近世代數-群論基礎一

半群與群

半群：在集合，任意$x,y$經過一元運算$x°y$ 得到的結果依然是在該集合內的，且滿足結合律

幺半群：在半群的基礎上引入幺元（單位元）

定理2.1：括號的添加方式（位置）與結果無關

群：每個元素都可逆的幺半群

定義：非空集$G$按它的二元運算$°$，形成群當且僅當

• $G$對運算$°$封閉，即$a,b\in G?a°b\in G$
• 運算$°$ 滿足結合律
• 有單位元
• 每個元都可逆，即$a\in G$時有$b\in G$使得$a°b=e=b°a$

另外，一般把集合$X$的基數記為$|X|$，對于有限集合中基數$|X|$就是$X$中的元素總個數

若群$G$中元素有限，則稱為有限群，其元素總個數$|G|$稱為$G$的階，當$|G|=n$時稱$G$為n階群

在群的基礎上若滿足交換律，則稱$G$為Abel群或交換群

定理2.3：當半群滿足可除性條件，對任何$a,b\in G$，方程$ax=b$與$ya=b$在$G$中都有解，半群形成群

定理2.4：設$G$為群，則$G$中有消去律

當有限半群$G$中具有消去律，則$G$必為消去律（特殊地，自然數數集$N$按加法形成具有消去律的半群不是群）

群的例子

數論的例子

• Pell方程

$G_d=\{x+y\sqrt{d}:x,y\in \mathbb{Z}且x^2?d{y}^2=1\}$，按數的乘法形成Abel群

線性代數的例子

• 矩陣

$G{L}_n(\mathbb{R})=\{n階實方陣A:detA=0\}$以及$S{L}_n(\mathbb{R})=\{n階實方陣A:detA=1\}$

按矩陣的乘法形成群；前者稱為一般線性群，后者稱為特殊線性群

其他

• 函數

實數區間$I$上全體連續的實函數按函數加法（$f+g$在$x\in I$處值定義為$f(x)+g(x)$）形成Abel群；此時區間$I$上零函數$O(x)=0$為連續函數，它是Abel群的加法單位元（零元）

• 整數加群

任給正整數$m$，

$m\mathbb{Z}=\{mx:x\in \mathbb{Z}\}=\{?,?2m,?m,0,m,2m,?\}$，按整數的加法形成Abel群，整數$0$為其加法單位元；且該群通常叫做整數加群

PS：$m$的倍數可以表示作$m\mathbb{Z}$

• 模$m$同余關系

$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

• 集合上的等價關系

設非空集合$X$上的等價關系寫作$～$，則該關系滿足

自反性：$x～x$；對稱性：$x～y?y～x$；傳遞性：$x～y～z?x～z$

等價類：$x\in X$所在的等價類指$\{y\in X:x～y\}$；不同等價類并集為空

• $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$上的加乘法

模$m$同余關系是整數集$\mathbb{Z}$上的等價關系，$a\in \mathbb{Z}$所在的等價類為
$$\bar{a}=a+m\mathbb{Z}=\{x\in \mathbb{Z}:x\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)\}$$
稱$a$所在的模$m$剩余類在集合
$$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}=\{\bar{a}=a+m\mathbb{Z}:a\in \mathbb{Z}\}=\{\bar{0},\bar{1},?,\overline{m?1}\}$$
上，定義其加法與乘法為：
$$\bar{a}+\bar{b}=\overline{a+b},\bar{a}\bar{b}=\overline{ab}$$
證明定義的合理性

若$a,c$為$\bar{a}$剩余類中的元素，而$b,d$為$\bar{b}$剩余類中的元素；則
$$\begin{gathered} a\equiv c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)且b\equiv d(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m) \\ ?a+b\equiv c+d(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)且ab\equiv cd(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m) \end{gathered}$$
以此類推，分別遍歷$\bar{a}$與$\bar{b}$中剩余類的所有元素得到以上類似同余式，所以
$$\overline{a+b}=\overline{c+d}且\overline{ab}=\overline{cd}$$
以上加乘法滿足結合律與交換律

故$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$按剩余類的加法形成$m$階Abel群，加法單元為$\bar{0}=m\mathbb{Z}$

• 單射與滿射（數學表達）

設$f$是集合$X$到集合$Y$的映射，若
$$f(x_1)=f(x_2)?x_1=x_2$$
則稱映射$f:X\to Y$是單射

若$\{f(x):x\in X\}=Y$，則稱$f：X\to Y$是滿射

當$f:X\to Y$既是單射又是雙射時，稱$f$為$X$到$Y$的雙射

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對稱群

設非空集$X$到ta自身的雙射叫$X$上的置換，所有$X$上的置換按照映射的復合構成群，其單位元是$X$上的單位元為恒等映射$I_x:x?x$；該群稱為$X$上的對稱群，記為$S(X)$

對稱群中的置換

$n$元集$X=\{x_1,?,x_n\}$上的一個置換相應于$x_1,?,x_n$的一個全排列；

$|X|=n$時$|S(X)|=n!$；對于正整數$n$，對稱群$S(\{1,?,n\})$簡記成$S_n$

一般表示作
$$\sigma =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$$
代表著$\sigma (1)=4,\sigma (3)=6,?$

PS：$|X|$表示$X$的階；恒等映射$?$ 單位元

對稱群 Groupe symétrique - 知乎 (zhihu.com)

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復數的幾何形式

Hamilton四元數（四維超復數）
$$z=a+bi+cj+dk,其中a,b,c,d為實數$$
其乘法的特殊之處

要求$i^2=j^2=k^2=ijk=?1$，則
$$\begin{gathered} ij=k,jk=i,ki=j \\ ji=?k,kj=?i,ik=?j \end{gathered}$$
（很顯然不滿足交換律）

故$D=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}$按乘法形成$8$階非交換群

Reference

近世代數_中國大學MOOC(慕課) (icourse163.org)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数-群论基础一的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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