近世代数 [计算机数学专题(3)]
近世代數：群、環、域。
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群簡介
? ? ? ? 群論：在集合的基礎上引進了運算。不了解集合可以點擊《集合論》。不同集合本身的交、并、補運算，而是以集合的形式和基本四則(+ - * /)運算等來表示的群。
? ? ? ? 群論是法國數學家伽羅瓦發明，解決了五次方程問題。
? ? ? ? 群的概念如同集合一般，是數學中最基本的概念。
常見應用場景：
- ? ? ? ? 在數學上，應用于幾何學、代數拓撲學、函數論、泛函分析......
- ? ? ? ? 在算法競賽里，群論多用于組合計數......
- ? ? ? ? 在計算機安全中，服務于著名的橢圓曲線加密、DES、RAS，以及子群成員問題......
- ? ? ? ? C++的標準模版庫STL就與群的同構有關......
群的封閉性
? ? ? ?高中我們學習的集合如：自然數集N、整數集Z、有理數集Q、實數集R、復數集C。
? ? ? ?都是數字。
? ? ? ?數字本身就是 +、-、*、/、乘方、開方等各種運算，單純的集合運算只有交、并、補等并不支持加減乘除等數字的運算，所以我們可以為運算引進來。
? ? ? 群的定義，需要滿足 4 個條件。
? ? ? NO.1 ： 封閉性，
? ? ? 解釋一下 NO.1：集合G中元素運算規則，
? ? ? ??且 ?屬于?集合G 的元素，op 可以表示為+、-、*、/、乘方、開方等各種運算。
? ? ? 滿足數字運算，并且參與運算的倆個數字本身屬于集合G，運算出的結果也屬于集合G，這是我們叫集合G為 "運算的封閉性"，e.g.
- ? ? ? ??
? ? ? 2 和 3 是自然數，那么 2 + 3 也是自然數，同屬于一個集合，
- ? ? ? ??
群的結合律
? ? ? ? ?NO.2 ：結合律，
? ? ? ? 解釋一下 NO.2：結合律表示集合G中的元素運算不用拘泥于運算順序，
? ? ? ? (A op B) op C = A op (B op C)
? ? ? ? 這數字的乘法結合律一樣，
? ? ? ? e.g.? ? (1 *?2) *?3 = 1 *?(2 *?3)
群的單位元
? ? ? ? ??NO.3?：單位元，
? ? ? ? ? 解釋一下 NO.3：集合G中的單位元，
? ? ? ? ? 單位元：元素與單位元經過運算之后的結果是元素本身。這個很好舉例，假設 G 是自然數集，自然數中任意一個數乘以 1，運算結果還是那個元素。
? ? ? ? ? e.g.? ? ?9999 * 1 = 9999
? ? ? ? ? 這個 1 ，就是單位元的概念。
? ? ? ? ? 學術一點，對于任意元素 a，元素與元素e 的運算結果始終為 a，這個元素e 被稱為單位元e。
- ? ? ? ? ? a * e = a
- ? ? ? ? ? a * e = e * a = a
群的逆元
? ? ? ? ???NO.4?：?記?
? ? ? ? ? ? 解釋一下 NO.4:? 集合G中的逆元，
? ? ? ? ? ? 逆元：假設 a 為集合G的元素，e 為單位元，對于 a 存在??滿足等式：
- ? ? ? ? ?a * b = e
- ? ? ? ? ?a * b = b * a = e
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 則稱 b 為當前運算符的 a 的逆元。
? ? ? ? ? ? ? e.g.? ?a = 10, 那么 a 的 e 是 1，因為 10 * 1 = 10。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??上面是乘法 (*號可以換成別的) 如果是運算符加法，那么逆元?b = -10。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??p.s. 逆元通常抽象得記為???or?。
群的定義
? ? ? ? ?學了上面 4 個的定義是構成群的基本條件，因此群的定義：
? ? ?在一個集合G中，滿足以下 4 個條件
思考題
- 整數集Z 和 加法符號+ 能構成一個群嗎 ？
- ?
- 奇數集合 與 加法符號+ 能構成一個群嗎 ？
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? p.s. 不能，想一想為什么......
- 整數集Z 和 乘法符號*?能構成一個群嗎 ？
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? p.s. 不能，想一想為什么......
- 偶數集合 與 乘法符號*?能構成一個群嗎 ？
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??p.s. 不能，想一想為什么......
- 最小的群是什么 ？
? ? ? ? ? ? ? 是否如同集合的空集一樣，但群得存在單位元，存在元就會有逆元，ta們間的關系是 e op e = e 嗎 ~
阿貝爾群
? ? ? ? ? ? ?定義在普通群上加一條交換律，就是阿貝爾群。
? ? ? ? ? ? ? ? ?e.g.?
- ? ? ? ? ? ? ? ? a + b = b + a，
- ? ? ? ? ? ? ? ? a - b = b - a，
- ? ? ? ? ? ? ? ? ......
? ? ? ? ? ? ?如果只是結合律，a - b = b - a 可能會滿足不了。?
