2:GL ()n D ?→ : S A , T B . 直接驗證?是群單同態,

而且im G ?=. □

15. 設群G 滿足: 存在正整數i 使得對任意,a b G ∈都有()k k k ab a b =, 其

中,1,2k i i i =++. 證明: G 是一個交換群.

證明: 由()i i i ab a b =和111()i i i ab a b +++=得:

111()()()()()i i i i i i ab a b ab ab ab a b +++===, 從而, 1i i i i ba b a b +=, 即:

i i ba a b =.

同理可得: 11i i ba a b ++=. 于是:

11()()i i i i a ba ba a b a ab ++===, 即: ab ba =. □

16. 在群2()SL 中, 證明元素0110a -??= ???的階為4, 元素1101b --??= ?-??

的 階為3, 而ab 的階為∞.

證明: 直接驗證. □

17. 如果群G 為一個交換群, 證明G 的全體有限階元素組成一個子

群.

證明: 設{|()}H g G o g =∈

意,a b H ∈, 設()o a m =, ()o b n =, 則1()o b n -=;

11()()mn m n ab a b e --==, 即: 1ab H -∈. □

18. 如果群G 只有有限多個子群, 證明G 是有限群.

證明: 首先證明: 對任意a G ∈有()o a

由k a 生成的子群, 其中, 1k ≥是整數. 則

242m a a a a ????????????? . 由于G 只有有限多 個子群, 所以必然存在m 使得2(1)22(2)m m m a a a ++??=??=??= ,

總結

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