注：本文轉(zhuǎn)載于兩篇博文，感謝博主

轉(zhuǎn)載于：

https://blog.csdn.net/yuzhihui_no1/article/details/44258297

https://blog.csdn.net/qq_34228570/article/details/80024306

?堆排序是由1991年的計(jì)算機(jī)先驅(qū)獎(jiǎng)獲得者、斯坦福大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)系教授羅伯特.弗洛伊德(Robert W．Floyd）和威廉姆斯(J．Williams）在1964年共同發(fā)明了的一種排序算法（ Heap Sort )；

????????堆排序(Heapsort)是指利用堆積樹（堆）這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)所設(shè)計(jì)的一種排序算法，它是選擇排序的一種?？梢岳脭?shù)組的特點(diǎn)快速定位指定索引的元素。堆分為大根堆和小根堆，是完全二叉樹。大根堆的要求是每個(gè)節(jié)點(diǎn)的值都不大于其父節(jié)點(diǎn)的值，即A[PARENT[i]] >= A[i]。在數(shù)組的非降序排序中，需要使用的就是大根堆，因?yàn)楦鶕?jù)大根堆的要求可知，最大的值一定在堆頂。

算法分析
????????其實(shí)這種算法看起來挺復(fù)雜，但是如果真正理解了就會(huì)感覺非常簡單的；

????????基本思想：把待排序的元素按照大小在二叉樹位置上排列，排序好的元素要滿足：父節(jié)點(diǎn)的元素要大于等于其子節(jié)點(diǎn)；這個(gè)過程叫做堆化過程，如果根節(jié)點(diǎn)存放的是最大的數(shù)，則叫做大根堆；如果是最小的數(shù)，自然就叫做小根堆了。根據(jù)這個(gè)特性（大根堆根最大，小根堆根最小），就可以把根節(jié)點(diǎn)拿出來，然后再堆化下，再把根節(jié)點(diǎn)拿出來，，，，循環(huán)到最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)，就排序好了。

????????基本步驟：

????????其實(shí)整個(gè)排序主要核心就是堆化過程，堆化過程一般是用父節(jié)點(diǎn)和他的孩子節(jié)點(diǎn)進(jìn)行比較，取最大的孩子節(jié)點(diǎn)和其進(jìn)行交換；但是要注意這應(yīng)該是個(gè)逆序的，先排序好子樹的順序，然后再一步步往上，到排序根節(jié)點(diǎn)上。然后又相反（因?yàn)楦?jié)點(diǎn)也可能是很小的）的，從根節(jié)點(diǎn)往子樹上排序。最后才能把所有元素排序好；具體的操作可以看代碼，也可以看看下面的圖示：

????????

實(shí)現(xiàn)代碼

? ? ? ??理解代碼：i節(jié)點(diǎn)的孩子節(jié)點(diǎn)為 2i +1和 2i+2 ；i節(jié)點(diǎn)的 父節(jié)點(diǎn)為：(i-1)/2；最后一個(gè)非葉子節(jié)點(diǎn)：n/2 - 1；下面的代碼是實(shí)現(xiàn)的大根堆，把元素從小到大依次排序；

#include<stdio.h>#define LEN 12//打印數(shù)組void print_array(int *array, int length){int index = 0;printf("array:\n");for(; index < length; index++){printf(" %d,", *(array+index));}printf("\n\n");}//堆化函數(shù)void _heapSort(int *array, int i, int length){int child, tmp;//這個(gè)是改變了哪個(gè)節(jié)點(diǎn)，就從該節(jié)點(diǎn)開始對(duì)以該節(jié)點(diǎn)為根節(jié)點(diǎn)的子樹進(jìn)行排序for (; 2*i + 1 < length; i = child){//依次到它的子樹的子樹。。。。child = 2*i + 1;if ((child +1 < length) && (array[child+1] > array[child])) child++;//選個(gè)最大的孩子節(jié)點(diǎn)if (array[i] < array[child]){//最大子節(jié)點(diǎn)和父節(jié)點(diǎn)進(jìn)行交互tmp = array[i];array[i] = array[child];array[child] = tmp;}else break;} }void BuildMaxHeap(int *array, int length){//初始化堆int i;for (i = length/2 - 1; i >= 0; i--) _heapSort(array, i, length);//從第一個(gè)非葉子節(jié)點(diǎn)開始排序，一直到根節(jié)點(diǎn)}void heapSort(int *array, int length){int i, tmp;if (length <= 1) return;//如果元素小于1，則退出//這一步是先把元素都堆化好，后面的話 哪個(gè)節(jié)點(diǎn)修改過，就從哪個(gè)節(jié)點(diǎn)開始對(duì)以它為根節(jié)點(diǎn)的子樹進(jìn)行堆化//初始化堆 BuildMaxHeap(array, length);// 先抽取到根節(jié)點(diǎn)，然后再對(duì)元素進(jìn)行堆化，然后又抽取根節(jié)點(diǎn)，再對(duì)元素進(jìn)行堆化。。。。依次循環(huán)for (i = 0; i < length; i++ ){tmp = array[0];array[0] = array[length-i-1];array[length -i-1] = tmp;_heapSort(array, 0, length-1-i);//堆化子樹}}int main(void){int array[LEN] = {2, 1, 4, 0, 12, 520, 2, 9, 5, 3, 13, 14};print_array(array, LEN);heapSort(array, LEN);print_array(array, LEN);return 0;}

