注：本文轉載于兩篇博文，感謝博主

轉載于：

https://blog.csdn.net/yuzhihui_no1/article/details/44258297

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?堆排序是由1991年的計算機先驅獎獲得者、斯坦福大學計算機科學系教授羅伯特.弗洛伊德(Robert W．Floyd）和威廉姆斯(J．Williams）在1964年共同發明了的一種排序算法（ Heap Sort )；

????????堆排序(Heapsort)是指利用堆積樹（堆）這種數據結構所設計的一種排序算法，它是選擇排序的一種。可以利用數組的特點快速定位指定索引的元素。堆分為大根堆和小根堆，是完全二叉樹。大根堆的要求是每個節點的值都不大于其父節點的值，即A[PARENT[i]] >= A[i]。在數組的非降序排序中，需要使用的就是大根堆，因為根據大根堆的要求可知，最大的值一定在堆頂。

算法分析
????????其實這種算法看起來挺復雜，但是如果真正理解了就會感覺非常簡單的；

????????基本思想：把待排序的元素按照大小在二叉樹位置上排列，排序好的元素要滿足：父節點的元素要大于等于其子節點；這個過程叫做堆化過程，如果根節點存放的是最大的數，則叫做大根堆；如果是最小的數，自然就叫做小根堆了。根據這個特性（大根堆根最大，小根堆根最小），就可以把根節點拿出來，然后再堆化下，再把根節點拿出來，，，，循環到最后一個節點，就排序好了。

????????基本步驟：

????????其實整個排序主要核心就是堆化過程，堆化過程一般是用父節點和他的孩子節點進行比較，取最大的孩子節點和其進行交換；但是要注意這應該是個逆序的，先排序好子樹的順序，然后再一步步往上，到排序根節點上。然后又相反（因為根節點也可能是很小的）的，從根節點往子樹上排序。最后才能把所有元素排序好；具體的操作可以看代碼，也可以看看下面的圖示：

????????

實現代碼

? ? ? ??理解代碼：i節點的孩子節點為 2i +1和 2i+2 ；i節點的 父節點為：(i-1)/2；最后一個非葉子節點：n/2 - 1；下面的代碼是實現的大根堆，把元素從小到大依次排序；

#include<stdio.h>#define LEN 12//打印數組void print_array(int *array, int length){int index = 0;printf("array:\n");for(; index < length; index++){printf(" %d,", *(array+index));}printf("\n\n");}//堆化函數void _heapSort(int *array, int i, int length){int child, tmp;//這個是改變了哪個節點，就從該節點開始對以該節點為根節點的子樹進行排序for (; 2*i + 1 < length; i = child){//依次到它的子樹的子樹。。。。child = 2*i + 1;if ((child +1 < length) && (array[child+1] > array[child])) child++;//選個最大的孩子節點if (array[i] < array[child]){//最大子節點和父節點進行交互tmp = array[i];array[i] = array[child];array[child] = tmp;}else break;} }void BuildMaxHeap(int *array, int length){//初始化堆int i;for (i = length/2 - 1; i >= 0; i--) _heapSort(array, i, length);//從第一個非葉子節點開始排序，一直到根節點}void heapSort(int *array, int length){int i, tmp;if (length <= 1) return;//如果元素小于1，則退出//這一步是先把元素都堆化好，后面的話 哪個節點修改過，就從哪個節點開始對以它為根節點的子樹進行堆化//初始化堆 BuildMaxHeap(array, length);// 先抽取到根節點，然后再對元素進行堆化，然后又抽取根節點，再對元素進行堆化。。。。依次循環for (i = 0; i < length; i++ ){tmp = array[0];array[0] = array[length-i-1];array[length -i-1] = tmp;_heapSort(array, 0, length-1-i);//堆化子樹}}int main(void){int array[LEN] = {2, 1, 4, 0, 12, 520, 2, 9, 5, 3, 13, 14};print_array(array, LEN);heapSort(array, LEN);print_array(array, LEN);return 0;}

時間復雜度

? ? ? 初始化堆：O（n）

????????堆排序的時間復雜度，主要在初始化堆過程和每次選取最大數后重新建堆的過程；

??????????初始化建堆過程時間：O(n)

????????推算過程：

????????首先要理解怎么計算這個堆化過程所消耗的時間，可以直接畫圖去理解；

????????假設高度為k，則從倒數第二層右邊的節點開始，這一層的節點都要執行子節點比較然后交換（如果順序是對的就不用交換）；倒數第三層呢，則會選擇其子節點進行比較和交換，如果沒交換就可以不用再執行下去了。如果交換了，那么又要選擇一支子樹進行比較和交換；

????????那么總的時間計算為：s = 2^( i - 1 ) ?* ?( k - i )；其中 i 表示第幾層，2^( i - 1) 表示該層上有多少個元素，( k - i) 表示子樹上要比較的次數，如果在最差的條件下，就是比較次數后還要交換；因為這個是常數，所以提出來后可以忽略；

????????S = 2^(k-2) * 1 + 2^(k-3)*2.....+2*(k-2)+2^(0)*(k-1) ?===> 因為葉子層不用交換，所以i從 k-1 開始到 1；

????????這個等式求解，我想高中已經會了：等式左右乘上2，然后和原來的等式相減，就變成了：

????????S = 2^(k - 1) + 2^(k - 2) + 2^(k - 3) ..... + 2 - (k-1)? （注：說明時間復雜度與樹的高度有關）

????????除最后一項外，就是一個等比數列了，直接用求和公式：S = { ?a1[ 1- ?(q^n) ] } ?/ (1-q)；

????????S = 2^k -k -1；又因為k為完全二叉樹的深度，所以 (2^k) <= ?n < (2^k ?-1 )，總之：可以認為k = logn （實際計算得到應該是 log(n+1) < k <= logn ）;

? ? ? ??綜上所述得到：S = n - logn -1，所以時間復雜度為：O(n)

? ? ? ?

? ? 排序重建堆：

?

? ? ? ?　在取出堆頂點放到對應位置并把原堆的最后一個節點填充到堆頂點之后，需要對堆進行重建，只需要對堆的頂點調用_heapSort()函數。?
　　每次重建意味著有一個節點出堆，所以需要將堆的容量減一。_heapSort()函數的時間復雜度k=log(n)，k為堆的層數。所以在每次重建時，隨著堆的容量的減小，層數會下降，函數時間復雜度會變化。重建堆一共需要n-1次循環，每次循環的比較次數為log(i)，則相加為：log2+log3+…+log(n-1)+log(n)≈log(n!)。可以證明log(n!)和nlog(n)是同階函數：?
　　∵(n/2)n/2≤n!≤nn,∵(n/2)n/2≤n!≤nn,?
　　∴n/4log(n)=n/2log(n1/2)≤n/2log(n/2)≤log(n!)≤nlog(n)∴n/4log?(n)=n/2log?(n1/2)≤n/2log?(n/2)≤log?(n!)≤nlog?(n)?
　　所以時間復雜度為O(nlogn)
? ? ? ?故堆排序（heapSort()）時間復雜度為：O(nlogn)

? ??
?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的堆排序时间复杂度的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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