1 問題

至此，總結一下已經研究過的排序算法：

insertion sort，$\Theta (n^2)$
merge sort, $\Theta (nlogn)$
quicksort, $\Theta (nlogn)$
heapsort,$\Theta (nlogn)$

• 從上面這個現象發現，這些算法的算法復雜度$\ge \Theta (nlogn)$;
• 從算法的細節上看，算法的最基本的思想是比較元素大小；

從上面的發現中，可以提出這樣一個猜想：

所有基于比較的排序算法，算法復雜度$\ge \Theta (nlogn)$。

2 證明結論

數學證明的思路分兩步，1??找到一種更加抽象的數學結構表達各種基于比較排序算法；2??研究這種抽象的數學結構的性質；3??利用得到的性質說明結論。

2.1 Decision-tree（抽象數學結構）

這個決策樹和Machine Learning里的決策樹本質上是一個意思。

• 先看一個簡單的例子
  
• 三個元素的Decision-tree很容易畫出，但是$\ge 4$就不容易畫出了，因為有$C_n^2$種比較，而每一次比較又有兩種結果，這些比較的結果中一部分就可以決定全序…，已經超出人腦處理范疇，計算機也不太容易處理；
• 仔細品品基于比較的排序算法，也是一頓比較之后確定一個全序，而這頓比較恰恰是Decision-tree所有比較之一，也就是Decision-tree的一條路徑；
• 不過我們不必過于糾結Decision-tree的細節結構，只需要知道它的存在性就足夠解決我們今天的問題了，這就是數學抽象之美；

2.2 Decision-tree的數學性質

2.3 結論得證

決定基于比較的排序算法的復雜度是比較的次數，用decision tree就是某一個路徑的高度$h$，現在已經證明整個二叉樹的高度$h\ge \Omega (nlogn)$，那就說明基于比較的排序算法的復雜度$\ge \Omega (nlogn)$。

3 強調重點

• 決定基于比較的排序算法的復雜度是比較的次數；
• 在input確定的情況下，某種基于比較的排序算法的比較序列和decision tree的結構可以確定，該算法的比較序列只是decision tree的某一條路徑；
• 基于比較的排序算法隨機化后仍符合上面的邏輯框架，結論仍然成立；

總結

以上是生活随笔為你收集整理的七、基于比较的排序算法总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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