51190?60?5?1210?76∣=?108D_2= \begin{vmatrix} 2&8&-5&1\\ 1&9&0&-6\\ 0&-5&-1&2\\ 1&0&-7&6\\ \end{vmatrix} =-108 D2?=∣∣∣∣∣∣∣∣?2101?89?50??50?1?7?1?626?∣∣∣∣∣∣∣∣?=?108
D3=∣21811?39?602?521406∣=?27D_3= \begin{vmatrix} 2&1&8&1\\ 1&-3&9&-6\\ 0&2&-5&2\\ 1&4&0&6\\ \end{vmatrix} =-27 D3?=∣∣∣∣∣∣∣∣?2101?1?324?89?50?1?626?∣∣∣∣∣∣∣∣?=?27
D4=∣21?581?30902?1?514?70∣=27D_4= \begin{vmatrix} 2&1&-5&8\\ 1&-3&0&9\\ 0&2&-1&-5\\ 1&4&-7&0\\ \end{vmatrix} =27 D4?=∣∣∣∣∣∣∣∣?2101?1?324??50?1?7?89?50?∣∣∣∣∣∣∣∣?=27
根據(jù)克拉默法則，原方程組的唯一解為：x1=3,x2=?4,x3=?1,x4=1根據(jù)克拉默法則，原方程組的唯一解為：\\ x_1=3, x_2=-4, x_3=-1, x_4=1 根據(jù)克拉默法則，原方程組的唯一解為：x1?=3,x2?=?4,x3?=?1,x4?=1
總結(jié)
在克拉默法則的使用中其仍有不足：
1.當(dāng)變量個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)相等時(shí)，線(xiàn)性方程組有唯一的解，但若不相等時(shí)就無(wú)法用克拉默法則，須用矩陣的秩來(lái)判斷。
2. 利用克拉默法則給出的計(jì)算公式求n元線(xiàn)性方程組的解時(shí)，須計(jì)算n+1個(gè)n階行列式，當(dāng)n較大時(shí)，計(jì)算量較大，相比來(lái)說(shuō)，“高斯消去法”解線(xiàn)性方程更實(shí)用。
總結(jié)
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