時(shí)間復(fù)雜度

? ? ? 初始化堆：O（n）

????????堆排序的時(shí)間復(fù)雜度，主要在初始化堆過程和每次選取最大數(shù)后重新建堆的過程；

??????????初始化建堆過程時(shí)間：O(n)

????????推算過程：

????????首先要理解怎么計(jì)算這個(gè)堆化過程所消耗的時(shí)間，可以直接畫圖去理解；

????????假設(shè)高度為k，則從倒數(shù)第二層右邊的節(jié)點(diǎn)開始，這一層的節(jié)點(diǎn)都要執(zhí)行子節(jié)點(diǎn)比較然后交換（如果順序是對(duì)的就不用交換）；倒數(shù)第三層呢，則會(huì)選擇其子節(jié)點(diǎn)進(jìn)行比較和交換，如果沒交換就可以不用再執(zhí)行下去了。如果交換了，那么又要選擇一支子樹進(jìn)行比較和交換；

????????那么總的時(shí)間計(jì)算為：s = 2^( i - 1 ) ?* ?( k - i )；其中 i 表示第幾層，2^( i - 1) 表示該層上有多少個(gè)元素，( k - i) 表示子樹上要比較的次數(shù)，如果在最差的條件下，就是比較次數(shù)后還要交換；因?yàn)檫@個(gè)是常數(shù)，所以提出來后可以忽略；

????????S = 2^(k-2) * 1 + 2^(k-3)*2.....+2*(k-2)+2^(0)*(k-1) ?===> 因?yàn)槿~子層不用交換，所以i從 k-1 開始到 1；

????????這個(gè)等式求解，我想高中已經(jīng)會(huì)了：等式左右乘上2，然后和原來的等式相減，就變成了：

????????S = 2^(k - 1) + 2^(k - 2) + 2^(k - 3) ..... + 2 - (k-1)? （注：說明時(shí)間復(fù)雜度與樹的高度有關(guān)）

????????除最后一項(xiàng)外，就是一個(gè)等比數(shù)列了，直接用求和公式：S = { ?a1[ 1- ?(q^n) ] } ?/ (1-q)；

????????S = 2^k -k -1；又因?yàn)?span style="color:#f33b45;">k為完全二叉樹的深度，所以 (2^k) <= ?n < (2^k ?-1 )，總之：可以認(rèn)為k = logn （實(shí)際計(jì)算得到應(yīng)該是 log(n+1) < k <= logn ）;

? ? ? ??綜上所述得到：S = n - logn -1，所以時(shí)間復(fù)雜度為：O(n)

? ? ? ?

? ? 排序重建堆：

?

? ? ? ?　在取出堆頂點(diǎn)放到對(duì)應(yīng)位置并把原堆的最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)填充到堆頂點(diǎn)之后，需要對(duì)堆進(jìn)行重建，只需要對(duì)堆的頂點(diǎn)調(diào)用_heapSort()函數(shù)。?
　　每次重建意味著有一個(gè)節(jié)點(diǎn)出堆，所以需要將堆的容量減一。_heapSort()函數(shù)的時(shí)間復(fù)雜度k=log(n)，k為堆的層數(shù)。所以在每次重建時(shí)，隨著堆的容量的減小，層數(shù)會(huì)下降，函數(shù)時(shí)間復(fù)雜度會(huì)變化。重建堆一共需要n-1次循環(huán)，每次循環(huán)的比較次數(shù)為log(i)，則相加為：log2+log3+…+log(n-1)+log(n)≈log(n!)?？梢宰C明log(n!)和nlog(n)是同階函數(shù)：?
　　∵(n/2)n/2≤n!≤nn,∵(n/2)n/2≤n!≤nn,?
　　∴n/4log(n)=n/2log(n1/2)≤n/2log(n/2)≤log(n!)≤nlog(n)∴n/4log?(n)=n/2log?(n1/2)≤n/2log?(n/2)≤log?(n!)≤nlog?(n)?
　　所以時(shí)間復(fù)雜度為O(nlogn)
? ? ? ?故堆排序（heapSort()）時(shí)間復(fù)雜度為：O(nlogn)

? ??
?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的堆排序时间复杂度的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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