信号与系统—傅里叶级数
? ? ? 寫在前面：相信很多接觸傅里葉級數的人都覺得這是一個很復雜的東西，包含大量的復雜公式并且不知道它是用來干什么的。此文從傅里葉級數的最初產生過程進行介紹，產生之初必然伴也隨著某種應用，更準確的說是應用促使發展出傅里葉級數來解決現實世界中存在的問題。因此本文以傅里葉級數在信號與系統中的應用為依托，來講解傅里葉級數到底是什么，為什么要用它，用它的好處是什么，相信很多人之后會對傅里葉級數有更清晰的認識。
? ? ? 本文總結參考奧本海姆《信號與系統》和西安電子科技大學《工程信號與系統》進行總結，不足之處還望批評指正。
??? 首先需要聲明的是我們所說的把一個函數或信號表示成傅里葉級數的形式，無論是連續時間傅里葉級數還是離散時間傅里葉級數都是相對于周期函數或周期信號的。
我們最開始接觸傅里葉級數應該是這種形式：
假設以2為周期的函數可以展開成三角級數的形式
這種表示稱為歐拉-傅里葉公式，但這種形式不僅難記，我們也很難理解為什么要這樣表示。所以我們首先解決第一個問題，即
問題1：傅里葉級數是用做干什么的，為什么要這樣表示？
在信號與系統中，為了便于分析，我們經常使用的一類系統是線性時不變（LTI）系統，因為這種系統對加法和數乘運算封閉，即此類系統具有齊次性和疊加性，所以若把該系統中的一個復雜信號分解成一系列簡單信號的線性組合形式，那么這些與原信號等價的簡單信號的響應就可以很方便的表示出原信號的響應。但是，分解成怎么樣的信號才算是簡單信號呢？在研究線性時不變系統（LTI）時，這種簡單信號應該?具有以下兩個性質：
至此，我們先回答第一個問題，我們把一個信號分解成傅里葉級數的形式，就是因為我們要把一個復雜信號分解成一系列的簡單的基本信號，而這個基本信號，應當具備上面兩個性質，而三角函數的表示方式也正好滿足了上面兩種性質。
到這里，肯定有人會問，為什么把信號表示成正弦、余弦信號組合的形式就是簡單信號了？為了回答這個問題，重點針對性質2，我們先引出第二個問題，
問題2：什么樣的信號對系統的響應十分簡單？
我們首先研究這樣一種信號，即復指數信號，在研究LTI系統時，復指數信號的重要性在于：一個LTI系統對復指數信號的響應仍是一個復指數信號，不同的只是幅度上的變化，即
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(1)
這就是說，對LTI系統，輸出僅是輸入乘以一個常數，這種信號，我們完全可以認為它滿足性質2
為了對式（1）進行說明，考慮一個單位沖激響應為 的連續時間LTI系統，對任意輸入 ，可由卷積積分確定其輸出，若 ，則
? ? ? ? ? ? ?(2)? ?
可寫為 ，則式（2）可寫為
? ? ? ? ? ?(3)
假定式（3）右邊積分收斂，系統對的響應為
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (4)
與系統單位沖激響應的關系為
? ? ? ? ? ? ? (5)
s是復數，是一個復常數（復振幅因子），其值決定于s。一個信號，若系統對該信號的輸出響應僅是一個常數（可能為復數）乘以輸入，則稱該信號為系統的特征函數，而幅度因子稱為系統的特征值。從而證明了復指數是系統的特征函數。
下面舉一例說明
例1：輸入和輸出是一個延遲為3的LTI系統，即，若該系統的輸入為復指數信號，那么與上式（4）具有相同的形式，因為是一個特征函數，有關的特征值為，該例還可以直接對式（5）進行驗證，該系統的單位沖激響應是，將其代入式（5）得，所以。
至此，我們可以回答問題2，復指數信號可以滿足性質2。
復指數信號作為輸入信號可以方便的得出輸出信號的響應，根據LTI系統對數乘和加法運算封閉，若一個信號可以表示成一系列復指數信號線性組合的形式，即復指數信號滿足性質1，就,可以導出一個LTI系統響應的方便表達式。具體的說，若一個連續時間LTI系統的輸入表示成復指數的線性組合，即
? ? ? ? ? ? ? ? (6)
那么輸出一定是
? ? ?(7)
例2：仍然使用例1中的系統，輸入信號改為，則輸出，利用歐拉關系將展開為：，由上式（6）、（7）有=
我們在上面用復指數信號已經解決了問題2，但復指數信號的線性組合也不是三角函數的表示方式啊，其實這個問題直覺上可以通過歐拉關系找到答案，歐拉關系表示式為，下面推導傅里葉級數的過程將詳細介紹這兩種表示形式的關系。
正如我們一開始所說的，我們研究的信號是周期信號，現在研究第三個問題
問題3：連續時間周期信號的傅里葉級數如何表示？
如果一個信號是周期的，那么對一切，存在某個正值，有
? ? ? ? ? ? (8)
?
?
總結
以上是生活随笔為你收集整理的信号与系统—傅里叶级数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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