• 數論
• • 四、二次同余和平方剩余
  • • 二次剩余
  • 五、原根與指標
• 抽象代數
• • 群
  • • 半群
    • 群
    • 群元素的階
    • 循環群 *
    • 陪集與商群
  • 環
  • • 環的定義
    • 整環
    • 理想
  • 域
  • • 域的特征
    • 域的同構
    • 域上的多項式
    • 不可約多項式
    • 有限域理論

主要是一些數論和近世代數的內容，實在是太抽象了，這里把一些課本上的定理，還有網絡的參考資料記錄下，方便自己以后回顧~
課本《編碼理論基礎》 陳魯生和《信息安全數學基礎》陳恭亮

數論

四、二次同余和平方剩余

二次同余式的一般形式：

二次剩余

定義

討論模為素數$p$的二次同余式: $x^2\equiv a(modp),（a,p）=1$ (1)：

平方剩余的推論：

定義勒讓德符號來判斷整數a是否是模奇數p的二次剩余:

歐拉判別法則：
關于勒讓德符號的一些性質：

這些性質一般用于計算勒讓德符號 下面同樣是一些計算勒讓德符號的性質和定理;


二次互反律

注意p，q是互素的奇素數，如果不是可以用上面的性質進行拆分
將勒讓德符號中定義的模p拓展到一般情況 模 m 就可以用雅可比符號進行判定。

雅可比符號的一些性質：

用于計算的重要引理定理：

五、原根與指標

討論關于$a^n\equiv 1(modm)$ 的問題
定義 $or{d}_m（a）：$

階是滿足 4.1 的最小正整數 ，只有當階是$\phi (m)$時候 才能稱a 是模$m$的原根

即n一定要是$or{d}_m（a）$的倍數 才能使得式子成立。

因為歐拉定理，$a^{\phi (m)}\equiv 1（modm）$ 所以在計算$or{d}_m（a）$時候 可以在 $\phi (m)$的因式中找。

關于(ii) :

可以用于簡化計算 例如：

首先計算$or{d}_m（a）$的值 ，找出與大指數23456 mod $or{d}_m（a）$ 相同的值 那么 大指數轉換為小指數

推論：



將$\phi (m)進行標準的因式分解，然后判斷$

抽象代數

群

半群

半群的定義： 滿足運算的結合律 ，這里的運算需要抽象的去理解

半群滿足交換律的叫做可交換半群：

幺元： 存在 $e\in S$對任意$a\in S$ 都有$a?e=e?a=a$

群

群相對于半群的區別： 帶幺半群+單位元e+每個元素存在逆元

定理：逆元存在且唯一

子群:

定理：一個群的子群的單位元也是該群的單位元，在子群中的逆元也是在該群中的逆元。

判斷子群的必要條件：

群元素的階

存在使得$a^n=e$成立的n 稱為 元素a的階 如果不存在 那么稱群元素a的階是無限的。
群元素階的性質:

群的同構

對于同構映射的兩個群，如果e是一個群的單位元，那么$f(e)$是另外一個群的單位元，且存在$f(a^{?1})=f(a{)}^{?1}$
對于兩個形式上不同的群，如果他們是同構的，那么我們就看也抽象的將他們看成本質上相同的群，所不同的只是所用的符號不同而已。

循環群 *

循環群$G$有一個生成元a,且這個生成元的階是n 即有$a^n=e$,這個群$G$的階是n，有限階的循環群的個數也是n：
$n=生成元的階=群的階=有限階循環群的元素個數$
定理2.8 ：循環群的子群也是循環群
定理2.9 ：

理解： n的一個因數m，n階循環群$G$的m階循環子群存在且唯一。

陪集與商群

即取群$G$中的元素作為代表元，與子群$H$的所有元素進行群的運算形成的新的集合稱為陪集。
定理2.10

推論2.2設 $<G,+>$是一個$p$有限小環群，如果$p$是素數，則 $<G,+>$是循環群.
素數階的有限交換群是循環群.

環

環的定義

環是在集合上定義了兩個運算+和* ，對于加法滿足交換群，對于乘法滿足半群。且乘法對加法滿足左分配律和右分配律。
對于環如果存在乘法單位元，那么稱環是帶幺環。
定義：只含有有限個元素的環稱為有限環

整環

如果一個環沒有零因子那么這個環關于乘法的消去律成立，反之也成立
定義2.17 一個不含零因子的帶幺交換環稱為整環，整環滿足乘法消去律。
子環：

理想

從一個環的子環中取一個元素，從該環中任取一個元素，做乘法運算仍然屬于子環$I$，那么這個子環是該環的一個理想。
對于一個環$\{R,+，?\}$ ,$0$和R是R的兩個理想，稱之為$R$的平凡理想，R的其他理想稱為真理想

環的同構

如果兩個形式上不同的環，如果它們是同構的，那么我們就可以抽象的將他們看成本質上相同的環。對于兩個同構的環，所不同的只不過是它們相應元素的符號不同而已，本質上是相同的，同構的環可以看成是同一個環。

域

定義：只含有有限個元素的域稱為有限域，有限域也成為Galois 域（Galois field） ，含有q個元素的有限域記為 $F_q$或者$GF(q)$
定理2.17：域一定是整環
定理2.18：有限整環一定是域

子域

域的特征

滿足$ne=0$的最小正整數$n$為 域$F$的特征，e是乘法單位元，0是加法單位元。 若沒有特征就是0 ，有理數域、實數域、復數域的特征都是0.
定理2.20：

有限域的特征一定為素數
定理2.21


推論：

域的同構

域的同構定義與環的同構定義完全一樣，兩個同構的域只不過是它們相應的符號不同而已，同構的域的本質是相同的，今后我們往往將同構的域堪稱同一個域。
$定理2.23：設F和F‘是兩個同構的域，則F和F^{\prime }的特征相同$ 同構的域特征相同
自同構映射: F到自身的同構映射
定理2.24

素域：

域上的多項式

關于域上多項式的定義：

關于域上多項式的乘法和加法的定義:

保證兩個式子最高次項存在

在$F_2[x]上定義的多項式系數只能是0，1$

最高公因式和最低公倍式

不可約多項式

唯一因式分解定理

多項式的重因式
$f(x)的形式導數表示為f^{\prime }(x)$

多項式的形式導數滿足的性質
沒有重因式的充要條件：
$f(x)$與$f^{\prime }(x)$互素 即$gcd(f(x),f^{\prime }(x))=1$
余元定理

對于域F上根的充要條件:


分裂域

F是一個域，對F上的任意一個多項式$f(x)$都存在一個分裂域，并且$f(x)$的任意兩個分裂域都是同構的。

多項式的理想與商環

有限域理論

總結

以上是生活随笔為你收集整理的一些密码学数学基础的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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