上一篇文章學習了【算法設計與分析】14 分治算法的一般描述和分析方法

文章目錄

• • 1. 芯片測試
  • • 1.1 一次測試的過程
    • 1.2 如何測試一塊芯片的好壞
    • 1.3 蠻力算法
    • 1.4 分治算法設計思想
    • • 1.41 分治算法的正確性證明
      • 1.42 時間復雜度分析
  • 2. 總結

本篇文章借助具體的例子來學習分治策略。這個例子是課本上的：芯片測試的例子。

1. 芯片測試

在講解具體的芯片測試的分治策略算法之前，先來了芯片測試的意思

1.1 一次測試的過程

如上圖，A、B為芯片。測試方法為：將2片芯片（A和B）置于測試臺上，互相進行測試，測試報告是“好”或者“壞”，只取其一。

• 假設：好芯片的報告一定是正確的，壞芯片的報告是不確定的（可能會出錯）

那么上述測試的結果有四種可能,如下圖:

上面的結果應該不難理解

那么現在問題來了:

• 輸入：n片芯片，其中好芯片，至少比壞芯片多一片
• 問題：設計一種測試方法，通過測試從n片中挑出1片好芯片
• 要求：使用最少的測試次數

1.2 如何測試一塊芯片的好壞

針對上述問題，現在先來研究一下，如何在上述n片芯片中，測試出A是好芯片還是壞芯片？

• 問題：給定芯片A，判定A的好壞
• 方法：用其他n-1片芯片對A進行測試。

假設：n=7:好芯片數>=4

A好，6個芯片中至少3個報“好”

A壞，6個芯片中至少4個報壞

所以對于n是奇數情況下：好芯片數>=（n+1）/2
A好，至少有(n-1)/2個報“好”
A壞，至少有(n+1)/2個報“壞”

結論：

至少一半報好，A是好芯片

超過一半報壞，A是壞芯片

假設: n=8:好芯片數>=5

A好，7個芯片中至少4個報“好”

A壞，7個芯片中至少5個報“壞”

所以對于n是偶數：好芯片數 >= n/2+1.
A 好, 至少有 n/2個報告“好”
A 壞, 至少有 n/2+1個報告“壞”

結論：n-1份報告中

至少一半報好，A是好芯片

至少一半報壞，A是壞芯片

上面的分析，已經很清晰，我們已經知道如何測試一塊芯片的好壞。那么人們最拿手的方法就是：暴力算法（蠻力算法）可以直接寫代碼了。。。

1.3 蠻力算法

測試算法：任取 1片測試，如果是好芯片，測試結束；如果是壞芯片，拋棄，再從剩下芯片中任取 1片測試，直到得到 1片好芯片

時間估計：

第一片是壞芯片，最多測試n-2次
第二片是壞芯片，最多測試n-3次
…

總計：$\Theta (n^2)$

可見時間復雜度之高，數據量一多，肯定會超時。

1.4 分治算法設計思想

在分析分治算法的正確性之前，我們先給出這個算法的描述：

假設n為偶數，將n片芯片兩兩一組做測試淘汰，剩下芯片構成子問題，進入下一輪分組淘汰。

淘汰規則為：

• “好，好” ==> 任留1片，進入下輪
• 其他情況 ==> 全部拋棄

遞歸截止條件：n<=3
3片芯片，一次測試可得到好芯片
1或者2片芯片，不需要再測試，他們都為好芯片。

上述算法過程就是我們給出的分治策略的設計。那么為什么上述的策略是正確的呢？

回憶一下，前面的文章，要保證分治策略的正確性的基本條件是：子問題與原問題性質相同。下面我們就來證明，上述分治策略的子問題與原問題性質相同。

1.41 分治算法的正確性證明

原問題：n片芯片，其中好芯片，至少比壞芯片多一片

那么子問題，命題1：當 n 是偶數時，在上述淘汰規則下，經過一輪淘汰，剩下的好芯片比壞芯片至少多1片

我們需要證明上述子問題的命題1是正確的。

證明：假設原問題中A，B都好的芯片有i組，A與B一好一壞的有j組，A與B都壞的有k組。那么經過一輪淘汰后，好芯片還剩i片，壞芯片還剩k片。

因為

• 初始芯片總數 2i+2j+2k = n
• 初始好芯片多于壞芯片：2i+j > 2k+j

得出：i>k

所以，剩余的芯片好芯片比壞芯片，至少多1片。命題1 是正確的。即證明了上述分治算法的正確性。

當n為奇數時，特殊處理。當n是奇數時，可能會出現問題，如圖：

可見淘汰后的子問題并不滿足于原問題性質相同，此時無法繼續測試。

• 處理辦法是：當n為奇數時，增加一輪對輪空芯片的單獨測試，如果該輪空芯片為好芯片則算法結束，如果是壞芯片，則淘汰該芯片。

下面給出上述分治算法的偽碼描述：

1.42 時間復雜度分析

設輸入規模為n，，每輪淘汰后，芯片數至少減半，測試次數（含輪空處理）：O(n)

時間復雜度：

W(n) = W(n/2) + O(n)
W(3)=1,W(2)=W(1)=0

解上述方程的得：W(n) = O(n)

結果很振奮人心，你已經將一個$O(n^2)$級別的算法優化為了$O(n)$級別!!!

2. 總結

最大的需要注意的地方就是：如何保證子問題與原問題性質相同:

可以：

增加額外處理（比如上述n為奇數時對輪空數據的處理）

額外處理的工作量，不改變函數的階

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【算法设计与分析】15 分治策略：芯片测试的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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