歐幾里得算法是計算兩個數最大公因子算法。又稱輾轉相除法。本文將學習為什么輾轉相除法可以求得兩個數的最大公因子。同時也可以根據最大公因子計算兩個數的最小公倍數。

文章目錄

• • 1 歐幾里得算法的理論基礎
  • • 1.1 歐幾里得算法（輾轉相除法）
  • 2 裴蜀等式（貝祖等式）

1 歐幾里得算法的理論基礎

設 a=qb+r， 其中 a, b, q, r 都是整數， 則

• GCD(a, b) = GCD(b, r)

證明過程如下：

1.1 歐幾里得算法（輾轉相除法）

• 歐幾里得算法（輾轉相除法） GCD ( a, b )
• 輸入： 整數 a, b ， 滿足 a >= b >= 0 ， 且 a, b 不全為0
• 輸出： GCD(a, b)

由上面歐幾里得算法的理論基礎知：GCD(a, b) = GCD(b, r)

則，歐幾里得算法的步驟如下：

可以由歐幾里得算法計算兩個數的最大公約數后，根據GCD(a,b)*LCM(a,b)=a*b 計算最小公倍數。

2 裴蜀等式（貝祖等式）

• 對于不全為0的整數 a, b 和 d ， 方程 sa+tb=d存在整數解 s 和 t 當且僅當 GCD(a, b)|d 。
• 方程 sa+tb=d 稱作裴蜀（Bezout） 等式或貝祖等式。

證明：

充分性證明：sa+tb=GCD(a, b)可定是存在整數解的，設為 s0、 t0。若d=kGCD(a, b)=k(sa+tb),則k*s0, k*t0是方程的一個解。

必要性證明：若方程 sa+tb=d 存在整數解 s 和 t 則GCD(a, b) | (sa+tb)=d

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【离散数学中的数据结构与算法】二 欧几里得算法与裴蜀等式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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