在leetcode刷題過(guò)程中，遇到過(guò)很多關(guān)于排列組合的問(wèn)題。弄清楚排列組合的相關(guān)原理，是非常有用處的。

文章目錄

• • 1 問(wèn)題
  • 2 排列-有序選取
  • • 2.1 重復(fù)選取-可重排列
    • 2.2 不重復(fù)選取-排列
    • • 2.21 全排列
  • 3 例題
  • 4 總結(jié)

1 問(wèn)題

設(shè)集合S包含n個(gè)元素，從S中選取r個(gè)元素有多少種選取方法？

根據(jù)取出的元素是否允許重復(fù)，以及取出元素的過(guò)程是否有序，可以將上述問(wèn)題分為下面的四個(gè)子類型：

排列都是有序的，組合都是無(wú)序的。這在后面的學(xué)習(xí)中會(huì)深刻體會(huì)。

2 排列-有序選取

2.1 重復(fù)選取-可重排列

• 從 n 個(gè)不同的對(duì)象中， 取 r 個(gè)可重復(fù)的對(duì)象，按次序排列，稱為n取r的可重排列。
• 此也即當(dāng) |A|=n 時(shí)， A* 中長(zhǎng)為 r 的串的個(gè)數(shù)。

定理1：n取r的可重排列數(shù)目為n^r

2.2 不重復(fù)選取-排列

• 從 n 個(gè)不同的對(duì)象中， 取 r 個(gè)不重復(fù)的對(duì)象， 按次序排列， 稱為 n 取 r 的排列（permutation of n objects taken r at atime） 。 n 取 r 排列的全體構(gòu)成的集合用 P(n, r) 表示， 排列的個(gè)數(shù)用 P(n, r) 表示（由于個(gè)數(shù)的表示是斜體不容易區(qū)分，后面我們說(shuō)P(n, r) 即代表排列的個(gè)數(shù)。）

• 當(dāng) r = n 時(shí)稱為全排列或置換（permutation）

• 此也即當(dāng) |A|=n 時(shí)， A* 中長(zhǎng)為 r 且各項(xiàng)彼此不同的串的個(gè)數(shù)。

舉例子：

A = { a, b, c, d }， A 上的所有4取3的排列是：

A = { a, b, c, d },A 上的所有全排列是:

定理2：

n < r 時(shí)， P(n, r) = 0； n >= r 時(shí)， P(n, r) = n*(n - 1) * … *(n - r + 1)。

2.21 全排列

全排列經(jīng)常被理解為是包含某個(gè)有限集合中的所有元素一次且僅一次的序列。

• 設(shè) A 是集合，如果|A|=n， 則 A 的全排列的個(gè)數(shù)為：

  n * (n-1) * … * 1

這個(gè)值也經(jīng)常被寫作 n! ，稱作n 的階乘（factorial） 。

可以給出 P(n, r) 的一個(gè)更緊湊的表達(dá)式：

3 例題

例一

一個(gè)社團(tuán)共有 10 名成員，從中選出一名主席、一名副主席、一名書記，則共有 P(10, 3)=720 種方法。（因?yàn)椴还馐且x出三名學(xué)生，還要在這三明學(xué)生中確定三個(gè)身份。相當(dāng)于C（10,3）* P（3,3）=p（10,3）,這樣更易于理解。C（10,3）是組合的求解公式，后面會(huì)學(xué)習(xí)）

例二

如果有4個(gè)男孩和4個(gè)女孩坐成一排，每個(gè)人的旁邊都可以隨便坐，那么共有多少種坐的方式？

P（8,8）=8！

例三

如果有4個(gè)男孩和4個(gè)女孩坐成一排，每個(gè)人旁邊都只能坐著異性，那么共有多少種坐的方式？

2 * 4! * 4!

如下圖所示：

4 總結(jié)

• 堅(jiān)持學(xué)數(shù)學(xué)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【离散数学中的数据结构与算法】五 排列与组合一的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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