上一篇文章學習了：如何分析、統計算法的執行效率和資源消耗？ 點擊鏈接查看上一篇文章：復雜度分析上

今天的文章學習以下內容：

• 最好情況時間復雜度
• 最壞情況時間復雜度
• 平均情況時間復雜度
• 均攤時間復雜度

1、最好與最壞情況時間復雜度

我們首先來看一段代碼，利用上一篇文章學習的知識看看能否分析出它的時間復雜度。

// n 表示數組 array 的長度 int find(int[] array, int n, int x) {int i = 0;int pos = -1;for (; i < n; ++i) {if (array[i] == x) {pos = i;break;}}return pos; }

這段代碼很簡單：就是在一個數組中找到一個數X的下標，將其返回。

利用上一篇文章學習的大O表示法來分析時間復雜度的話，有一些問題。if循環中有一個breadk語句，當條件成立，得到下標值立馬退出循環。那么時間復雜度，就不能籠統的說是O（n）。

因為當想要查找的數就在第一個位置時，時間復雜度實際上是O（1），當想要查找的數在最后一個位置的時候，時間復雜度是O（n）。那么這個時候，我們就需要引入幾個新名詞：最好情況時間復雜度，最壞情況時間復雜度。

很容易理解。

• 最好情況時間復雜度就是在最理想的情況下，執行代碼需要的時間復雜度。就像上述代碼，如果想要查找的數就是數組中的第一個位置，那么時間復雜度就是O（1），此時就是最好情況時間復雜度。
• 最壞情況時間復雜度是在最不理想的情況下，執行代碼需要的時間復雜度。還是如上述代碼，入股我們想要查找的數在數組的最后一個位置，那么時間復雜度就是O（n），此時就是最壞情況時間復雜度。

其實還有一種情況，就是我們想要查找的數不在第一個位置也不在最后一個位置的時候。此時的時間復雜度是多少呢？這種情況下叫做平均情況時間復雜度。

那么平均情況時間復雜度如何計算？它是多少呢？

2、平均情況時間復雜度

還是拿上面的代碼做例子。

想要計算出它的平均情況時間復雜度，有兩種方法，一種不嚴謹的感官上的方法，一種嚴格的概率上的方法。

不嚴謹的感官上的方法

我們知道，想要查找的數據x有兩種情況的存在，一種是存在數組的0~n-1的某一個位置（n種可能），一種是不在這個數組中（1中可能，就是不在數組中）。這兩種情況一共有n+1種可能。對于在數組中的n中可能中，每一種查找的次數分別是1,2,3,4…n。對于不在數組中的這種可能，查找次數是n。所以可以這么計算平均情況時間復雜度：

(1+2+3+...+n+n)/(n+1)=n(n+3)/2(n+1)

上一篇文章我們知道，利用大O表示法，，可以將計算結果的系數，低階，常量去掉。那么上述的結果就是O（n）。

為什么說他不嚴謹呢？考慮以下情況。要找的數x存在于數組中與不存在于數組中的概率是否一樣？x存在的話。它存在于數組中每個位置的概率是否一樣？

很明顯，上述方法沒有考慮概率的問題。

概率的方法

現在假設，x出現在數組中與不出現在數組中的概率是相等的，都是1/2.同時假設x如果出現在數組中，則它存在數組中的每一個位置的概率都是一樣的1/n。那么可以用如下方法計算平均情況時間復雜度。

$$（1\times \frac{1}{n}\times \frac{1}{2}+2\times \frac{1}{n}\times \frac{1}{2}+3\times \frac{1}{n}\times \frac{1}{2}+...+n\times \frac{1}{n}\times \frac{1}{2}+n\times \frac{1}{2}）=\frac{3n+1}{4}$$

利用大O表示法來表示的話，依然是O（n）。這就是上面那段代碼的平均情況時間復雜度。

一般情況下，我們只是用其中一種復雜度來分析問題就夠了，不需要費力去求解三種時間復雜度。只有在時間復雜度有量級的差距時，才會在不同的情況下使用不同的時間復雜度。

3、均攤時間復雜度

上面學會了最好最壞與平均時間復雜度。還有一種時間復雜度叫做均攤時間復雜度。 為了理解均攤時間復雜度，我們先來看一個代碼：

// array 表示一個長度為 n 的數組// 代碼中的 array.length 就等于 nint[] array = new int[n];int count = 0;void insert(int val) {if (count == array.length) {int sum = 0;for (int i = 0; i < array.length; ++i) {sum = sum + array[i];}array[0] = sum;count = 1;}array[count] = val;++count;}