? ? ? ? ? ? ?橢圓曲線中有著作為阿貝爾群的結構，即用阿貝爾群的結構為研究橢圓曲線。
同構
? ? ? ? ? ? 上個世紀時，業界都認為：只有范疇理論(約束條件多)才能很好的處理編程問題，而模型就是范疇理論的具體實踐。
? ? ? ? ? ? 當時人們想打造一個理論模型可以映射為C++的標準模版庫STL。
? ? ? ? ? ? 這個理論模型與STL模版(倆個模型的一一映射)之間的映射便是群的同構。
? ? ? ? ? ? 而這個理論模型的約束條件極少，很多計算機專家就表示反對。
? ? ? ? ? ? 像 Iterator 等的基礎概念，在模版庫里面并沒有明確定義。
? ? ? ? ? ? 雖然數組和鏈表從計算角度來看并不同構，但 STL算法可以通過適當的跌代器同時處理倆種數據結構，因此才讓 STL 靈活度很高。
? ? ? ? ? ? 我們把元素個數相同的群叫同構群，所以說：如果群的元素數量是相同，那么群就相同，因為本質上ta們都是一個群。
? ? ? ? ? ? 舉個例子，當群的元素個數為 2 時，
? ? ? ? ? ? 當群G的元素是 -1 和 1時，群的乘運算滿足：
- ? ? ? 1 * 1 = 1
- ? ? ? 1 * -1 = -1
- ? ? ? -1 * 1 = 1
- ? ? ? -1 * -1 = 1
? ? ? ? ? ?
| ?? | 1 | -1 |
| 1 | 1 | -1 |
| -1 | -1 | 1 |
? ? ? ? ? ? ? 我們一般化這倆個元素的群，單位元e是 1，-1是另外的元素。
| 任意運算符 | e | a |
| e | e | a |
| a | a | e |
? ? ? ? ? ? ? ?還可以把 e 替換(映射)為偶數，a 替換(映射)為奇數，符號為加法，分析起來也是滿足的。
| + | 偶數 | 奇數 |
| 偶數 | 偶數 | 奇數 |
| 奇數 | 奇數 | 偶數 |
? ? ? ? ? ? ? ?還有許多的具體示例，但TA們本質都是一個，只是可以映射許多事物罷了。
? ? ? ? ? ? ? ?在群里面并不沒有區別，就好像在集合中元素順序并不影響集合......
伽羅瓦
? ? ? ? ? ? ? 也許您也聽說過，TA是為紅顏與對手決斗而去。
? ? ? ? ? ? ? TA一生中最大的想法是推動政治革命，和大多數法國人一樣想推倒君主專制。
? ? ? ? ? ? ? 在一次反抗游行中被抓住，拘留 15?個月。
? ? ? ? ? ? ? 到第 2 月時，法國大霍亂(醫學史上最嚴重的一次)。
? ? ? ? ? ? ? 為了安全起見，犯人都被安排到康復之家。
? ? ? ? ? ? ? 伽羅瓦也是在康復之家遇到了斯蒂芬妮，怦然心動......
? ? ? ? ? ? ? 可斯蒂芬妮對TA若即若離，時冷時熱，伽羅瓦也是時而孤寂凄涼，時而熱情洋溢。
? ? ? ? ? ? ? 但斯蒂芬妮很可能是間諜，與伽羅瓦支持的黨派不同，所以伽羅瓦收到的是以情敵口吻的挑戰書(槍戰)。? ?
? ? ? ? ? ? ? 伽羅瓦也意識到自己時日無多，抓緊了 5 月 28、29、30 號這 3 天的時間，把自己關于群論的內容完善了出來，保留的稿件空白處，還經常能看到“我的時間不夠用了”這樣的短語。
? ? ? ? ? ? ?30號晚上，TA又寫了 3 封遺書，其中 2 封留給他的共和黨人，還有 1 封是關于群論的，留給了好友奧古斯特。? ? ? ??
? ? ? ? ? ? ?第二天早上的槍戰中，伽羅瓦輸給了那個軍人情敵，腹部中了3彈，送到醫院一天后死亡。 ? ?
? ? ? ? ? ? ?奧古斯特花了幾年時間整理和規范伽羅瓦的手稿，而后寄給了當時著名的數學家劉維爾。
? ? ? ? ? ? ?劉維爾在 1846 年代替伽羅瓦發表了群論的思想，這時法國政治也漸漸平穩，距離伽羅瓦去世已經 24 年了。
? ? ? ? ? ? ?......
? ? ? ? ? ? ?伽羅瓦生前也有把群論的思想寫成論文，寄給法國科學院被當時大數學家柯西審稿。
? ? ? ? ? ? ?柯西回信說，下次科學院例會時打算介紹這篇論文，可例會那天柯西把所有發言時間多用于介紹自己的論文。
? ? ? ? ? ? ?于是伽羅瓦又一次寄給科學院，這次論文是被傅里葉手中，可一天天后依然沒有任何回信，后來才知道傅里葉已經去世。
? ? ? ? ? ? ?......
? ? ? ? ? ? ?劉維爾在反思為什么伽羅瓦的理論在很長一段時間內不能得到理解的原因時，寫下了這樣一段話：
? ? ? ? ? ? ? ? ?過分地追求簡潔是導致這一缺憾的原因。人們在處理像純粹代數這樣抽象和神秘的事物時，應該首先盡力避免這樣做。
? ? ? ? ? ? ? ? ?事實上，當你試圖引導讀者遠離習以為常的思路進入較為困惑的領域時，清晰性是絕對必需的，就像笛卡爾說過的那樣：“在討論超前的問題時務必空前地清晰。”
? ? ? ? ? ? ? ? ?伽羅瓦太不把這條箴言放在心上，……伽羅瓦再也回不來了！
? ? ? ? ? ? ? ? ?我們不要再過分地作無用的批評，讓我們把缺憾拋開，找一找有價值的東西,……我的熱心得到了好報。
? ? ? ? ? ? ? ? ?在填補了一些細小的缺陷后，我看出了伽羅瓦用來證明這個美妙的定理的方法是完全正確的，在那個瞬間，我體驗到一種強烈的愉悅 。
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的近世代数 [计算机数学专题(3)]的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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