上述代碼的意思是：往數組中插入數據。當數組沒有滿的時候，直接在最后插入，當數組滿的時候，先把數組的所有元素求和，然后清空數組，將求得的和放到數組的第一個位置，然后將要插入的數插到第二個位置（聰明的人已經發現它其實就是一個求輸入流中所有數字的和，至于清空數組，這個只是將下標count從末尾挪到第二個位置，就可以認為是清空數組）。

利用上述的分析，我們可以求得：

• 最好情況時間復雜度：O（1），因為數組不滿的時候直接插入，不用計算和。
• 最壞情況時間復雜度：O（n），因為此時數組滿了，需要遍歷一遍數組然后求和。

平均時間復雜度，還可以利用上述的概率分析法來計算。假設數組長度是n，往數組插入數據會有兩種情況發生。數組沒滿時，插入的時間復雜度是O（1），且插入的位置有n種可能。數組滿時，插入的時間復雜度是O（n），插入的位置只有一種可能。所以一共有n+1種可能插入的位置，且插入到它們位置的概率是一樣的都是1/（n+1）。所以可以利用下面的方法計算平均情況時間復雜度：
$$（1\times \frac{1}{n+1}+2\times \frac{1}{n+1}+3\times \frac{1}{n+1}+...+n\times \frac{1}{n+1}+n\times \frac{1}{n+1}）=O（1）$$

所以

• 平均情況時間復雜度：O（1）

上述計算平均時間復雜度的方法，不管怎么樣，還是有一些復雜。畢竟我們不是研究數學的。所以還是希望盡可能簡單。

針對上面的兩個代碼例子，一個是find函數，一個是insert函數?？纯此麄冇惺裁床煌?strong>find函數是最極端的情況下時間復雜度是O（1），大多數的情況下時間復雜度是O（n），而insert函數是大多數情況下的時間復雜度是O（1），只有極端的情況下時間復雜度是O（n）。

而且，對于insert函數，它的O（1）出現的是連續出現多次，然后出現一次O（n）時間復雜度。這具有一種時序關系。

針對這種情況，給出一種特殊的時間復雜度分析方法，均攤時間復雜度。可以通過攤還分析法，的帶均攤時間復雜度。那么針對insert函數，如何通過攤還分析法來得到均攤時間復雜度呢？

首先，對于insert函數，大多是出現O（1）時間復雜度的，一共出現n次O（1）時間復雜度后，才出現一次O（n）時間復雜度。雖然O（n）時間復雜度消耗的時間比較多，但是O（1）時間復雜度出現的次數多，我們可以將O（n）消耗的時間，均攤給其他n個O（1）時間復雜度操作上的話，對于O（1）時間復雜度，也并不會有多大的影響，就好比，100個人共同抬100斤水泥，而另外又有一個人在抬100斤水泥，如果這個人把水泥平均分給那100人，那100人也才每個人多抬了一斤的水泥，這相比讓那一個人抬100斤水泥，簡直不要太輕松！！！。 所以，對于insert函數均攤時間復雜度為O（1）。這等于大多數情況下的時間復雜度。

綜上：

• 均攤時間復雜度為：O（1）

由以上的分析，我們得出，大概在以下情況下可以使用攤還分析來分析均攤時間復雜度

對一個數據結構進行連續的操作，如果大多數情況下的時間復雜度比較低，只有極端情況下時間復雜度很高，而且這些操作在時序上存在前后連貫的關系。那么此時，就可以將比較耗時的那個操作，均攤給大多數低的時間復雜度的操作上。

而且，一般可以用均攤時間復雜度分析的情況，均攤時間復雜度就等于最好情況時間復雜度

4、總結

上面學習了四種時間復雜度的分析。但是一般來說，平均時間復雜度用的很少，均攤時間復雜度用的就更少。而且，均攤時間復雜度，實際上是一種特殊的平均時間復雜度。

所以不必糾結到底用什么復雜度來分析問題，根據實際問題需要實際分析。對于一段代碼，如果它的時間復雜度在不同情況下量級不同，可以采用不同的方法進行對比分析。其中最好最壞時間復雜度比較好分析，平均時間復雜度與均攤時間復雜度比較難分析。

但是對于平均和均攤。他們實際是一個意思，都有平均的意思。當出現O（1）操作的多于O（n）操作的時候，平均和均攤時間復雜度就都是O（1）。 這是一種感覺。一般情況下，我們都可以感覺對，而不用實際的計算。

本文是自己學習極客時間專欄-數據結構與算法之美后的筆記總結。如有侵權請聯系我刪除文章。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数据结构与算法-java实现】二 复杂度分析（下）：最好、最坏、平均、均摊时间复杂度的概念的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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